陕西省商洛市2024-2025学年高三上学期期末教学质量监测数学试题

商洛市2024一2025学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学试卷参考答案 1.DA=(-∞，2)，B=[1,4],则A∩B=[1,2). 2.B因为l12,所以a(a-2)-3=a2-2a-3=(a-3)(a+1)=0,所以a=3或a=-1.当 a=3时，l1:3.x十3y-6=0,l2:x+y-2=0,l1,l2重合：当a=-1时，l1:一x+3y-6=0, 1g:x一3y一2=0，符合题意. 3.C因为0<a=lg5<1,b=2.1>1,c=logs6<0,所以c<a<b. 4.C依题意可得9人中有3人各得1张消费券，则不同的分法共有C=84种. 五A设非零向量a,b的夹角为0，根据题意可得cms0=言：因为9∈[0，]，所以自=子 3 .C如图，由题意可得∠MPB=受-否-吾，在△PBM中，由余弦 定理可得MB= PM+PB2-2PM·PBcos √302+(20,3)2-2X30×20,3c0s吾=10,3海里，故甲船至少需要航行的海里数为10,3。 7.A根据抛物线的定义，得2+号=4，解得力=4.将点A(2,y)的坐标代入y=8x,得y 4或-4（舍去）. 8.B因为f(x1)-f(x2)>4(x1一x),所以f(x1)-4x1>f(x2)-4x2.设g(x)=f(x)- 4x,因为x1>x2,所以g(x1)>g(x2),则g(x)=f(x)一4x是增函数，且g(2)=f(2)一8 =8.因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以g(x)=f(x)一4x为奇函数，所以g(一2)= -8,g(0)=0.不等式4.x-8<f(x)<4.x可转化为-8<f(x)-4x<0,即g(-2)<g(.x) <g(0),所以一2<x<0,即4x-8<f(x)<4x的解集为（一2,0）. 9.AB=一1一3i,A正确.=√1+9=√10，B正确.之在复平面内对应的点（一1,3）在第 二象限，C错误.：的实部是一1，虚部是3，则≈的虚部不是实部的3倍，D错误. 10BDfx)=sm2(x-)=m(2x-)A错误由x∈[受]，得2r一∈[器。 爱]，[资罗][受，]，B正确f(-7)=血(-爱-)=1，C正确由x [需紫]，得2x∈[-吾]所以f)在[-需紫]上的值域为[-.小D 正确. 1山.ACD对于A,由双曲线的对称性可知，直线1垂直于x轴，AB1= 0,FF2=2c, 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 所以女-受× ,2ac=3b2=√3c2-√3a2,解得e=√3，故A正确。 对于B,因为AB|=|AF2=|BF21,所以|BF,|-IBF2|=|AF1|=2a.因为AF2|一 AF,=2a,所以1AB1=AF,=BF,=4a,所以os60°=36a+16a-4C,解得e 48a V万，所以名-一6，所以C的渐近线方程为y=士6x,故B错误。 对于C,因为AF,|,AF,BF,成等差数列， 所以2AF:|=|AF1+BFz1,即AF2|-|AF1=|BF:|-|AF2.因为AF2|-AF,I =|BF,|-|BF,I=2a,所以BF1=|AF:. 设|BF,=x,则|AF2=x,AF1|=x-2a,BF2|=2a十x,所以AB|=2.x-2a. 在△A,B中，os∠AF,B=AF:+BF,AB=+(2a+z)-(2x-2a2 2AF2BF, 2.x(2a+x) 3 ,解得x=3a,所以BFi|=3a,AF,=3a,AF1l=a,BF2=5a.因为∠AF,F2+ ∠BFF2=,所以cos∠AF,F,+cos∠BF,F,=a+4c2-9a2+9a2+4c2-25a =0,解 Aac 12ac 得e=四故C正确 对于D,连接FzB,F,D(图略)，由双曲线的对称性知四边形F,BFD为矩形，设AF,|= m,则|AB|=2m,所以AF2=m+2a,|BF2=3n-2a.由AF2|2=|BF212+1AB2,得 m+2a)=3m-2a)产+m,解得m=号a.由E,R:=B球，P+B球：R,得4c2=(3m 2aP+9m=20,所以后-5，所以名=2，所以C的渐近线方程为y=士2x,故D正确. 12因为a9e(0,),所以a+8∈0，.所以a+月 13.488x如图，设该圆台上底面圆的圆心为O1,连接OO1,OA,O1A,则 OO1⊥O1A.由题意可得AO=10,O1A=8,则O)片=OA2-AO片=100 一64=36，所以001=6，则该圆台的体积为3x×6×(102+10×8+8) =488元. 14.(0,6)易得关于x的方程6lnx=m.z2一6x有两个不等的正根，即函数h(x)=6nx一 mx十6x恰好有两个零点，h'x)=-2mr十6=-2mr2-6r- ,令g(x)=2m.x2-6x -6>0.因为2m>0,且g0)=-6<0.r=品>0，所以gx)在0，十)上有-个零 点，记为xo.当x∈(0，xo)时，g(x)<0,h'(x)>0:当x∈(xa,+∞)时，g(x)>0, h'(x)<0.所以h(x)在(0，x。)上单调递增，在(x。,十∞)上单调递减，当x→0或x→十∞ 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 时，h(x)<0,则h(xo)>0,即6lnxo-mx6+6xo>0.因为g(xo)=2.x-6.x。-6=0,所 以m.x=3x。+3,则21nx十x0一1>0.因为函数t(x)=2lnx+x一1在(0，十o∞)上单调 递增.且1)=0，所以x>1.则0<<1，由2m6-6。-6=0,得m=3()+ 3(+2)'-圣又0<<1.所以0<m<6 15.解：()由题意得f(x)=3x2_48 2分 则(1)=3一48=一45，… 3分 因为f(门)=1十48=49，所以切点为(1,49)，…4分 故曲线y=f(x)在点(1,49)处的切线方程为y-49=一45(x-1),即45.x+y一94=0.… …6分 (2)f'(x)=3x-48_3x-16_3(x2+4)(z+2)(x-2) 8分 x2 当x<一2或x>2时，(x)>0,f(x)单调递增；…9分 当一2<x<0或0<x<2时，f'(x)<0,f(x)单调递减.…10分 因为x≠0，所以x=一2是极大值点，极大值为f(一2)=（一2）+48 -2 =-32,…11分 =2是极小值点极小值为f2)=2+8-2 …12分 故f(x)的单调递减区间为（一2,0），(0,2)，单调递增区间为（一○，一2），(2，十○)， 极大值为一32，极小值为32.…13分 16.(1)证明：因为AA:⊥平面ABC,EFC平面ABC,所以AA:⊥EF.…1分 因为E,F分别为棱AB,BC的中点，所以EF∥AC,因为AB⊥AC,所以EF⊥AB,· …2分 又AA∩AB=A,所以EF⊥平面ABB1A1,则EF⊥B1E.…3分 设AB=2,易得A,E=BE=1+1=√2，A1B1=2,则A,B=A1E2+B1E,所以A1EL Bp....................................................................... …5分 又A1E∩EF=E,所以B1E⊥平面A,EF.…6分 (2)解：以A为坐标原点，AB,AC,AA,所在直线分别为x,y, 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设AB=4,则A(0,0,2),E(2,0,0),F(2,1,0),B(4,0,0), B B1(4,0,2),C(0,2,0), …8分 则B,E=(-2,0,-2). 由(1)知平面A1EF的一个法向量为m=B1E=(一2,0，一2). …10分 BB1=(0,0,2),BC=(-4,2,0). 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 设平面BCC:B,的法向量为n=(x,y,z), n·BB1=2x=0, 则 取n=(1,2,0).…12分 n.BC=-4x+2y=0, 设平面A,EF与平面BCC1B1的夹角为0， 则cos0=cos(m,n1=m·n 2 √10 m|n2√2×√5 10· …14分 则平面A,EF与平面BCC,B,夹角的余弦值为D 10 …15分 1.解：1)采用方案一生产的产品为合格品的概率为号)- …2分 采用方案二生产的产品为合格品的概率为子〉 …4分 故生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率P=音×(1-)十(1-号)×号 6分 (2)用表示方案一每件产品的利润，则：的所有可能取值为一30，一50,70，…7分 pe=-30)=1-号3Pg=-0)=号×1-号》-号，P=70)-号×号台… …8分 所以：的分布列为 -30 -50 70 2 3 9 …9分 则EE)=-30X3+(-50)×号+70×号-10. …10分 用刀表示方案二每件产品的利润，则7的所有可能取值为一20，一50,70，…11分 pg-20=1-至-P7=-50)-是x1-号)-P7=70)-x号- …12分 则刀的分布列为 7 -20 -50 70 6 1 1 4 …13分 则E(7=(-20)x+(-50x+70x号 135 14分 因为E()<E(7),所以该公司应采用方案二进行加工生产.…15分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 18.(1)解：因为am+1= 3am十√a-87 2 所以a-[十a]-[]=5…1分 a,-[15],因为4<5，所以a,=9.… 3分 （2)证明：由题可得a,为正整数侧a1=[,十云8]>[受]-[a,+2]>a。 所以数列{a}为递增数列，…4分 当n>≥2时，am≥a2=5,(am-2)2-(Wa-8)2=12-4am<0,即am-2<Va-8,…5分 所以2am-1 3u.+va28_a,-2-Va:8<0,即2a.-1< 3um十√a-8 2 2 2 .…6分 由3a,十/a83a0=20,.7分 2 2 且2a,1,2a,均为正整数，得a,[a.十a二8 2 =2am-1,…8分 因为a2=2a1一1满足a+1=2am-1,所以am+1=2a,一1，…9分 则a1-1=2(a。-1),由a1-1=2,得a.-1≠0，所以1 an-1 =2,…10分 所以数列{a一1}是以2为首项，2为公比的等比数列.…11分 (3)证明：由(2)得an一1=2·21=2”，则a。=2”十1.…12分 an-1 2" a,ah(20+1)(2+1+d2”+121+1…14分 1 11 11 1 1 则T,=2中12中1十2中12+1+…+2+12+1+2+12+1+1=3 2+1+1’ …16分 因为2>0.所以T.<号 1 …17分 1Q.1解：因为椭圆C:后+号=1a>3)的离心率为2.所以√ …1分 解得a=4, 2分 所以C的长轴长为2√石=4.…3分 (2)证明：设直线1：x=my+4,M(x1,y1),N(xg,y2). x=my+4, 联立2得③m十十24my十36=04分 -=1 3 则△=144(m2-4)>0,得m2>4,… 5分 24m 36 y1十y2= 3m2+4'y1y2=3m2+4 6分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 设直线BM,BN的斜率分别为k1,k2, 72m72m 则6+：十-2》 2ny1y2+3(y1+y2)_3m2+43m2+4 (x1-1)(x2-1) =0, 所以直线BM,BN的斜率之和为定值0.…8分 (3)解：设M(x1y1),N(x2y2),P(xay),Q(.x4y),A户=λAM,AQ=AV,A>0且 入≠1，>0且4≠1， x3一入x1=-4(1-入)， 43 =1, 则 且 9分 ys=入y1, X是xi入i=λ2， 4 3 得+)-+y+yy-)=（1+)1-A, |x3一入x1=-4(1一入)， 将 代人得-(x8十ax1)=1+入，与x3一入x1=-4(1一1)联立， ya=λy1 x-2 345 解得 同理可得 11分 3 35 = 22 x2= 22 又直线1过点（号2，则一 =y-2 3 …12分 3 x22 x-2 代入y= 35 x1=2x 及x= 号并化简可得号(：一)一4a,一w,)十 3(入-4)=0. …13分 设直线PQ过定点E(zy),则二=一9 x4一x03-x 代入数据并化简可得（受+），-为)2：w,)+2以-0=0，…15分 3 2 对比系数可得 43 33 解得- 49 …16分 2 十x0 2 则直线PQ过定点(-一6·4) 313 …17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】商洛市2024一2025学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A=(x|x-2<0},B={x|0≤4-x≤3}，则A∩B= A.(2,4] B.[-1,2) C.[1,4] D.[1,2) 2.若直线l1:ax十3y一6=0与直线l2:x十(a一2)y一2=0平行，则a= A.1 B.-1 C.3 D.-3 3.已知a=lg5,b=201,c=loga.s6,则 A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 4,将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有 A60种 B.72种 C.84种 D.90种 5.已知非零向量a,b满足|a=8|b川，向量a在向量b方向上的投影向量是4b,则a与b的夹 角为 A号 B受 c 跨 6.位于P处的雷达接收到在其正东方向相距20√3海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救 信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东号且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往数 援，则甲船至少需要航行的海里数为 A.15√3 B.10√5 C.10√3 D.10W2 7.已知点A(2,ya)(yo>0)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，F是抛物线C的焦点.若|AF1= 4,则y= A.4 B.2 C.8 D.2√2 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意的x1>x2,都有f(x1)一f(x)>4(x1一x2), 且f(2)=16,则不等式4x一8<f(x)<4x的解集为 A(0,2) B.(-2,0) C.(-∞，-2) D.(-2,十∞) 【高三数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.关于复数=一1十3i,下列结论正确的是 Az=-1-31 B.lx|=√10 Cz在复平面内对应的点在第四象限 D.z的虚部是实部的3倍 10.将函数y=2s血x6os工的图象向右平移个单位长度得到函数f()的图象，则 Afx)=sml2x-》 且f儿：)在[，]上单调迷减 C.f(x)的图象关于直线x=一 爱对称 Dfe)在[-需，装]上的值城为[- z2 y2 1L已知双曲线C:看差=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,B,过点P的直线1交C 于A,B两点，则下列选项正确的是 A若A,B在左支上，且△ABF,为正三角形，则C的离心率为N3 B.若A,B分别在左、右两支上，且△ABF2为正三角形，则C的渐近线方程为y=土√5x C若A,B在左支上，AR,lA,BF,成等差数列，且cs∠AP,B=号，则C的离心 率为受 D若A,B分别在左、右两支上，过点F1作直线l的垂线交双曲线C于点D,AB=2F1A, 且B,O,D三点共线，则双曲线C的渐近线方程为y=士2x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知a8∈(0,2)，且tan(a+8)=-3,则a+B=▲； 13.如图，某圆台上、下底面的圆周都在半径为10的球0的球面上，且该圆台 的下底面半径与球的半径相等，上底面半径为8，则该圆台的体积 为▲ 0 (6ln0, 14.已知函数f(x)= 若关于a的方程f(a)=f(一a)恰有 mx2+6.x,x<0. 四个不同的解，则正数m的取值范围为▲ 【高三数学第2页（共4页】 四、解答题：本题共5小题，共7？分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=x+ x (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间和极值， 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=2AC=2AA1,E,F分 别为棱AB,BC的中点. (1)证明：B,E⊥平面A1EF. (2)求平面A1EF与平面BCC1B1夹角的余弦值. 17.(15分) 已知某公司生产某产品采用两种不同的方案，每种方案均有两道加工工序，每道工序的加工 结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才为合格品，若某道加工工序不合格，则 该产品为不合格品，即刻停止加工已知方案一每道加工工序合格的概率均为号，方案二第 一、二道加工工序合格的概率分别为，号该产品只有合格品才能出厂销售，已知每件产品 未加工之前的成本为10元 (1)若分别用方案一与方案二各自生产一件该产品，求生产的两件产品中只有一件产品为合 格品的概率 (2)已知方案一每件产品每道工序的加工成本为20元，售价为120元；方案二每件产品的第 一、二道工序的加工成本分别为10元，30元，售价为120元.若以每件产品获利的数学 期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产， 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已[x]表示不超过x的最大整数.例如：[r]=3,[一幻=一4.已知数列(a.}满足a1=3, ra,+a8]n∈N). = 2 (1)求a21aa: (2)证明：a,-2<√a-8(n≥2)且数列{a,-1)是等比数列。 3)设藏列)的前n项和为T,证明：T<号 19.(17分) 已知圈C:若+号-1a>3的离心率为号，A(一4,0)，B1,0),过定点D)的直 线1与C交于M,N两点，直线l的斜率不为O. (1)求C的长轴长， (2)若xo=4,y。=0,证明：直线BM,BN的斜率之和为定值 3 (3)若z=乞y%=2,设直线AM,AN分别交C于P,Q(都异于M,N)两点，且I的斜率存 在，证明直线PQ过定点，并求出定点坐标 【高三数学第4页（共4页）】