精品解析：广东广州市花都区秀全外国语学校2026-2027学年九年级第一学年数学九月学情自测

秀外2026学年第一学期九月月练试题 数学 本试卷共7页，25小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. 已知点P（-3，2）是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设反比例函数的解析式为， 把P点（-3，2）代入可求得k=-6， 因此反比例函数的解析式为． 故选：D 3. 已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 4. 已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图像在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点不在该图像上 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 6. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 7. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 8. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或. 故选C． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 10. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．例如：的两根分别为，，即，则方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或0 B. 或 C. 或 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】根据“倍根方程”的定义，结合韦达定理求出与的关系，进而求出代数式的值． 【详解】解：先对方程因式分解：， ， 解得，， 由“倍根方程”定义，一根是另一根的倍，分两种情况： ①若： ， ②若： ． 综上可知，代数式的值为或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． 12. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，． 13. 在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【解析】 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 14. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义列出关于的方程和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴， 由得，此时，符合条件， ∴． 16. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，转化为一元一次方程再求解； （2）十字相乘法因式分解求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 或 ，． 18. 已知：关于的方程的一个实数根为1，求另一个实数根． 【答案】另一个实数根为4 【解析】 【分析】把代入方程求出的值，再把代入原方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， ∴， 再把代入原方程得：， ∴， ∴或 ∴，， ∴另一个实数根为4． 19. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出反比例函数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 20. 某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 【答案】该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 【解析】 【分析】设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x．两年后的产量达到，建立方程解答即可． 【详解】解：设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 21. 已知，下表是8个面积相等的矩形的长与宽 长 1 2 3 4 5 宽 2 1 （1）把表格补充完整，并在如图所示平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线顺次连接各点； （2）设矩形的长为（单位：cm），宽为（单位：cm），求出这条曲线对应的函数表达式并写出自变量的取值范围； （3）若点，是该函数图象上的两个点，且，试说明：． 【答案】（1）补全表格： 长 1 2 3 4 5 6 8 10 宽 10 5 2 1 如图所示： （2） （3） ∵，在该象限内随的增大而减小， ∴若时，． 【解析】 【分析】（1）因为所有矩形面积相等，所以先根据已知的一组长和宽计算矩形面积，再利用面积=长×宽的公式，代入已知的长计算对应宽，代入已知的宽计算对应长，补充完整表格．以x为横坐标、y为纵坐标，将表格中的8组数值对应的点在坐标系中描出，再顺次连接各点． （2）由矩形面积公式得，可得函数表达式． （3）利用反比例函数的增减性，结合该函数的比例系数k的符号，即可说明的结论． 【小问1详解】 解：∵8个矩形面积相等，从已知的长、宽，可得矩形面积为， 即， 当时，； 当时，； 当时，​； 当时，； 当​时，； 当时，； 当时，． 据此补全空白： 补充后宽行从左到右依次为：；长行最后三个空白依次为：． 描点连线：在坐标系中描出，顺次连接得到第一象限内的反比例函数曲线． 【小问2详解】 解：由矩形面积公式得， 可得函数表达式：​． 【小问3详解】 略 22. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ∴ ． ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个实数根． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）由根的判别式得，即可得证； （2）由勾股定理得，由根与系数关系得，，即可求解． 【小问1详解】 证明略． 【小问2详解】 解：，是一个矩形两邻边的长， ， ， 由根与系数关系得，， ，， 解得，（舍去），， 故的值为． 23. 如图，是平面直角坐标系的原点，的直角边在轴的正半轴上，斜边的中点在反比例函数的图象上，交该函数图象于点，连接． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，代入解析式即可； （2）根据解题． 【小问1详解】 解：∵，，且为中点， ∴， 即， ∵过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点过函数，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 24. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）；1 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 25. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，将矩形向右平移3个单位长度后，若点在双曲线上，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 （2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度后，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度后，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，直接写出满足条件的的值． 【答案】（1） （2） （3）值为24或6 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质推出为线段中点，求出其坐标代入解析式即可； （2）根据矩形的性质推出为线段中点，列方程求解； （3）由勾股定理计算的长，在等腰中，分类讨论当、、时，列方程计算即可． 【小问1详解】 解：由题可知、， 根据矩形的性质，为线段中点， ∴，即， ∵反比例函数， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题可得、、， 根据矩形性质，且为的中点， ∴， ∵、都在上， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：由上题同理可得， ∵，，由勾股定理得， ∴， ∵为上一点， 则设， 在等腰中， ①若， ∵， ∴， ∴， ∵、同为上的点， ∴， 解得； ②若， 则与重合，由题可得， ∴， 解得； ③若， 则， 化简得， 又∵， ∴， 解得，不符合，舍去； 综上所述，的值为24或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秀外2026学年第一学期九月月练试题 数学 本试卷共7页，25小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点P（-3，2）是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图像在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点不在该图像上 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 7. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．例如：的两根分别为，，即，则方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或0 B. 或 C. 或 D. 0或 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 12. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 14. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则______． 16. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知：关于的方程的一个实数根为1，求另一个实数根． 19. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出反比例函数的取值范围． 20. 某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 21. 已知，下表是8个面积相等的矩形的长与宽 长 1 2 3 4 5 宽 2 1 （1）把表格补充完整，并在如图所示平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线顺次连接各点； （2）设矩形的长为（单位：cm），宽为（单位：cm），求出这条曲线对应的函数表达式并写出自变量的取值范围； （3）若点，是该函数图象上的两个点，且，试说明：． 22. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 23. 如图，是平面直角坐标系的原点，的直角边在轴的正半轴上，斜边的中点在反比例函数的图象上，交该函数图象于点，连接． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积． 24. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 25. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，将矩形向右平移3个单位长度后，若点在双曲线上，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 （2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度后，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度后，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，直接写出满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $