精品解析：上海市松江区2024-2025学年九年级上学期期末质量监控数学试卷

松江区2024学年度第一学期期末质量监控试卷 初三数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 在中，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：已知，，， ∴， ∴A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； A、，故选项正确； 故选：D． 2. 如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积．首先根据平行四边形的性质可证且相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，从而可求的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， 且， ， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 3. 已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质判定函数值的大小，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式确定图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越大，再确定两点与对称轴的距离，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时， 随 的增大而减小，当时， 随 的增大而增大， ∴离对称轴直线越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C ． 4. 已知线段，求作线段 ，使．下列作图方法中不合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段 ，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段 的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 5. 已知，，且是非零向量．那么下列说法中正确的是（ ） A. B. ，与不平行 C. ，与不平行 D. ，与不平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量平行的判定方法．判断出可得结论． 【详解】 ∵是非零向量， 故选：A． 6. 已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①和②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 如图所示，在中，是边上的中线，如图所示，延长至点，使得，连接，可得，同理，延长至点，使得，连接，，可证，由此可证，可判定①；如图所示，在中，，是边上的高，由此可判定②；由此即可求解． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； 如图所示，在中，是边上的中线，， 如图所示，延长至点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， 同理，延长至点，使得，连接， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故①是真命题； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 如图所示，在中，，是边上的高， ∴，但与不相似，故②是假命题； 综上所述，①是真命题，②是假命题， 故选：C ． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解． 【详解】解：设坡角为， 由题意得，， ． 故答案为：． 8. 已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是_____． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向的确定方法是解题的关键． 根据题意，把点代入计算，得到解析式，根据二次项系数的正负确定图象开口即可． 【详解】解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴该抛物线的开口方向向上， 故答案为：向上 ． 9. 将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故答案为：． 10. 已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的计算，掌握线段成比例的计算方法，黄金分割点的计算是解题的关键． 根据黄金分割点的计算可得，代入计算即可求解． 【详解】解：线段，是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 11. 如图，已知直线、、分别与直线交于点，与直线交于点，如果，，．那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线截线段成比例的计算方法，找准线段的比是解题的关键． 根据，，得到，由，得，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 12. 如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，平行线分线段成比例，得到，证明，利用相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∴的周长与的周长之比为； 故答案为：． 13. 如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先根据，，，得出，然后利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，是的边上一点，是的中点，，．如果，那么的长度为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质得到是解题的关键． 根据，得到，根据是的中点，可得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，得，， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 15. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度 （米）关于水平距离 （米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 16. 如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 设正方形的边长为 ，得到根据平行线分线段成比例定理得到，求得，，根据三角形的面积公式列方程得到，于是得到正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 正方形的面积． 故答案为：16． 17. 如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，，由正方形的性质可知，，故，，根据相似三角形的性质求出，则，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，E是边上一点，将沿直线翻折，点B的对应点为，如果，那么的值为 _______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，设，运用勾股定理可得，分类讨论：如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点，运用勾股定理可得，由平行可证，可得解得，，再证，可得即可求解；将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点，运用勾股定理可得，由折叠与平行的性质可得，则，再证，得到即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， ∴， 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 同理，， ∴， ∴， 解得，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵， ∴； 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知： （1）如果，，，求c、d的值； （2）求证：． 【答案】（1）， （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查比例， （1）根据题意得出，再结合即可解决问题； （2）在等式两边都减去，再进行变形即可解决问题； 解题的关键是掌握比例的基本性质：比例的内项之积与外项之积相等．也考查了恒等变形． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴，； 【小问2详解】 略 20. 已知一条抛物线的顶点为，且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 ∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ． 21. 在中，． （1）求的长； （2）在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过A点作，先根据面积求出，再根据三角函数求解即可； （2）过点C作，先根据三角函数求出，再证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据三角函数求出，再根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：过A点作，垂足为H， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点C作，垂足为E， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 22. 图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． （1）求摄像头到桌面的距离； （2）如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【答案】（1）摄像头到桌面的距离是 （2）桌面上可拍摄区域的宽度为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造直角三角形，正确运用锐角三角函数的计算及相似三角形的判定的方法及性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，垂足分别为点、，可得，由可算出，由即可求解； （2）过点作，垂足为，则有，设，，则，，，再证，由相似三角形的性质可得，由即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，过点作，垂足分别为点、， ，， ， ，， ， ， ． 答：摄像头到桌面的距离是． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ，， 设，，则，，， ，， ， ， 解得：， ， 答：桌面上可拍摄区域的宽度为． 23. 如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明： 如图所示， ，， ， ， ， ， ， （2） 证明：设与交于点， ， ，， ， ，， ∴，， ， 又， ， ， ，， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与 轴负半轴交于点，与 轴交于点，且． （1）当时，求该二次函数的函数值； （2）定义：对于一个函数，满足的实数 叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； （3）将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】（1）0 （2）这个不动点是 （3）或 【解析】 【分析】（1）令，得，得，进而得，代入解析式得得，从而得，再把代入解析式即可得解； （2）由得：，根据函数有唯一的不动点得或．把代入，得，求解即可； （3）分和利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【小问1详解】 解：令，得， ． 代入解析式得得 ∴ 当时 当时，． 【小问2详解】 解：由得： ∵有唯一的不动点 解得：（舍）或． 当时， ∴， 这个不动点是． 【小问3详解】 解：①当时，如图 由旋转可得，， ， ∴ ， ②当时，如图，过作于点， 由旋转得， ∴， ，， ∴ 解得， ． 故二次函数解析式为或， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形及性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图形及性质是解题的关键． 25. 在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． （1）求的值； （2）当时，求的长； （3）连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】（1） （2）5 （3）或或2 【解析】 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； 【小问2详解】 解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ； 【小问3详解】 解：①当时，如图， ， ， ， ， ； ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ； ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江区2024学年度第一学期期末质量监控试卷 初三数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 在中，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且是非零向量．那么下列说法中正确的是（ ） A. B. ，与不平行 C. ，与不平行 D. ，与不平行 6. 已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①和②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 8. 已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是_____． 9. 将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是______． 10. 已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么_____． 11. 如图，已知直线、、分别与直线交于点，与直线交于点，如果，，．那么______． 12. 如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为______． 13. 如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为_____． 14. 如图，是的边上一点，是的中点，，．如果，那么的长度为_____． 15. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 16. 如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为_____． 17. 如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为______． 18. 如图，在中，，，E是边上一点，将沿直线翻折，点B的对应点为，如果，那么的值为 _______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知： （1）如果，，，求c、d的值； （2）求证：． 20. 已知一条抛物线的顶点为，且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点在该抛物线上，求的面积． 21. 在中，． （1）求的长； （2）在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 22. 图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． （1）求摄像头到桌面的距离； （2）如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 23. 如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． （1）当时，求该二次函数的函数值； （2）定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； （3）将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 25. 在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． （1）求的值； （2）当时，求的长； （3）连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $