6.2 无理数和实数 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

6.2 无理数和实数 一、无理数 无理数定义为无限不循环小数。常见的无理数形式有三种： 1.开方开不尽的数，例如根号3，根号5等。 2.含有π的一类数，例如π，π加1，2倍π等。 3.以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，例如0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）。 无理数与有理数的区别在于：有理数是有限小数或无限循环小数，可以写成分数的形式；而无理数不能写成分数的形式。 二、实数 有理数和无理数统称为实数。实数可以按照以下方式分类： 1.按定义分类：正有理数、零、负有理数、正无理数、负无理数。 2.按性质分类：正实数（正有理数和正无理数）、零、负实数（负有理数和负无理数）。 实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的每一个点也都表示一个实数。 实数的相反数、绝对值、倒数的概念和有理数的相反数、绝对值、倒数的意义类似。 实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。 实数大小的比较方法包括作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法等。在数轴上，不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 巩固课内例1:求无理数的相反数、倒数、绝对值 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：B． 2．的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【答案】 / 【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，绝对值等于的数是，， 故答案为：，，． 3．已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算． 直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，再利用平方根的意义进而得出答案． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为． 巩固课内例2:计算器算近似值 1．自然常数e，圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值(所有近似值保留到小数点后一位)在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，求一个数的算术平方根，根据代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知，若对x取近似值保留到个位，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据，得出，求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴对x取近似值保留到个位，则． 故答案为：6． 3．提出问题： 单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含1位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； (2)综合上述具体探究尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则___________（用含a、b的代数式表示）； (3)应用上探究结果，直接写出的近似值，___________（结果只包含2位小数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键． （1）参照题目的过程解题即可； （2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可； （3）参照（1）中的过程，由，设，解题即可． 【详解】（1）解：面积是31的正方形的边长是， 设，如图，面积为31的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：面积是31的正方形的边长是， ∵， 设， 如图，面积为31的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即． 巩固课内例3:在数轴上表示无理数 1．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，即可求解． 【详解】到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，比点表示的数大1或小1， 点所表示的数为或. 故选：C． 2．如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理计算得出，结合题意得出，即可得解． 【详解】解：∵在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且， ∴，， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 3．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ____________________． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，比较实数大小，先化简各数，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：，在数轴上表示各数如图： 由图可知：． 类型一、无理数的定义 1．在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数的个数是 （      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，求立方根，根据无理数的定义判断即可．定义：无限不循环小数叫做无理数． 【详解】解：， 在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数有（每相邻的两个0之间依次增加一个1），共3个． 故选：B． 2．在实数“，，，”中的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根． 【详解】解：， 故在实数“，，，”中的无理数是， 故答案为：． 3．把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 【答案】有理数数集合：｛、、0、、…｝无理数数集合：｛、，3.1041004…｝ 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的各个分类依据是解题的关键．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数，有规律但不循环的数．根据有理数、无理数的定义进行解答即可． 【详解】解： 有理数数集合：｛、、0、、…｝ 无理数数集合：｛、，3.1041004…｝． 类型二、实数的定义 1．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 2．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【答案】2 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键． 3．若m，n为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值与平方的非负数性，实数的含义，求解代数式的值，根据非负数的性质可得，，求解，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 类型三、实数的分类 1．下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C．（每相邻的两个0之间依次增加一个 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数和有理数，掌握其定义是解决此题的关键．根据无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，进行判断即可． 【详解】解：，，（每相邻的两个0之间依次增加一个，中，只有是有理数， 故选：B． 2．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 3．有下列各数： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113…（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有______．（填序号） (2)属于负分数的有______．（填序号） (3)属于无理数的有______．（填序号） 【答案】(1)④⑥ (2)②⑤ (3)③⑦ 【分析】本题考查了求算术平方根、求绝对值、实数的分类，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先化简，，再根据整数的定义即可得解； （2）根据负分数的定义即可得解 （3）根据无理数的定义即可得解． 【详解】（1）解：，， 属于整数的有④⑥； （2）解：属于负分数的有②⑤； （3）解：属于无理数的有③⑦． 类型一、实数的比较大小 1．以下四个数中最小的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较；先根据实数的大小比较法则比较大小，即可求解． 【详解】解：， ∴最小的是， 故选：D． 2．比较大小： 1（填写“>”或“<”）． 【答案】 【分析】此题考查了实数大小比较，弄清无理数大小估算方法是解本题的关键．估算出的大小，即可判断出所求． 【详解】解：， 故答案为：． 3．已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根． (1)求a，b，c的值． (2)比较与的大小． 【答案】(1)，或， (2)当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，根据平方根求原数： （1）根据无理数的估算方法求出的范围即可求出a、c的值，根据平方根的定义即可求出b的值； （2）根据（1）所求先求出的结果，再根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵在两个连续的自然数和之间， ∴或 ∵是的一个平方根， ∴； ∴，或，； （2）解：当，时，， ∵， ∴， ∴； 当时，． 类型二、实数的数轴 1．如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，数轴上点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根，掌握网格求面积的方法，以及实数在数轴的表示是解题的关键．根据网格的数据，可求正方形的面积，从而得到正方形的边长，从而得到结果． 【详解】大正方形面积为， ∴大正方形边长为， ∴数轴上点A表示的数为， 故选：A． 2．已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【详解】根据数轴可知，则可知，， ； 故答案为：． 3．如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成． (1)图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是____，它的边长是_____． (2)如图2所示，点A表示的数是_____． (3)请你在的网格中画出一个面积为10的正方形．（请用2B铅笔作图） 【答案】(1)5， (2) (3)图见解析 【分析】本题考查利用网格求面积，实数与数轴，算术平方根的应用： （1）利用分割法求出正方形的面积，利用算术平方根的定义求出正方形的边长； （2）根据两点间的距离公式进行求解即可； （3）在网格中画出一个边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：由图可知：正方形的面积为：； ∴正方形的边长为：， 故答案为：5，； （2）由（1）知：正方形的边长为：， ∴点表示的数为：； （3）由题意，画出一个边长为的正方形即可，如图即为所求． 或 类型三、实数的混合运算 1．计算的结果为（    ） A．0 B．4 C． D．0或 【答案】A 【分析】本题主要查了立方根和算术平方根的性质．直接利用立方根和算术平方根的性质分别化简，即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 2．计算的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的混合运算，根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算立方根和算术平方根，然后计算乘法，最后计算加减即可； （2）首先计算立方根和算术平方根，化简绝对值，然后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、无理数的大小估算 1．估算的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．先判断38在哪2个相邻的平方数之间，然后可得在哪2个相邻的整数之间，进而可得出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2．已知整数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵整数满足， ∴， 故答案为：． 3．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为，的小数部分为 (2)的平方根为 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）利用例题结合，进而得出答案； （2）利用例题结合，，可求得a与b的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为，的小数部分为； （2）解：，即， 的整数部分为，小数部分为， ，即， 的整数部分为， 则， 的平方根为． 类型二、程序中的实数 1．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，理解“数值转换机”，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：当时，是整数，不是无理数； 当时，是整数，不是无理数； 当时，是无理数， ∴输出的的值为， 故选：B． 2．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 3．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 类型三、新定义中的实数 1．对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（　　） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，定义新运算，先根据新运算法则得出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得. 故选：C． 2．用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 【答案】19 【分析】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：19． 3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数， 次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 ，， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 类型四、实数运算的实际应用 1．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 2．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值； (2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根； (3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了实数的运算、立方根与算术平方根、二元一次方程组的应用，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）根据实数的运算法则可得，由此即可得； （2）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据立方根的性质求解即可得； （3）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵为有理数， ∴为有理数， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得， ∴， 则的立方根是． （3）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得或， 则或， 所以的算术平方根是或． 1．下列各数为无理数的是（   ） A． B． C．3.14 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：，，3.14是有理数； 是无理数． 故选D． 2．实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，根据图示，可得：，且，据此判断即可． 【详解】解：根据图示，可得：，且， ∴ ∴最大的数是， 故选：D． 3．在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算、数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 4．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数和实数的大小比较，根据题意，作差，先通分，得，得到，根据，，则，推出，即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．已知实数，，，，，，其中无理数的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：， 在实数，，，，，中无理数有，，共3个． 故答案为：3． 6．已知、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，那么的主要值是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，根据、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，可以求得的主要值．解题的关键是明确题意，估算出处于哪两个整数之间． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的主要值是． 故答案为：． 7．将下列各数，，，，，填在相应的大括号内． 整数：{___________________…}： 负分数：{__________________…}； 无理数：{__________________…}． 【答案】，；，；， 【分析】本题考查了实数的分类，，据此进行分类即可求解；掌握分类的方法是解题的关键． 【详解】解：整数：，； 负分数：，； 无理数：，； 故答案：，；，；，． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2)35 (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”，立方根，算术平方根定义． （1）根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【答案】（1）（2）①②③（3）①② 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算： （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴①； ②； ③； 故答案为：①②③； （3）①原式； ②原式． 10．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 无理数和实数 一、无理数 无理数定义为无限不循环小数。常见的无理数形式有三种： 1.开方开不尽的数，例如根号3，根号5等。 2.含有π的一类数，例如π，π加1，2倍π等。 3.以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，例如0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）。 无理数与有理数的区别在于：有理数是有限小数或无限循环小数，可以写成分数的形式；而无理数不能写成分数的形式。 二、实数 有理数和无理数统称为实数。实数可以按照以下方式分类： 1.按定义分类：正有理数、零、负有理数、正无理数、负无理数。 2.按性质分类：正实数（正有理数和正无理数）、零、负实数（负有理数和负无理数）。 实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的每一个点也都表示一个实数。 实数的相反数、绝对值、倒数的概念和有理数的相反数、绝对值、倒数的意义类似。 实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。 实数大小的比较方法包括作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法等。在数轴上，不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 巩固课内例1:求无理数的相反数、倒数、绝对值 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 3．已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根． 巩固课内例2:计算器算近似值 1．自然常数e，圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值(所有近似值保留到小数点后一位)在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 2．已知，若对x取近似值保留到个位，则 ． 3．提出问题： 单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含1位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； (2)综合上述具体探究尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则___________（用含a、b的代数式表示）； (3)应用上探究结果，直接写出的近似值，___________（结果只包含2位小数）． 巩固课内例3:在数轴上表示无理数 1．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为 ． 3．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ____________________． 类型一、无理数的定义 1．在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数的个数是 （      ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在实数“，，，”中的无理数是 ． 3．把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 类型二、实数的定义 1．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 2．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 3．若m，n为实数，且，求的值． 类型三、实数的分类 1．下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C．（每相邻的两个0之间依次增加一个 D． 2．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 3．有下列各数： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113…（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有______．（填序号） (2)属于负分数的有______．（填序号） (3)属于无理数的有______．（填序号） 类型一、实数的比较大小 1．以下四个数中最小的是（      ） A． B． C． D． 2．比较大小： 1（填写“>”或“<”）． 3．已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根． (1)求a，b，c的值． (2)比较与的大小． 类型二、实数的数轴 1．如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，数轴上点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 3．如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成． (1)图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是____，它的边长是_____． (2)如图2所示，点A表示的数是_____． (3)请你在的网格中画出一个面积为10的正方形．（请用2B铅笔作图） 类型三、实数的混合运算 1．计算的结果为（    ） A．0 B．4 C． D．0或 2．计算的值为 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型一、无理数的大小估算 1．估算的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．已知整数满足，则的值为 ． 3．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 类型二、程序中的实数 1．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 2．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 3．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 类型三、新定义中的实数 1．对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（　　） A．4 B． C．6 D． 2．用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数， 次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 类型四、实数运算的实际应用 1．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 2．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值； (2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根； (3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根． 1．下列各数为无理数的是（   ） A． B． C．3.14 D． 2．实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （    ） A． B． C． D． 3．在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．比较大小： ． 5．已知实数，，，，，，其中无理数的个数为 ． 6．已知、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，那么的主要值是 ． 7．将下列各数，，，，，填在相应的大括号内． 整数：{___________________…}： 负分数：{__________________…}； 无理数：{__________________…}． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 9．（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 10．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$