精品解析：北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷

北京35中2025届测试试卷 数学 2024.12 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的元素用来表示，再利用集合间的基本关系选择正确答案. 【详解】因为，所以． 故选：A. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简复数，即可求出的虚部. 【详解】, 则的虚部是. 故选：C. 3. 点为圆上一点，点为直线上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，从而利用得到最小值. 【详解】，故圆心为，半径， 其中到直线的距离为， 则的最小值为. 故选：A 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】结合二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，故，故的系数为， 故选：B. 5. 函数，在区间上是增函数，且，则函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 最大值 D. 最小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法，结合余弦函数的图象可得的范围，由范围，结合正弦函数的图象，依次判断选项即可. 【详解】由题意知，设， 函数在区间上是增函数，且， 所以当时，， 对于AB，函数在上先减后增，故排除AB； 对于CD，当时，函数取到最小值，故C错误，D正确. 故选：D. 6. 记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式可得，即可充要条件的定义求解. 【详解】若是递增数列，则公差， 所以， 故，所以为递增数列， 若为递增数列，则，则， 故，所以是递增数列， 故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件， 故选：C 7. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据勾股定理求得，得出，再根据数量积的定义即可得解. 【详解】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以, 设，则， 在中，，即，解得或（舍去）， 所以， 易知在正方形中，，，， 所以. 故选：B. 8. 噪声污重题染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车､混合动力汽车､电动汽车处测得实际声压分别为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，不满足, 故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：B. 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，.该棱锥的高为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用余弦定理求出，中，求出的值. 【详解】如图，底面为正方形，分别取的中点，连接， ，，则，， ，平面，可知平面， 平面，所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面，所以平面， 由，，，可得，，， 则，可得， 又中，，所以. 故选：B. 10. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（ ）（参考数据：） A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线焦点坐标是，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质直接求解可得. 【详解】的焦点坐标为 ，即. 故答案为：2 12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 13. 若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的一个取值为__________. 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】由题，若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则渐近线比直线更陡，即，求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】若直线与双曲线的右支只有一个公共点， 则，解得：. 故的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为__________，春分时节的日影长为__________尺. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求. 【详解】冬至､小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得： ， 解得： 所以， 所以， 即春分时节的日影长为. 故答案为：. 15. 已知函数，数列满足.给出下列4个结论： ①当时，为常数列； ②当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立； ③当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立； ④若，则存在，使得. 则所有正确的结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用导数可得在上为增函数，据此结合正弦函数的单调性逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于①，当时，，依次有，故为常数列， ①正确； 对于②③，， 而（不恒为零），故在上为增函数， 故时，，当时，， 故若，则，依次有，故， 故此时，所以为递增数列，取，则恒成立， 故②正确； 而当，则，依次有，故， 故此时，所以为递减数列，取，则恒成立， 故③正确； 对于④，设，则由②③的分析可得： 当时，则， 故当，总有， 若为偶数，则，故此时为递增数列， 若为奇数，则，故此时为递减数列， 综上，不存在，使得，故④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】思路点睛：对于较为复杂的三角函数的性质的讨论，可利用导数讨论函数的性质，而数列的单调性则需依据定义展开讨论. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 某批产品由一等品､二等品､三等品及次品构成.随机抽取20件，统计情况如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 次品 件数 10 6 3 1 以频率估计概率. （1）若从这批产品中任取一件，试估计“其为一等品或二等品”的概率； （2）在抽取的20件产品中，随机抽取3件，求其中“既有一等品又有二等品”的概率； （3）若改进技术后，产品为一等品的概率提升为.从这批产品中随机抽取10件产品，其中恰好有5件一等品的概率记为，恰好有7件一等品的概率记为，请直接写出与的大小关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率来估计概率可得答案； （2）利用组合数公式计算所有可能的抽取情况数以及满足既有一等品又有二等品的情况数，再根据概率公式求解； （3）根据二项分布概率公式分别计算改进技术前后的概率，再比较大小. 【小问1详解】 设“若从这批产品中任取一件，其为一等品或二等品”， ； 【小问2详解】 设“在抽取的20件产品中，随机抽取3件，既有一等品又有二等品”， ； 【小问3详解】 ， 因为， 所以. 17. 已知函数的两个相邻零点之间的距离为，__________；从以下三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后完成下面问题. （1）确定的解析式； （2）令，若函数在上不单调，求整数的最小值. 条件①：的一条对称轴为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：为偶函数. 【答案】（1） 选①，； 选②，； 选③，； （2）2 【解析】 【分析】（1）选①②③时，均可根据整体法求出，结合周期可求解析式； （2）利用三角变换公式可得，结合可得，由正弦函数的性质可得满足的不等式，故可求的范围. 【小问1详解】 因为两个相邻零点之间的距离为，故，故. 选①，因为函数的一条对称轴，则， 解得，所以，故； 选②，因为函数的一个对称中心，则， 解得，所以，故； 选③，函数为偶函数， 为偶函数， 得，解得， ，所以，故； 【小问2详解】 ， 当时，， 函数在上不单调，解得. 的最小值为2. 18. 如图，在四棱锥中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接. 在中，分别为的中点， 所以， 因为， 所以. 所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面， 所以.又因为， 所以建立如图空间直角坐标系. 由题意得， ，所以. 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，所以平面的一个法向量为. 易知为平面的一个法向量. 设二面角为，则 所以， 因为为钝角，所以. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2）减区间为，增区间为 （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，即可求切线； （2）利用导数值的正负的来判断函数的单调区间； （3）利用隐零点结合分离参变量法来求最值，并估算答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为，又， 所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为. 因为，所以， 令，解得，令，得. 所以的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 因为对任意的，都有，所以， 令， 由（2）知，在上单调递增， ， 则在区间上存在唯一的零点，即， 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 所以，又因为， 则 所以，所以整数的最大值为3. 20. 已知椭圆，点. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）直线过点且与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在直线使为直角三角形？若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求出，即可得出焦距及离心率； （2）设直线方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出中点，得出中垂线方程求出点, 根据垂直可得向量数量积为0，求出可得解. 【小问1详解】 因为，所以，即，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意知，直线不与轴重合.设方程为. 由. 有. 设的中点为. 则的中垂线方程为， 令，得. . 由题意，， 即 ， 的方程为. 21. 对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列. （1）已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由； （2）若平滑数列是公差为的等差数列，求的最大值； （3）若平滑数列的项数为5，求的最大值. 【答案】（1） 是，不是，理由： 对于，又.符合平滑数列的定义. 对于，考虑到， 因此9无法被表示. （2）2 （3）121 【解析】 【分析】（1）根据题意给出的平滑数列的定义，即可得出答案； （2）由平滑数列的定义和反证法先证，再由数学归纳法证可以取到2，即可求出求的最大值； （3）由平滑数列的定义先证，再证可取到121，即可求出的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的最大值为2. 先证.假设：因为，于是. 则，即. 因为，于是. 所以 ， 可以得到，与假设矛盾，因此假设不成立，即. 再证可以取到2：构造数列.以下用归纳法证明对于任意， 该数列是平滑数列.根据等差数列的性质，有. 首先，由（1）知为平滑数列. 假设为平滑数列，即， 使得 那么对于，由归纳假设，此时若令，可以表示中的任意数； 若令，可以表示中的任意数. 因为时，，所以上述两集合包含了从1到中的所有自然数. 所以为平滑数列.因此合题意. 所以的最大值为2. 【小问3详解】 的最大值为121.先证. 对于平滑数列，对于， 考虑的所有可能情况，共有种. 当时，此时和为零，于是非零的情况至多有242种. 又对于每一组，都可取与之对应， 此时， 因此和为正数的情况至多有种. 因此. 再证可取到121. 构造数列.由于及上面的论证， 只需证明对于不同的各不相同. ，设，有， 若满足， 即. 若，此时不是3的倍数，但是3的倍数，矛盾.因此； 若，此时不是9的倍数，但是9的倍数，矛盾.因此； 同理可证均等于零. 因此若，必有.得证. 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性.抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析；计算特性是将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京35中2025届测试试卷 数学 2024.12 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 点为圆上一点，点为直线上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 15 C. D. 30 5. 函数，在区间上是增函数，且，则函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 最大值 D. 最小值 6. 记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 8. 噪声污重题染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车､混合动力汽车､电动汽车处测得实际声压分别为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，.该棱锥的高为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（ ）（参考数据：） A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线焦点坐标是，则______． 12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为__________. 13. 若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的一个取值为__________. 14. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为__________，春分时节的日影长为__________尺. 15. 已知函数，数列满足.给出下列4个结论： ①当时，为常数列； ②当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立； ③当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立； ④若，则存在，使得. 则所有正确的结论的序号为__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 某批产品由一等品､二等品､三等品及次品构成.随机抽取20件，统计情况如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 次品 件数 10 6 3 1 以频率估计概率. （1）若从这批产品中任取一件，试估计“其为一等品或二等品”的概率； （2）在抽取的20件产品中，随机抽取3件，求其中“既有一等品又有二等品”的概率； （3）若改进技术后，产品为一等品的概率提升为.从这批产品中随机抽取10件产品，其中恰好有5件一等品的概率记为，恰好有7件一等品的概率记为，请直接写出与的大小关系. 17. 已知函数的两个相邻零点之间的距离为，__________；从以下三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后完成下面问题. （1）确定的解析式； （2）令，若函数在上不单调，求整数的最小值. 条件①：的一条对称轴为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：为偶函数. 18. 如图，在四棱锥中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的余弦值. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 20. 已知椭圆，点. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）直线过点且与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在直线使为直角三角形？若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21. 对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列. （1）已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由； （2）若平滑数列是公差为的等差数列，求的最大值； （3）若平滑数列的项数为5，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $