广东省东莞市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检查数学试题

2024-2025学年广东省东莞市高二上学期期末教学质量检查数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.两条平行直线与间的距离为(    ) A. 4 B. C. 2 D. 1 2.已知是等差数列的前n项和，若，则(    ) A. 52 B. 104 C. 208 D. 416 3.已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 5.一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为(    ) A. 4 B. 5 C. D. 6.在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为ABCD的中心，侧棱，，则与AC所成角为(    ) A. B. C. D. 7.已知圆与曲线恰有4个公共点，则(    ) A. 2 B. C. 2或 D. 2或 8.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，，现有1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为参考公式： A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知方程：其中m为参数，下列正确的有(    ) A. 若，则方程表示y轴 B. 若，则方程表示圆 C. 若，则方程表示椭圆 D. 若，则方程表示双曲线 10.已知数列各项均为正数，且满足，下列正确的有(    ) A. B. C. 为等比数列 D. 为递减数列 11.在棱长为1的正方体中，点P满足，下列正确的有(    ) A. 当时，DP与AC所成角为 B. 当时，平面ADP与平面BCP所成角的最大值为 C. 当时，DP与平面所成角为 D. 当时，点P到直线AC距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，且，则x的值为          . 13.已知两个等差数列2，6，10，，118及2，8，14，，116，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为          . 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点，则双曲线C的离心率为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 在等比数列中，， 求的通项公式; 若为递增数列，，求数列的前n项和 16.本小题12分 已知圆C经过点，，并且圆心C在y轴上. 求圆C的方程; 记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当的面积为4时，求直线l的方程. 17.本小题12分 如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且 证明：平面 求平面DPQ与平面MPQ夹角的余弦值. 18.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线交于M，N两点. 若，求抛物线C的方程; 已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和 ①求p的取值范围; ②证明：以MN为直径的圆过P，Q两点. 19.本小题12分 若n项数列同时满足，则称为“n阶数列”. 若等比数列为“6阶数列”，写出的各项; 若等差数列为“阶数列”且，，求的通项公式用k，n，t表示 记“n阶数列”的前k项和为，若存在，使，判断数列能否是“n阶数列”?若是，求出所有这样的数列若不是，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：两条平行直线与间的距离为 2.【答案】B  【解析】解：因为是等差数列的前n项和，且， 所以 3.【答案】A  【解析】解：对于A，假设，，共面， 则存在，使得 ，  ，无解， ，，不共面，可以作为空间的一组基底． 对于B，  ， 对于C，  对于D，， 、C、D中的向量共面，不能作为空间的基底， 故选： 4.【答案】D  【解析】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题． 求出P关于x轴的对称点Q，然后计算点Q引出的切线长即可． 【解答】 解：可知点关于x轴的对称点， 圆， 则圆心，半径， 故 根据对称性可知，光线经过的路程即为 故选： 6.【答案】A  【解析】解： 由题知，平行六面体设， 所以， ， ， ，                  ， ，即与AC所成角为 故选 7.【答案】D  【解析】解：当，时，方程可化为， 此时，曲线是一个以为圆心，半径为的半圆， 由对称性可得曲线在各个象限内都是半径为的半圆， 又圆的圆心为，半径为a， 由图像可知，当或时，圆与曲线恰有4个公共点. 8.【答案】B  【解析】解：由题意可知，当三角锥垛有n层时， 该堆垛总共球的个数为  ， 经验证：当时，，当时，， 故1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为 9.【答案】BD  【解析】解：当时，方程为 ，即，表示x轴，故A错误； 当时，方程为 ，即，表示圆，故B正确； 当m 且m 时，方程为  ， 若且 时，即且m 时，方程表示椭圆，故C错误； 若，即或时，方程表示双曲线，故D正确. 故选 10.【答案】ABD  【解析】解：时，， 因为数列各项均为正数，所以，A正确； 时，， 因为数列各项均为正数，所以，B正确； 时，， 所以， 因为数列各项均为正数，所以， 令，即，由题意得是单调递增的，易得为递减数列， 当时，，， ，且，易得不是等比数列，所以C错误，D正确. 故选 11.【答案】ACD  【解析】解：对于选项A，当时，， 根据平面向量基本定理，此时 P在线段上， 在正方体中，，面 面，， 面，面、， 面， 面，，故A正确. 对于选项B，当时，，  由平面向量基本定理，此时P在线段上， 过P作1C1，故， 则A、D、P、Q共面，B、C、P、Q共面，即平面平面， 由正方体易知平面ABB1A1， AP、平面ABB1A1，故，， 所以即为平面ADP与平面BCP所成角的平面角， 过P作于M，设，则，， 中，， 中，， 故 ， 当且仅当时，取得最大值为， 即锐角最大时，比小，故B错误； 对于选项C，当时，点P在以A为圆心，1为半径的劣弧上，， 面， 即为DP与平面所成角， 又面，， 又， 为等腰直角三角形， ，即DP与平面所成角为，故C正确. 对于选项D，以D为原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示空间直角坐标系， ，，，，，， ，，当时，由平面向量共线定理可知，P在线段上， 设， ，则， 设点P到直线AC距离为d， 则 ， 当时，点P到直线AC距离最小，最小值为，故D正确， 故选 12.【答案】2  【解析】解：由题意可知，， 解得， 故答案为 13.【答案】560  【解析】解：等差数列2，6，10，…118中，公差，  等差数列2，8，14，…，116中，公差， ，6的最小公倍数是12， 由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差， 新数列最大项， ， 解得 ， 新数列中第10项 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，…，110 各项之和为  14.【答案】  【解析】解：取  MN 的中点  P ，因为在线段MN的垂直平分线上， 所以  ，连结  ，则  ， 设  ，因为  ，则  ， 又因为  ，则  ，所以  ，则  ，故  ， 在 Rt   中，  ，在 Rt   中，  ， 所以  ，解得  ， 又直线MN的倾斜角为 ，则， 则  ， 所以  ，即  ， 所以离心率  ． 故答案为：  . 15.【答案】解：设等比数列的公比为q， 由，得，有，解得， 当时，故数列的通项公式为 当时，故数列的通项公式为 因为为递增数列，所以， 由， 有， 可得  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：方法一：因为，，则， 且AB的中点为， 则AB的垂直平分线的方程为， 因为圆心C在y上，令，得，即点， 又因为， 所以圆 方法二：设圆心 因为圆C经过点，， 所以，即， 解得，即点， 又因为， 所以圆 当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为：， 令，得，所以或，即， 此时，而点到l的距离为2，的面积为满足要求， 所以满足要求： 当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为： 点到l的距离 圆心到直线l的距离为， 所以 所以， 化简得，解得， 所以直线l的方程为：，即， 综上，直线l的方程为或  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：证明：方法一：取MD中点E，连接PE， 因为P、E分别为BM、MD中点，所以， 又平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD， 因为，所以，又，所以， 又平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD，又， PE，平面PQE，所以平面平面BCD， 又平面PQE，所以平面 方法二：取BD中点G，过点Q作交CD于点H， 因为P，G分别为BM，BD的中点，所以 因为M是AD的中点，所以 又，所以， 所以，且，即四边形PGHQ为平行四边形， 所以 因为平面BCD，平面BCD， 所以平面 方法三：以 D为原点，直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 依题意可得，，， 由，得，所以 取平面BCD的一个法向量为， 所以，即 因为平面BCD， 所以平面 以D为原点，直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 因为， 则，，，，， 由，得， 设平面DPQ的法向量为， 则， 令，则，所以 设平面MPQ的法向量为， 则， 令，则，所以 设平面DPQ与平面MPQ夹角为， 则， 所以平面DPQ与平面MPQ夹角的余弦值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：设，，联立方程， 得：， 得 ， 解得，所以抛物线C的方程为 ①依题意可知直线l垂直平分线段PQ， 所以直线PQ的斜率为，设其方程为， 代入中消去x可得到：， 设，， 所以， 故PQ的中点G在直线l上，所以， 又因为G在直线上，所以， 因为方程有两个相异实根，所以，解得， 故所求p的取值范围是 ②设，，，， 方法一：，， 则 ， 因为，， 所以，， 则， 又因为，即， 所以 ， 所以，即以MN为直径的圆过点P，同理可得以MN为直径的圆过点Q， 方法二：以MN为直径的圆为：， 即， 由，因为，得， 所以代入方程， 可化为：， 即， 由线段PQ的中点，记以MN为直径的圆的圆心为， 所以， 而， 所以， 所以以MN为直径的圆过点P， 由圆的对称性可知：以 MN为直径的圆过点  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：设，，，，，是公比为q的等比数列，由题意， 则有，即，解得， 又因为，所以，解得， 所以数列的各项为，，，，，或，，，，， 设等差数列，，，，的公差为d， ， ，即，， ，若，则与矛盾， 当时，， ，即， 由，即，解得， ， 当时，同理可得，， 由，即，解得， ， 综上，当时，， 当时， 记，，，中非负项和为A，负项和为B，则，， 解得，， 所以，即， 若存在，使， 可知，，，，，，，且时，，时，， ， 又与不能同时成立， 所以数列不为“n阶数列”.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$