精品解析：云南省丽江市润泽高级中学2024-2025学年高二上学期11月考试数学试题

2024~2025学年上学期11月考试 高二数学试卷 （试卷满分150，考试时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共计40分．） 1. 下列直线的倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可求解. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，则， 直线的斜率为，设倾斜角为，则， 直线的斜率为，设倾斜角为，则， 直线的斜率为，设倾斜角为，则， 又在上单调递增，因为，所以， 所以直线的倾斜角最大. 故选：C 2. 在数列中，，对任意，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，从而判断出是等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出． 【详解】由题：， 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 故选：B． 3. 若数列、满足，，，则数列的前项和为（ ） A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再推导出，可知数列为等差数列，进而可得解. 【详解】因为，，所以， 又，， 则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则数列的前项和为. 故选：B. 4. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得直线所过定点，然后根据圆的几何性质，利用勾股定理来求得正确答案. 【详解】直线l：，即， 所以直线过定点. 圆的圆心为，半径. 则当时，弦长最小，， 所以弦长的最小值为. 故选：C 5. 设等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件求出、，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， ，， ，解得， ，解得， 所以. 故选：D． 6. 已知等差数列的公差不为，，对于都有成立，则（ ） A. 4047 B. 4046 C. 2025 D. 4049 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设，即可得到，再由下标和性质得到，从而得解. 【详解】不妨设， 由， 则， 即，又，， 所以，则， 所以. 故选：D 7. 已知数列的前n项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，即可求出数列的通项公式，再利用“和谐项”的定义得出，通过等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由，得， 所以，即，于是有 因为，所以， 所以数列是从起，公比为的等比数列， 所以， 当时，，所以此式不满足， 故的通项公式为所以， 因为，所以， 数列的所有“和谐项”的平方和为： . 故选：A. 8. 已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，由，得到，结合双曲线的定义，求得，再由，得到，即可求解. 【详解】设的内切圆半径为，因为， 所以，可得， 因为点为双曲线右支上一点， 所以，可得，解得， 又因为，可得，整理得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知等差数列前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. 使得成立最小自然数 D. 时， 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意可得、，即可得到，再利用等差数列和等差数列前项和的性质逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 若，则，， 所以，，即等差数列递减数列， 对于A，， 则，故A正确； 对于B，由，知等差数列前7项为正数，其余项为负数， 故当时，最大，故B错误； 对于C，， 故，， 所以使得成立的最小自然数，故C正确； 对于D，因为， ，当时， 所以当或时，，故D错误. 故选：AC 10. 已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（ ） A. B. C. 数列可能是等比数列 D. 数列为递增数列 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由数列前项和与通项的关系求出和的值，可判断A、B，利用反证法判断选项C，分析的符号，即可判断选项D. 【详解】因为， 所以当时，，又数列各项均为负数，所以，故A错误； 当时，，解得或（舍去），故B正确； 对于C，假设数列是等比数列，设其公比为， 由于，即， 变形可得， 必有，与等比数列定义矛盾，即数列不可能是等比数列，故C错误； 对于D，当时，可得， 必有即，则数列是递增数列，故D正确； 故选：BD 11. “曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示： 已知双曲线左、右焦点为，，，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. C. 过点作垂直AM的延长线于H，则 D. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，直接求离心率；B选项，判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；C选项，联立两条直线方程求出点坐标；D选项，可由双曲线渐近线的斜率得到. 【详解】A选项：由双曲线，则， 离心率，A错误； B选项：根据题意，满足双曲线方程，点在双曲线上，， 所以， 与双曲线方程联立，得到， 可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线. 根据题中条件“过双曲线上任意一点切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知， ，故B正确； C选项：，因为直线垂直于直线，所以. 因为，可求得. 两方程进行联立，解出，故C正确； D选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间. 焦点在轴上的双曲线渐近线斜率，斜率的取值范围应为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用双曲线的光学性质判断选项. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共计15分．） 12. 已知为数列的前项和，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据作差得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出、，代入计算可得. 【详解】因为，当时，，解得， 当时，所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 13. 若曲线：与的图象有个交点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知曲线：过坐标原点，从而建立方程，即可求解. 【详解】曲线：表示以为圆心，半径为的圆， 表示直线或， 因为曲线：与的图象有个交点， 如图所示，曲线：过坐标原点， 故，解得. 故答案为：. 14. 数列首项，，令，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前项和． 【详解】因为， 所以，又， 所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 代入得， 设数列的前项和为， 则， 则. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共计77分．） 15. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，解方程组即可得解； （2）由，结合的公差计算可得. 【小问1详解】 设数列的公差为d， 依题意可得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 则 . 16. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列前项的和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等比数列， 则， 故； 【小问2详解】 由（1）可知， 故 则 故 故 则 17. 已知数列满足，． （1）求数列的前n项和； （2）设的前项和为，证明：． 【答案】（1），. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出的通项公式,再由分组求和求出； （2）由（1）可得，利用等比数列求和公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； ； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，即， 所以， 所以 . 18. 在平面直角坐标系中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线的斜率为，的面积为1． （1）求C的方程； （2）过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线于点D，过点A作直线的垂线与C的另一交点为E，的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设准线l与x轴的交点为N，得到，再根据的面积求出，即可得解. （2）设直线的方程为，设出点和点的坐标，再将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，直线的方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，再根据中点坐标可得点的坐标，即可得出G，B，D三点纵坐标相等. 【小问1详解】 设准线l与x轴的交点为N， ∵直线的斜率为，∴，又， ∴，∴， 故抛物线C的方程为：. 【小问2详解】 证明：由（1）得，由题可设直线的方程为，设点，， 联立，得， 则，，， 又因为直线的方程为， 将代入直线的方程得，即点，所以， 因为，则， 所以直线的方程为， 联立，得，则， 故，， 故G，B，D三点纵坐标相等. 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．以线FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点，不经过点A的直线l与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之积为，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，定点 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程； （2）设直线l的方程为，联立方程组，结合韦达定理和求出的值，根据直线方程即可求出定点. 【小问1详解】 由题意可知：， 则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立方程组，得， 则， 且， 由，即， 化简得，解得或（舍） 所以直线l的方程为， 因此直线l过定点. 【点睛】关键点点睛：根据椭圆定义求曲线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期11月考试 高二数学试卷 （试卷满分150，考试时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共计40分．） 1. 下列直线的倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，，对任意，都有，则（ ） A. B. C. D. 3. 若数列、满足，，，则数列的前项和为（ ） A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 4. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知等差数列的公差不为，，对于都有成立，则（ ） A. 4047 B. 4046 C. 2025 D. 4049 7. 已知数列的前n项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知等差数列前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. 使得成立最小自然数 D. 时， 10. 已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（ ） A. B. C. 数列可能是等比数列 D. 数列为递增数列 11. “曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示： 已知双曲线左、右焦点为，，，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B C. 过点作垂直AM的延长线于H，则 D. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共计15分．） 12. 已知为数列的前项和，若，则______． 13. 若曲线：与的图象有个交点，则______． 14. 数列首项，，令，则______． 四、解答题（本题共5小题，共计77分．） 15. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 16. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列前项和． 17. 已知数列满足，． （1）求数列的前n项和； （2）设的前项和为，证明：． 18. 在平面直角坐标系中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线的斜率为，的面积为1． （1）求C的方程； （2）过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线于点D，过点A作直线的垂线与C的另一交点为E，的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等． 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．以线FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线． （1）求曲线方程； （2）设点，不经过点A的直线l与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之积为，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $