4.2.1 对数运算课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

null 对数运算 人教B版高中数学二 (必修) b 1 2 … 12 13 14 15 … 26 27 … N=2b 2 4 … 4096 8192 16384 32768 … 67108864 134217728 … 2的次幂对应表 【问题1】在不用计算器的前提下，如何快速计算 8192 16384 = ? 8192 16384 = 213 214= 213+14 = 227 简化运算：把两个大数的相乘问题转化为两个小数的相加问题 【问题2】如何快速计算 299792458 31556925.9747 = ? 一、创设情境、引入新课 知a,b求N 23 = x ab = N 对数运算 知b, N求a 知a, N求b, 即ax = N 2x2 = 31556925.9747 2x1 = 299792458 x 5 = 32 2x1 = 299792458 二、逻辑推理、概念形成 乘方运算 开方运算 4 3 2 5 已知方程：2x = 3 【问题3】根据指数函数的图像思考： 1、对于指数x,你认为x的值存在吗？ 2、如果存在，有多少个符合条件的x值？为什么？ 1 【小结】当 a 1时，方程 ax = N(N 0)有唯一的解 二、逻辑推理、概念形成 【思考】形如 a x = N (a 0且a 1, N 0) 的方程是否 有解？ 7 y = 2x 6 -2 -1 2 3 0 1 二、逻辑推理、概念形成 已知方程：(| 1 )| = 7 【问题4】根据指数函数的图像思考： 1、对于指数x,你认为x的值存在吗？ 2、如果存在，有多少个符合条件的x值？为什么？ 【小结】当 0 < a < 1时，方程 ax = N(N > 0)有唯一的解 -2 x x 【结论】当a > 0且a 士1 时，方程 ax = N(N > 0)有唯一的解 7 6 5 4 3 2 1 -1 0 y = ( )x \3) 1 2 3 背景 概念 性质 应用 二、逻辑推理、概念形成 【对数的定义】一般地，如果 ab = N(a > 0且a 丰1, N > 0) ， 那么幂指数b 称为以a 为底N 的对数(logarithm),记 作b = loga N ,其中a 称为对数的底数，N称为对数的真数。 ②正确读：读作以a为底N的对数 ③要树立“指对互化”的意识 ④性质一：真数N>0，即负数和零没有对数 注意：①规范写 loga N 二、逻辑推理、概念形成 指 数 底 数 《数理精蕴》中把对数称为“假数”， 取“借用一下”之意， N称为“真数” 。 “真数”一直沿用至今，而“假数”后来 被“对数”所取代，取“对应指数”之意 真 数 b = log a N 幕 b = N 二、逻辑推理、概念形成 底 数 对 数 a 二、逻辑推理、概念形成 【巩固练习】把前面引例中的指数式写成对数式 (3)2x1 = 299792458 (3)log2 2 99792458 = x1 (2)x 5 = 32 (2)logx 3 2 = 5 ( 1) 2 3 = x (1)log2 x = 3 【问题5】请写出一个指数式 ab = N(a 0且a 1) ，其中a ，b和N都是 集合A的元素，并写出指数式对应的对数式 【问题6】根据这些对数式，请试着归纳一下对数都有什么性质， 并进行证明。 集合A -2，-1，0， ， ，1，2，3，4，10 三、探究性质、理解概念 指数 对数 性质 幂为正 真数N>0，即负数和零没有对数 a0 = 1 loga 1 = 0 1 a = a loga a = 1 【常用对数定义】通常以10为底的对数称为常用对数 ( common logarithms) ， 即 log10 N ，简写为 lg N 【自然对数定义】科学技术中，常用到以无理数 e = 2.71828 … 为底的对数叫 做自然对数 (natural logarithms) ,简写为 ln N 三、探究性质、理解概念 lgX = log10X lnX = logeX (e ≈ 2.71828 … …) 自然对数 常用对数 三、探究性质、理解概念 【实验操作】利用科学计算器求出下列对数的值 (精确到0.0001 ) (2)ln 0.0045 (2) − 5.4037 (3)ln 396.5 (3)5.9827 (1)lg 2001 (1)3.3012 (4)log2 2 99792458 = ? 三、探究性质、理解概念 【问题7】回顾刚才有的同学举得例子，比如 log2 4 = log2 22 = 2, lg = lg10 2 = 2 你还有什么发现？ 【问题8】从指对互化的角度考虑，指数表达式 ab = N 和对数表达式 b = loga N 表达的是同一关系式，如果把指数表达式中的N代入对数表达式，你有什么发现？ ab = N b = loga N log a ab = b 【对数恒等式1】loga ab = b 三、探究性质、理解概念 【问题9】类比前面的推导，如果把对数表达式中的b代入指数表 达式，你又有什么发现？ 【对数恒等式2】aloga N = N 【思考】eln N = ?N b = loga N ab = N aloga N = N 1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，还尊崇eln N = N 为世 界上“十个重要的数学公式”之一 (2)lg 0. 1 (5)52 log5 3 (3)ln e5 (6)10 1g 3 (1)log2 (4)2log2 32 【小试牛刀】求下列各式的值 四、应用举例、深化概念 在生物领域，对数用于求“半 衰期”估计生物死亡的年数 在化学领域，对数 用于求“PH”值 在物理领域，用于 测量声音的分贝 在地理领域，对数 用于计算地震强度 对数在现实生活中的应用 四、应用举例、深化概念 【合作探究】地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的，2008年， 我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为 里氏8.0级，震级相差0.2 ，请问，8.0级地震的最大振幅是7.8级最大 振幅的几倍？ 已知里氏震级M的计算公式为：M = lg ，A是被测 地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅。 (参考数据：100 2. 1.58 ) 掌握了… 的方法 回顾学习 活动形成 自主反思 体会了… 的思想 学会了… 的知识 五、归纳小结、布置作业 在…有待加强 对数的发明者 苏格兰最快乐的数学家 约翰纳皮尔 对数的发明和解析几何的创始、 微积分的建立称为17世纪数学 的三大成就。 恩格斯 — — 给我时间、空间以及对数， 我就可以创造一个宇宙！ 伽利略 对数用缩短计算的时间 来使天文学家的寿命加倍。 拉普拉斯 — — 我为自己代言 (对数版) 你只看到我源于指数， 却没看到我比指数早一步来到这世上. 你有你的迷茫，我有我的规则. 你否定我的可爱， 伽利略说，“给我时间、空间以及对数，我就可以创造一个宇宙。” 你嘲笑我面目可憎晦涩难懂， 我恳请你靠近一点再多读我一遍. 懂我，是场注定孤独的旅行， 路上少不了探索与思考. 但那又怎样，哪怕再艰难， 也有执着睿智的勇士理解我的价值与内涵. 我是对数，我为自己代言！ $$