安徽省合肥市庐江县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在数列，，，，中，是它的(    ) A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 2.已知直线，圆，则直线l与圆O的位置关系是    A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 3.在处的导数为(    ) A. 2x B. 1 C. D. 2 4.过，两点的直线的一个方向向量为则        A. B. C. D. 1 5.已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则(    ) A. B. 4 C. D. 5 6.已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为4a，则C的离心率为(    ) A. B. C. 5 D. 2 7.在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中“果圆”与x轴的交点分别为，与y轴的交点分别为，点P为半椭圆上一点不与重合，若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列求导数运算中不正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知等比数列的前n项积为，，公比，，则(    ) A. B. C. 当时，最小 D. 当时，最小 11.如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别是线段BC，上的动点不含端点，且，则下列说法正确的是(    ) A. 平面 B. 该三棱柱外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线与所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为          . 13.过点作倾斜角为的直线与交于A，B，则          . 14.我县某高中从高二年级创新甲班和创新乙班两个班中各选出7名学生参加2024年全国高中数学联赛安徽赛区初赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是84，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列，且x，G，y成等比数列，则的最小值为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知的顶点边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为求 顶点C的坐标； 直线BC的方程． 16.本小题12分 设数列满足， 求数列的通项公式; 求数列的前n项和 17.本小题12分 已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为 求抛物线C的方程; 若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且，求证：直线m过定点. 18.本小题12分 如图所示，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线BD和AE上移动，且AN和BM的长度保持相等，记 为何值时，MN的长最小? 当MN的长最小时，求平面MNA与平面MND夹角的余弦值. 19.本小题12分 定义：对于数列，若存在常数t，对任意的都有，则称数列为和谐数列. 已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由; 设是数列的前n项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列; 若、都是和谐数列，证明也是和谐数列. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：根据题意，数列的通项公式为， 故，解可得 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考察直线与圆位置关系的判断，属于基础题. 直线l过定点，而，进而得解. 【解答】解：因为直线l的方程为，即，令解得即直线l过定点因为，所以点在圆内部，所以直线l与圆O相交.故选 3.【答案】D  【解析】【分析】本题主要考查导数的基本运算，掌握导数的基本运算是解题的关键． 先将函数求导，将代入便求得结果． 【解答】解：，   4.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查直线的斜率与直线的方向向量，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题. 解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果. 解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果. 【解答】 解：解法一：由直线上的两点，，得， 又直线AB的一个方向向量为，因此， ，解得， 故选： 解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为， 所以，解得 故选： 5.【答案】D  【解析】解：和是方程的两个根， ， 又数列为各项均为正数的等比数列， 6.【答案】A  【解析】解：双曲线焦点到渐近线的距离等于4a， 即点到直线的距离等于4a， 即，即， 可得，即 7.【答案】C  【解析】解：， 又 ， N为 BC中点，   ， 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求椭圆的离心率或取值范围，向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，求余弦型函数的值域或最值，属于中档题. 解法一：设，代入计算向量数量积得，再结合以及和e的关系得到关于的齐次不等式，解出即可； 解法二：利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【解答】 解： 解法一：设， 因为， 所以， ， ， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 即，解得； 解法二：设， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为存在， 所以在上有解， 因为 ，， 所以在上有解， 即在上有解， 因为，所以， 即 ，解得 故选： 9.【答案】ABC  【解析】解：对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确． 10.【答案】AD  【解析】解：对于选项AB：由题意知 ，由 ，得 ， 所以 ，得 ， ，所以 ，且 ， ， 所以 ，故A正确，B错误； 对于选项CD：因为 ， ， ， ， 所以数列 为递增数列，且当 时， ， 当 时， ， 所以当 时， 最小，故C错误，D正确． 11.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查线面平行的判定、球的表面积、异面直线所成角，利用空间向量求二面角，属于中档题. 根据题意得到，利用平行的判定A选项；确定三棱柱外接球的直径，再计算球的的表面积即可判定B选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值即可判断C；确定异面直线与所成角为，再计算正切值即可判定D选项. 【解答】 解：在直三棱柱 中，四边形 是矩形， 因为 ，所以 ， 因为   内， 平面 ， 所以 平面 ，A项正确； 因为 ，，所以 ，又， 所以 ， 连接，，设其交点为O，连接OA，OA ，AC ，A ， 由直棱柱的性质知平行四边形BCC  是矩形，   ， 又平面ABC， 平面， 则平面平面， 又平面平面，，平面ABC， 则平面ACC  ， 又 平面，则， 则是直角三角形，又O为BC 的中点，则， 同理，在直角三角形中，， 综上所述，， 则O为直三棱柱 外接球的球心， 则是三棱柱外接球的直径， 所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以B项正确； 二面角即二面角， 以A为坐标原点，以， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图，则 ，，，，  ， ， ， 设平面 的法向量 ，  ，即 ， 令可得 ； 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令可得 ， 数形结合可得，二面角是锐角， 故二面角的余弦值为：  ，所以C项错误． 因为 ，所以异面直线 与 所成角为 . 在 中， ， ， 所以 ，所以D项正确. 故选 12.【答案】  【解析】解：点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由点斜式得直线的方程为：， 即 13.【答案】  【解析】解：过点作倾斜角为的直线方程为： ， 联立方程组， 得， 解得，或， 14.【答案】  【解析】解：甲班学生成绩的中位数是，得； 由茎叶图可知乙班学生的总分为， 乙班学生的平均分是86，且总分为，所以， 若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列， 则，，即有，，， 则， 当且仅当时，的最小值为 15.【答案】解：设， 边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为 ，解得， 设， 则，解得， ， ， 直线BC的方程为，化为  【解析】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，中点坐标公式，直线的点斜式方程，考查了计算能力，属于中档题． 设，可得，即可得出； 求出点B的坐标，直线BC的斜率，利用直线的点斜式方程，即可得出结果． 16.【答案】解：， 可知，，，，，，， 上式相加得 ， 当时，，也满足上式， 数列的通项公式， ，， ， 数列的前n项和  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为：，即：， 则，解得， 故抛物线C的方程为： 证明：若直线l的斜率存在，不妨设为，则l的方程为：， 与抛物线方程联立得，消去y得：， ，即时， 设，，则，， 由可得：，即， 亦即：， 将，代入上式得：， 又即：， 所以直线l的方程为：，即，故直线l过定点， 若直线l的斜率不存在，设，，由可得：， 又，联立解得：或舍， 此时直线l的方程为，即直线l过点， 综上可得：直线l过定点  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图， ，，，，，，， ， 当时，最小，最小值为 由可知，当M，N为中点时，MN最短，则，，取MN的中点G，连接AG，DG，则， ，，，，是平面MNA与平面MND的夹角或其补角. ，， ， 平面MNA与平面MND夹角的余弦值为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：是和谐数列，理由如下： 上式 数列是和谐数列. 证明：是和谐数列，存在常数t，对任意的， 有， 即， 则 ， 数列是和谐数列. 证明：若，都是和谐数列，则存在常数，， 对任意的，有…， …， ， 即， 同理 ， 即 ，， ， 记，， 则有 ， ， 数列也是和谐数列．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$