精品解析：福建省泉州市永春县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024-2025学年永春第二中学高一数学上学期月考试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 18 8. 已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数若关于的方程有3个实数解，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程恰有3个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是_____________. 13. 已知函数，则函数的定义域为_____________. 14. 已知函数，若，则的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求出，，. （2）若，求实数的取值范围. 16. 计算 （1）； （2）. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 18. 金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年永春第二中学高一数学上学期月考试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算求解. 【详解】因为集合，， . 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”. 故选：C. 3. 在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性以及零点存在定理即可求解. 【详解】由题意函数单调递增，且， 由零点存在定理可知方程的实数解所在的区间只能为. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得，且，解得. 故选：B. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义可判断为偶函数，再根据函数值的大小可得结论. 【详解】易知，又定义域为， 故函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除B、D， 又当时，，故可排除C. 故选：A. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数单调性即可得解. 【详解】由题意. 故选：B. 7. 设，，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由乘“1”法利用基本不等式即可求解. 【详解】，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9. 故选：B. 8. 已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合一次函数与对数函数的性质求解． 【详解】令， 因为在上单调递增， 由题意可得在上是减函数，且， ∴，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项：利用特殊值法可判断BC选项；利用指数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，由不等式的性质可得，A对； 对于B选项，当时，，B错； 对于C选项，因为，取，，则，C错； 对于D选项，因为函数为上的增函数，且，则，D对. 故选：AD. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数若关于的方程有3个实数解，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程恰有3个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，通过作关于轴对称的函数的图象与的交点情况，不难判断；对于B，C两项，主要是考虑二次函数图象的对称性和的取值范围分析或者特例判断即得；对于D项，要先判断的范围，结合图象易得. 【详解】如图，依题意作出函数的图象， 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：，， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：将方程的解的个数转化为函数的零点个数，或转化为对应的两个函数的图象交点个数求解，再通过作出函数的图象，根据其对称性、单调性或值域等推导相应参数的范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由（且）可求得定点的坐标. 【详解】对于函数（且），令，可得，且，故点. 故答案为：. 13. 已知函数，则函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于0，偶次根式非负以及分母不为0列式求解. 【详解】函数的定义需满足，得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知函数，若，则的最小值为_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意结合图象可得，且，结合基本不等式运算求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 因为，且，所以， 所以，则，可得， 即，且， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求出，，. （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合后根据交集、并集和补集的定义可求相应的集合. （2）根据集合的包含关系可得关于的不等式组，故可求其取值范围范围. 【小问1详解】 ，时，， ，，或； 【小问2详解】 ， 若，则，即时，， 若，则且，故， 综上，. 16. 计算 （1）； （2）. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）用指数幂的运算可得； （2）用对数函数的运算性质可得. 【详解】（1）原式 （2）原式 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，、， ， 因为在上单调递增，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由求出即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）对不等式进行变形，结合单调性可以列出不等式，进而转化为一元二次不等式在R上恒成立问题. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且为奇函数， 所以， 解得. 经检验当时，有， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数，由已知可得. 由（2）知在上单调递增， 所以， 则在上恒成立， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 18. 金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 【答案】（1）选模型②，且； （2）6.5min； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过表格数据，发现水温随着时间变化逐渐降低，且降低的速度逐渐变慢，所以是第②个函数模型，只需将具体数值代入，即可求得解析式； （2）最佳饮用口感温度为，代入解析式，利用对数式求得； （3）求出的最小值，即为答案. 【小问1详解】 由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，即，可得， 所以且. 【小问2详解】 令，则. 所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min. 【小问3详解】 由，即，所以进行实验时的室温约为. 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2）证明：因为， ， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义及对数的运算性质证明； （3）根据新定义化简函数解析式，再由对数型复合函数的性质求值域即可得解. 【小问1详解】 解：当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由新运算可知， . 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以，则， 所以在上单调递增，则，即， 整理得，，所以， 将代入，得， 同理得，. 所以，是函数在上的两个不同的零点， 则，解得, 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $