江苏省盐城市盐城经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年秋学期期末调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1．下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （    ）个 A． B． C． D． 2．下列方程中，没有实数解的是（　　） A．x2﹣3＝0 B． C．x2+y2＝0 D． 3．甲布袋装有6个红球和4个白球，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（　　） A． B． C． D． 4．下列函数：①y＝﹣5x；②y＝3x﹣2；③；④y＝3x2（x＜0），其中y随x的增大而增大的函数是（　　） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OC，若∠OAC=40˚，则∠B的度数为 A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 6.下列关于二次函数的图像的性质描述，其中正确的是 A.图像开口向上 B. 图像顶点为(-1，3) C.图像可由函数的图像平移得到 D.图像与轴交点为(0，3) 7.如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是 A. 点P B. 点 Q C. 点M D. 点N 8.已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计24分） 9．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 　 　． 10．圆心角为40°，半径为1的扇形的弧长是　 　． 11．二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标为 　 　. 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACD＝15°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径为：　 　． 13．如图，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝48°，则∠C的度数为　 　． 14． △ABC中，∠A和∠B均为锐角，AC＝6，BC＝，且sinA＝，则cosB的值为　 　． 15.抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过(﹣1，3)，(7，3)两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≥3的解集为 　 　． 16．如果一组数据3，5，x，6，8的众数为3，那么这组数据的方差为 　 　． 三、解答题（共11题，计102分） 17．（6分）解方程：（1）； （2）； 18．（6分）“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）、四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； （2）、若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为_______； （3）、若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 19．（8分）第一盒中有2个白球，1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出一个球． (1)求在第一盒中取出一个球是白球的概率； (2)用列表或画树状图的方法求取出的2个球都是黑球的概率． 20．（10分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若两根，满足，求k的值． 21．（10分）如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧形成线段CE，O的对应点为D，测得MC＝4m，CE＝16m，此时太阳的与地面的夹角为30°（即∠ODM＝30°）． （1）求旋转中心到地面的距离OM的值； （2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于2.5米，请判断此风车是否符合要求． 22．（10分）如图，在△ABC中，，以为直径的与，分别相交于点D，E． (1)求证：； (2)若半径为5，，求扇形的面积． 23．（8分）体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． (1)求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． (2)为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 24．（10分）如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 25．（10分）如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的长度． (3)填空：连接，当的度数为　　时，四边形为正方形． 26．（12分）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，已知AB、CD是半径为8的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则∠BAC的度数为 　　 ． 27．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 参考答案 1-5ADADB 6-8CDC 9. 10. 11．(-1, -2 ) 12. 13.66° 14. 15.0≦x≦8 16.3.6 17.解：（1）解：∵， ∴左边化成完全平方，得， ∴． （2）解：∵， ∴提公因式分解因式，得， ∴， ∴． 18.（1）168 （2） （3）①164 ②7 19.（1）解： 由题意得； （2）解：根据题意列表如下：     第一盒第二盒 白   白 黑 白 白白 白白 黑白 黑 白黑 白黑 黑黑 黑 白黑 白黑 黑黑 （画树状图正确也可） 由表格可知总共有种情况，其中取出的2个球都是黑球的情况有种， ． 20.（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：由题意得，，， ∵ ∴ 整理得， ∴ 或 解得，． 21.（1）4m，（2）风车符合要求． 22.（1）证明：连接 为的直径      又      （2） 又∵四边形内接于 ， 是的中位线 ∥，      23.（1）解：设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市参加体育运动的人数的年平均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种运动器材的套数大于120套， 设购买的这种运动器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元，不符合题意，故舍去， 当时，售价元，符合题意， 答：购买的这种运动器材的套数为200套． 24．（1）证明：如图，连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的切线． （2）的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 25.（1）证明：如图，连接， ∵， ∴，即：， 在与中， ， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，，， ∴， ∵是直径， ∴，即：， 由（1）可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：的长度是； （3）解：当的度数为时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形为正方形． 26.解：（1）方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”，理由如下： x2+2x+1＝0， 由题意知：， 满足且1≠0， 故方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”； （2）证明：∵是“勾系一元二次方程”， ∴a2+b2＝c2， ∵， ∴必有实数根； （3）连接OC，OB，作OE⊥CD于E，EO的延长线交AB于F． ∵关于x的方程是“勾系一元二次方程”， ∴a2+b2＝82， ∵AB∥CD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFB＝90°， ∴CE2+OE2＝OC2，OF2+BF2＝OB2，DE＝EC＝b，BF＝AF＝a， ∵OD＝OB＝8， ∴，， ∴CE＝OF，OE＝BF， ∴△OEC≌△BFO（SSS）， ∴∠EOC＝∠OBF， ∵∠OBF+∠BOF＝90°， ∴∠EOC+∠BOF＝90°， ∴∠COB＝90°， ∴ 27.解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），则﹣3a＝﹣3， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，抛物线的对称轴为直线x＝1， 则点P、C关于抛物线对称轴对称，则点P（2，﹣3）， 设Q（m，m2﹣2m﹣3），∵∠OPQ＝90°，∴OP2+PQ2＝OQ2， ∴[（0﹣2）2+（0+3）2]+[（2﹣m）2+（﹣3﹣m2+2m+3）2]＝[m2+（m2﹣2m﹣3）2] 整理得：3m2﹣8m+4＝0，解得：m1＝，m2＝2（舍去），∴m＝，∴Q（，﹣）； （3）存在，理由： 设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点Q（m+1，（m+1）2﹣2（m+1）﹣3），设直线PQ交x轴于点H， 由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝（2m﹣1）（x﹣m）+m2﹣2m﹣3， 令y＝0，则x＝+m，则OH＝+m， 则S＝S△OHP﹣S△OHQ＝OH×（yQ﹣yP）＝×（+m）[（m+1）2﹣2（m+1）﹣3﹣m2+2m+3]＝（m2+m+3）＝（m+）2+≥，即S存在最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$