精品解析：广西壮族自治区北海市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

北海市2024年秋季学期期末教学质量检测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列哪个点在反比例函数的图象上（ ） A. B. C. D. 4. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( ) A. 2 B. C. 1 D. 7. 如图，点是反比例函数图像上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 9 8. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 9. 某校自启动“书香校园•悦读成长”工程以来，成效显著，形成人人爱读书的良好氛围．该校图书馆三月份借出图书本，五月份借出图书本，设这两个月借出的图书平均每月增长率为，则下列列出的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从3000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（ ） A. 2 B. 6 C. 20 D. 60 11. 如图，小明在某一时刻测得旗杆在阳光下的影子长为10米，且由C处测得旗杆顶端A的仰角为，则旗杆的长度为（ ）米． A. B. C. D. 12. 如图，光是沿直线传播的，一根竖直的木条距离墙壁4米，光源距离木条2米，保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，则光源与木条的距离应（ ） A. 增加1米 B. 减少1米 C. 增加0.5米 D. 减少0.5米 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm，那么，cosB＝________． 14. “碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为______． 15. ______． 16. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______． 三、解答题（本大题共7题，共72分） 17. 解方程： 18. 如图，已知，相交于点，，，，．求证：． 19. 北海市是广西的三个“国家历史文化名城”之一，历史悠久，文化底蕴丰厚．为让同学们更好地了解北海市的历史文化，某中学举行了一次“北海市历史文化知识竞赛”，600名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛学生的得分情况，现从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，解答下列问题： 组别 分数段 频数 A 4 B C 12 D 10 E 6 合计 学生成绩频数分布表 （1）频数分布表中______，______，补全频数分布直方图； （2）求组所在的扇形圆心角的度数； （3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人？ 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围． 21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的． 22. 如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 23. 【问题提出】在等腰中，，，点为中点，以点为顶点作，使，角的两边分别交，于点，，连接，探究点到所在直线的距离． 【问题探究】 （1）当点和点重合时，如图2，请你直接写出点到所在直线的距离：______（用含的式子表示）； （2）当点、点都不和点重合时，如图1，经探究发现和相似，请你证明：； （3）在（2）的条件下，你能猜想此时点到所在直线的距离（用含的式子表示）吗？请写出你的猜想并写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北海市2024年秋季学期期末教学质量检测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；由此判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．，最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：． 故选A． 3. 下列哪个点在反比例函数的图象上（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．据此求解即可． 【详解】解：A．∵，∴不在反比例函数的图象上； B．∵，∴在反比例函数的图象上； C．∵，∴不在反比例函数的图象上； D．∵，∴不在反比例函数的图象上； 故选B． 4. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似之比为，相似三角形对应边上的高的比等于相似比， ∴这两个三角形的周长之比为， 故选：C． 5. 在中，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义以及特殊角三角函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，， ∴， 故选；B． 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( ) A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；将已知根 代入一元二次方程，直接求解 的值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 7. 如图，点是反比例函数图像上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：设， 轴，轴，， 四边形是长方形， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 8. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选C． 9. 某校自启动“书香校园•悦读成长”工程以来，成效显著，形成人人爱读书的良好氛围．该校图书馆三月份借出图书本，五月份借出图书本，设这两个月借出的图书平均每月增长率为，则下列列出的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四、五月份借出图书量是在三月份借出图书量的基础上得到的． 首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书本列出方程即可． 【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本， 根据题意得：， 故选：． 10. 随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从3000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（ ） A. 2 B. 6 C. 20 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品． 【详解】解：（件）， 即这批电子元件中大约有60件次品， 故选：D． 11. 如图，小明在某一时刻测得旗杆在阳光下的影子长为10米，且由C处测得旗杆顶端A的仰角为，则旗杆的长度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；先说明是直角三角形，再利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：∵旗杆⊥影子， ∴． 在中， ∵， ∴． 故选：B． 12. 如图，光是沿直线传播的，一根竖直的木条距离墙壁4米，光源距离木条2米，保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，则光源与木条的距离应（ ） A. 增加1米 B. 减少1米 C. 增加0.5米 D. 减少0.5米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为木条，表示木条影子，则，作，延长交于，则，根据题意知米，米， ， ，， ， ， 米，米， ， 令，则， 保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，如图， 即，则，， ，则， 米， 光源与木条的距离应减少米， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm，那么，cosB＝________． 【答案】 【解析】 【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以cosB＝=， 故填． 【点睛】本题主要考查了余弦函数的计算，根据cosB＝计算即可解答．解题的关键是熟记三角函数定义． 14. “碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键，根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得两个图形相似， ， 解得：． 故答案为：． 15. ______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，根据的正切值为，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 16. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，再根据根据即可求出a． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共7题，共72分） 17. 解方程： 【答案】x1=-4，x2=-2 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求解． 【详解】 ∴x+4=0或x+2=0 解得x1=-4，x2=-2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 18. 如图，已知，相交于点，，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可． 【详解】略 19. 北海市是广西的三个“国家历史文化名城”之一，历史悠久，文化底蕴丰厚．为让同学们更好地了解北海市的历史文化，某中学举行了一次“北海市历史文化知识竞赛”，600名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛学生的得分情况，现从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，解答下列问题： 组别 分数段 频数 A 4 B C 12 D 10 E 6 合计 学生成绩频数分布表 （1）频数分布表中______，______，补全频数分布直方图； （2）求组所在的扇形圆心角的度数； （3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）8，40， 补全频数分布直方图， ； （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体等知识，是重要考点，从统计图中获取信息是解题关键． （1）根据组的频数与频率列式求出被抽取的学生总人数得到的值，然后减去其它各组的人数即可得到的值，再补全频数分布直方图即可； （2）求出所占的百分比再乘以即可求出扇形圆心角的度数； （3）先计算出样本的优秀率，再乘以600即可解题． 【小问1详解】 解：频数分布表中，， 【小问2详解】 解：由（1）可知，抽取的样本容量是， 的百分比为． 扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 解：成绩达到优秀的学生有（人）， 答：估计该校成绩达到优秀的学生有人． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出反比例函数和一次函数的表达式即可； （2）利用图象得出反比例函数图象在一次函数图象上面时，x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 则反比例函数的表达式为， 将点，代入得， 解得， 则一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围是或． 21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的． 【答案】（1） 解：如图即为所求的图形； （2） 解：如图即为所求的图形． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图和位似作图，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质确定出点的位置，然后连线即可； （2）根据位似的性质确定出点的位置，然后连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 【答案】（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【解析】 【分析】（1）根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽； （2）根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为720cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵纸板是长为40cm，宽为24cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形， ∴无盖纸盒的长为（40-2x）cm，宽为（24-2x）cm． 故答案为40-2x， 24-2x； （2）依题意，得：（40-2x）（24-2x）=720， 解得：x1=2，x2=30（不合题意，舍去）． 答：x的值为2． 故答案为（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 【问题提出】在等腰中，，，点为中点，以点为顶点作，使，角的两边分别交，于点，，连接，探究点到所在直线的距离． 【问题探究】 （1）当点和点重合时，如图2，请你直接写出点到所在直线的距离：______（用含的式子表示）； （2）当点、点都不和点重合时，如图1，经探究发现和相似，请你证明：； （3）在（2）的条件下，你能猜想此时点到所在直线的距离（用含的式子表示）吗？请写出你的猜想并写出证明过程． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ； （3） 点到所在直线的距离为； 证明：作于点，于点， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ，即点到所在直线的距离为． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，，，求出，可知点到线段的距离即为的长，然后解直角三角形即可求解； （2）先证明，进而根据两角相等的两个三角形相似可证； （3）作于点，于点，由得，从而，然后证明得，然后根据角平分线的性质可得结论． 【小问1详解】 解：，，为中点， ，，， ， ， ， 点到线段的距离即为的长， ， ； 故点到所在直线的距离为：； 故答案为： ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $