吉林省长春市第四十五中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年吉林省长春四十五中九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．的值等于（ ） A． B． C． D．1 3．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5．一元二次方程配方后可变形为（ ） A． B． C． D． 6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图是东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正南方向，由点向正西方向走米到达点，此时测得点在点的南偏西方向上，则河宽的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1．与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，都在格点上，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．计算：________． 10．已知是方程的一个根，则代数式的值等于________． 11．如图，在中，，，，则________． 12．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为________米． 13．如图，点是的重心，过点作交于点，于点，若，则的长度为________． 14．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点，那么________． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题8分）（1）计算：； （2）解方程：． 16．（本小题8分）已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解． 17．（本小题8分）如图，在的正方形方格纸中，的顶点在格点上． （1）直接写出________． （2）仅用直尺，画出的平分线，并写出________． 18．（本小题8分）随着“双减”政策在星城的落地，为进一步规范各个学校的课后服务工作，某市教育局就《某市中小学课后服务工作实施办法》进行了更明确的要求，鼓励教师参与志愿辅导．某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率． 19．（本小题8分）如图，四边形中，，，为的中点． （1）求证：． （2）若，，连结交于点，求的值． 20．（本小题8分）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯的长度是19.5米，是二楼楼顶，，点是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端点处测得点的仰角为，坡角为，求二楼的层高（精确到1米）．（参考数据：，，） 21．（本小题8分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 猜想：如图，在中，点、分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． （2）【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则________． （3）【拓展提升】如图③，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 22．（本小题8分）在中，，，，动点从点出发沿折线向终点运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒1个单位长度．当点不与点重合时，以为边在点的右上方作等边，设点的运动时间为（秒），点到的距离为． （1）________； （2）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当点在边上运动，且点到的距离为时，求的值； （4）取边的中点，连结、，当是直角三角形时，直接写出的值． 答案和解析 1．【答案】A 【解析】解：依题意得：， 解得． 故选：A． 二次根式的被开方数是非负数，据此求得的取值范围． 此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2．【答案】B 【解析】【分析】 根据特殊角度的三角函数值解答即可． 此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可． 【解答】解：． 故选：B． 3．【答案】C 【解析】解：A．无法合并，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：C． 直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．【答案】A 【解析】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5．【答案】A 【解析】解：一元二次方程等号两边都加上4，得， ∴， ∴一元二次方程配方后可变形为， 故选：A． 方程两边都加上4，即可将原方程配方． 此题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提． 6．【答案】A 【解析】解：根据题意得：每人要赠送张相片，有个人， ∴全班共送：， 故选：A． 根据题意得：每人要赠送张相片，有个人，然后根据题意可列出方程． 此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送张相片，有个人是解决问题的关键． 7．【答案】D 【解析】解：在中，，，米， ∵，∴（米）， 故选：D． 根据正切的定义解答即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握正切的定义是解题的关键． 8．【答案】B 【解析】解：由题意得：与的相似比为， 又∵ ∴的坐标是，即的坐标是． 故选：B． 把的横纵坐标分别乘以得到的坐标． 本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负． 9．【答案】11 【解析】解：． 故答案为：11． 直接利用乘方运算法则计算即可． 本题考查的是二次根式的乘方运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 10．【答案】5 【解析】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．【答案】10 【解析】解：设， ∵， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则， 故答案为：10． 根据正弦的定义用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理是应用，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键． 12．【答案】3 【解析】解：由题意知：， 则，， ∴，∴， ∴，∴米， 故答案为：3． 由题意知：，得出对应边成比例即可得出． 本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出是解决问题的关键． 13．【答案】4 【解析】解：如图，连接并交于点 ∵是的重心，∴，∴ 又∵，∴，， ∴，∴，， ∴． 故答案为：4． 由三角形重心的性质可知，，再相关条件推出，，进而求得解． 本题考查了三角形的重心，相似三角形等知识，解决本题的关键是掌握三角形重心的性质． 14．【答案】 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，∴， ∵为的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 即，故答案为：． 根据平行四边形的性质求出，，推出，，再根据相似三角形的性质得出即可． 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 15．【答案】解：（1） ； （2）∵，∴， ∴，∴， ∴，∴或， ∴，． 【解析】（1）先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）用配方法求解即可． 本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，以及解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 16．【答案】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； （2）根据题意，当时，方程为：， 左边因式分解，得：， ∴，． 【解析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）从上题中找到的最大整数，代入方程后求解即可． 本题考查了根的判别式和因式分解法解方程的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 17．【答案】（1） （2）如图，射线即为所求， 【解析】解：（1）如图，，故答案为：； （2）作图见答案，． 故答案为：． （1）利用网格特征，寻找直角三角形解决问题即可； （2）取格点，连接，取的中点，作射线． 本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 18．【答案】解：设这个增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这个增长率为10%． 【解析】设增长率为，利用第三批公益课受益学生人次数=第一批公益课受益学生人次数增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出这个增长率为10%． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．【答案】（1）证明：∵，∴， ∵为的中点，∴，∴， ∴， ∵，∴． （2）解：如图， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴． 【解析】（1）由，得到，由直角三角形斜边上中线性质得到，则，得到，又由即可得到结论； （2）由，得到，求得，得到，由，得到，进一步即可得到结论． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．【答案】解：延长交于点， ∵，，∴， 在中，米，， ∴（米）， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：二楼的层高约为3.9米． 【解析】延长交于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，结合图形计算，即可解答． 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．【答案】 2 【解析】（1）证明：∵点、分别是与的中点， ∴，∴， ∴，， ∴，； （2）解：连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 故答案为：； （3）解：∵是的中点，∴， ∵，∴， ∵，点是的中点，∴， ∵，∴，∴， 故答案为：2． （1）利用两边成比例，夹角相等证明，即可证明； （2）连接，在中求出，再由中位线的性质求即可； （3）在直角中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出，再由中位线定义求，即可求． 本题是四边形的综合应用题，熟练掌握中位线的定义及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 22．【答案】 【解析】解：（1）∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）分两种情况： 过点作于， ①当时，点在边上，如图1， 由题意得：， 中，，∴； ②当时，点在边上，如图2， 由题意得：， ∴， 中，，∴， ∴； 综上，与的函数关系式为：； （3）分两种情况： 设直线与交于点， ①如图3，点在上， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵当点在边上运动，且点到的距离为时，即， ∴， ∵，，∴， ∴， ∵，∴， ∴； ②如图4，点在的延长线上， 由①知：，， ∴， ∵，∴，∴； 综上，的值是或； （4）分三种情况： ①如图5，， ∵是的中点，， ∴，∴，∴； ②如图6，， ∵，∴，， ∴，此时； ③如图7，， ∵，∴， 此时； 综上，的值是1或或3． （1）根据含的直角三角形和勾股定理可得的长； （2）分两种情况：在上和上，根据含角的直角三角形和勾股定理可得与的函数关系式； （3）分两种情况：设直线与交于点，①如图3，点在上，②如图4，点在的延长线上，根据等边三角形的边长列等式，解出可得答案； （4）分三种情况：当在上时，①如图5，，②如图6，，当在上时，③如图7，，根据含角的直角三角形的性质可得答案． 本题是三角形的综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，点到直线的距离等知识，解决问题的关键是根据条件，画出图形，并运用分类讨论的思想． 学科网（北京）股份有限公司 $$