精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

惠来一中2024—2025学年度第一学期期末质检考试 八年级数学试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别，关键是掌握轴对称图形的定义，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各数：，，0，，，，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵，两个是无理数； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式的加法计算，求一个数的立方根，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 直角都相等 C. 同位角相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】利用对顶角、直角、同位角的概念及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 对顶角相等，真命题； B. 直角都相等，真命题； C. 两直线平行，同位角相等，故此选项为假命题； D. 全等三角形的对应角相等，真命题. 故选C. 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解对顶角、直角、同位角的概念及全等三角形的性质，难度不大． 5. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：B． 6. 若点在x轴上，则点，在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据x轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点的坐标，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选C． 7. 若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根等知识点，根据非负数的性质求出与的值，再代入进行计算即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ 故选：A． 8. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 9.1 9.3 9.2 0.1 如果每个评委打分都高0.1，那么表格中数据一定不会发生变化的是（） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：如果每个评委打分都高0.1，那么这组数据的波动幅度不会受到影响， 所以方差不会发生变化， 故选：D． 9. 关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式进行计算，根据题意令项的系数为0，且常数项为，得出m，n的值，进而即可求解． 【详解】解：， ∵结果中不含x的二次项，且常数项为， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 10. 如图，一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设定一个为一次函数y1＝ax+b的图象，再考虑另一条的a，b的值，看看是否矛盾即可． 【详解】解：A、如果过第一二四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＜0，b＞0，两结论不矛盾，故正确； B、如果过第一二四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论相矛盾，故错误； C、如果过第一二四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＜0，b＜0，两结论相矛盾，故错误； D、如果过第二三四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论相矛盾，故错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质．要掌握它的性质才能灵活解题，一次函数的图象有四种情况：①当k>0，b>0时，函数经过一、二、三象限；②当k>0，b<0时，函数经过一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数经过一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数经过二、三、四象限． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 马头天福酥鱼，这道源自邯郸的地道珍馐，早在魏晋时期即被列为贡品．将“马头天福酥鱼”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“马”字所在面相对的面上的汉字是________． 【答案】福 【解析】 【分析】本题主要考查正方体的展开图相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．根据正方体的展开图进行判断即可． 【详解】解：由正方体的展开图可知“马”字所在面相对的面上的汉字是“福”． 故答案为：福． 12. 如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为______． 【答案】64 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，熟知勾股定理和正方形的面积公式即可解答．由勾股定理求出正方形的边长，再由正方形的面积公式解答． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 故答案为；64． 13. 将一次函数图象向上平移3个单位，平移后图象的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据上加下减，左加右减的规律进行作答即可 【详解】解：∵一次函数图象向上平移3个单位 ∴平移后图象的解析式为 故答案为： 14. 一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查补角与余角，一元一次方程解决实际问题． 设设这个角为x，则补角为，根据“一个角等于它的补角的5倍”即可列出方程，求解得到这个角，进而根据补角和余角的定义即可解答． 【详解】解：设这个角为x，则补角为， 由题意可得：， 解得：， 则补角为， ∴补角的余角为：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理,熟练掌握轴对称的性质及等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．作点N关于的对称点，连结，，过点B作于点H，则，所以，当与点H重合时，点M为与的交点，取最小值，再根据等腰三角形的三线合一性质，得到，，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积，即可求得答案． 【详解】解：作点N关于的对称点，连结，，过点B作于点H， 则， ， 当与点H重合时，点M为与的交点，取最小值， ，平分， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 三、解答题（第16题10分，17题6分，18题8分，共24分） 16. （1）计算： （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握实数的混合运算及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）先计算零指数幂，立方根，绝对值化简，再计算求和，即得答案； （2）用加减消元法求解，即得答案． 【详解】解：(1) ； (2)由，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， 该方程组的解为． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，先利用完全平方公式以及平方差公式将原式展开，合并同类项后得到：原式，再将、的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 某中学初三（1）班共有40名同学，在一次30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表： 跳绳数/个 81 85 90 93 95 98 100 人 数 1 2 8 11 5 将这些数据按组距5（个）分组，绘制成如图的频数分布直方图（不完整）． （1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图； （2）这个班同学这次跳绳成绩的众数是　 　个，中位数是　 　个； （3）若跳满90个可得满分，学校初三年级共有720人，试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分． 【答案】（1）见解析；（2）95；95；（3）54人. 【解析】 【分析】（1）首先根据直方图得到95.5﹣100.5小组共有13人，由统计表知道跳100个的有5人，从而求得跳98个的人数； （2）根据众数和中位数的定义填空即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】解：（1）根据直方图得到95.5﹣100.5小组共有13人，由统计表知道跳100个的有5人， ∴跳98个的有13﹣5=8（人）， 跳90个的有40﹣1﹣2﹣8﹣11﹣8﹣5=5（人）， 故统计表为： 跳绳数/个 81 85 90 93 95 98 100 人数 1 2 5 8 11 8 5 直方图为： （2）观察统计表知：众数为95个，中位数为95个； （3）估计该中学初三年级不能得满分的有720×=54（人）． 【点睛】本题考查了频数分布表以及频率分布直方图的知识，解题的关键是读懂题目意思并读懂两个统计图，难度中等. 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）的面积为__________． （3）在轴上画一点，使得的值最小． 【答案】（1）见解析， （2）5.5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长方形的面积减去四周三个三角形的面积； （3）连接，与x轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，； 【小问2详解】 解：， 故答案为：5.5； 【小问3详解】 解：如图，连接与x轴交于P，则此时的值最小，点P即为所求． 20. 如图，在中，平分交于点，过点作且交的延长线于点，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 21. 疫情期间黄马褂物流公司为本县A镇运送防疫物资，该物流公司有甲、乙两种货车用来运输，如果用3辆甲车和2辆乙车载满货物一次可运17吨；用2辆甲车和3辆乙车载满货物一次可运18吨，现需要运输32吨防疫物资，计划同时租用甲车和乙车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物． （1）1辆甲车和1辆乙车都载满货物一次可分别运输货物多少吨？ （2）若甲车每辆需租金240元/次，乙车每辆需租金200元/次，请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金． 【答案】（1）1辆甲车载满货物一次可运输货物3吨,1辆乙车载满货物一次可运输货物4吨； （2）方案1：租用4辆甲车，5辆乙车，所需租车费用为元；方案2：租用8辆甲车，2辆乙车，所需租车费用为元．当租用4辆甲车，5辆乙车时，租金最少，最少租金为1960元． 【解析】 【分析】（1）设1辆甲车载满货物一次可运输货物x吨，1辆乙车载满货物一次可运输货物y吨，再根据用3辆甲车和2辆乙车载满货物一次可运17吨；用2辆甲车和3辆乙车载满货物一次可运18吨，建立方程组解题即可； （2）设需租用甲车m辆，乙车n辆，根据需要运输32吨防疫物资， 建立二元一次方程，再利用方程正整数解可得答案. 【小问1详解】 解：设1辆甲车载满货物一次可运输货物x吨，1辆乙车载满货物一次可运输货物y吨， 依题意得：， 解得：， 答：1辆甲车载满货物一次可运输货物3吨1辆乙车载满货物一次可运输货物4吨． 【小问2详解】 设需租用甲车m辆，乙车n辆， 依题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用4辆甲车，5辆乙车，所需租车费用为（元）； 方案2：租用8辆甲车，2辆乙车，所需租车费用（元）． ∵， ∴当租用4辆甲车，5辆乙车时，租金最少，最少租金为1960元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，确定相等关系是解本题的关键. 五、解答题（三）（每题12分，共24分） 22. 【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等． 【项目方案】 （1）方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ （2）方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ （3）【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 【答案】（1）至少需要布设个监控器； （2）至少需要布设个监控器； （3）． 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据河流的长度是，求出需要布设的监控的数量； 过作于点，构造直角三角形利用勾股定理求出，设，则，在中，，在中，，得到方程，解方程求出，可知此时监控监测的范围是，根据河流的长度求出布设监控的数量； 因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 在中，， 【小问1详解】 解：，，， 在中，， 又河流的长度是， ， 至少要布设个监控； 【小问2详解】 解：如下图所示， 过作于点， 则， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 此时，符合题意， ， 至少需要布设个监控器； 【小问3详解】 解：因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 【点睛】本题考查了勾股定理、方案设计，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，然后再设未知数列方程． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8． （1）求点B的坐标和直线AB的函数表达式； （2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m． ①用含m的代数式表示△ABP的面积； ②当S△ABP=6时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为（4，0），直线AB的函数表达式为y=﹣x+4； （2）①S△ABP=2m﹣4；②点P的坐标为（2，5）；③存在，点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）． 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，结合S△AOB=8即可求出b值，进而可得出点B的坐标和直线AB的函数表达式； （2）①由OB的长度结合直线a垂直平分OB，可得出OE、BE的长度，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可用含m的代数式表示出DP的值，再利用三角形的面积公式即可用含m的代数式表示△ABP的面积； ②由①的结论结合S△ABP=6，即可求出m值，此题得解； ③分点Q在x轴及y轴两种情况考虑，利用三角形的面积公式即可求出点Q的坐标，此题得解． 详解】解：（1）∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B， ∴点A的坐标为（0，b），点B的坐标为（b，0）． ∵S△AOB=b2=8， ∴b=±4． ∵点A在y轴正半轴上， ∴b=4， ∴点B的坐标为（4，0），直线AB的函数表达式为y=﹣x+4； （2）①∵直线a垂直平分OB，OB=4， ∴OE=BE=2， 当x=2时，y=﹣x+4=2， ∴点D的坐标为（2，2）， ∵点P的坐标为（2，m）（m＞2）， ∴PD=m﹣2， ∴S△ABP=S△APD+S△BPD， =DP•OE+DP•BE， =×2（m﹣2）+×2（m﹣2）=2m﹣4； ②∵S△ABP=6， ∴2m﹣4=6， ∴m=5， ∴点P的坐标为（2，5）； ③假设存在． 当点Q在x轴上时，设其坐标为（x，0）， ∵S△ABQ=AO•BQ=×4×|x﹣4|=6， ∴x1=1，x2=7， ∴点Q的坐标为（1，0）或（7，0）； 当点Q在y轴上时，设其坐标为（0，y）， ∵S△ABQ=BO•AQ=×4×|y﹣4|=6， ∴y1=1，y2=7， ∴点Q的坐标为（0，1）或（0，7）． 综上所述：假设成立，即在坐标轴上，存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，且点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、垂直平分线、列代数、代数式求值以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征结合三角形的面积，求出b值；（2）①利用三角形的面积公式用含m的代数式表示△ABP的面积；②代入S△ABP=6求出m的值；③分点Q在x轴及y轴上两种情况求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠来一中2024—2025学年度第一学期期末质检考试 八年级数学试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2 下列各数：，，0，，，，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 直角都相等 C. 同位角相等 D. 全等三角形对应角相等 5. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在x轴上，则点，在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2022 8. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 9.1 9.3 9.2 0.1 如果每个评委打分都高0.1，那么表格中数据一定不会发生变化的是（） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 9. 关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 马头天福酥鱼，这道源自邯郸的地道珍馐，早在魏晋时期即被列为贡品．将“马头天福酥鱼”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“马”字所在面相对的面上的汉字是________． 12. 如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为______． 13. 将一次函数图象向上平移3个单位，平移后图象的解析式为______． 14. 一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是______． 15. 如图，在中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是______． 三、解答题（第16题10分，17题6分，18题8分，共24分） 16. （1）计算： （2）解方程组：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 某中学初三（1）班共有40名同学，在一次30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表： 跳绳数/个 81 85 90 93 95 98 100 人 数 1 2 8 11 5 将这些数据按组距5（个）分组，绘制成如图的频数分布直方图（不完整）． （1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图； （2）这个班同学这次跳绳成绩的众数是　 　个，中位数是　 　个； （3）若跳满90个可得满分，学校初三年级共有720人，试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）的面积为__________． （3）在轴上画一点，使得的值最小． 20. 如图，在中，平分交于点，过点作且交延长线于点，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 疫情期间黄马褂物流公司为本县A镇运送防疫物资，该物流公司有甲、乙两种货车用来运输，如果用3辆甲车和2辆乙车载满货物一次可运17吨；用2辆甲车和3辆乙车载满货物一次可运18吨，现需要运输32吨防疫物资，计划同时租用甲车和乙车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物． （1）1辆甲车和1辆乙车都载满货物一次可分别运输货物多少吨？ （2）若甲车每辆需租金240元/次，乙车每辆需租金200元/次，请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金． 五、解答题（三）（每题12分，共24分） 22. 【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等． 【项目方案】 （1）方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ （2）方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ （3）【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8． （1）求点B的坐标和直线AB的函数表达式； （2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m． ①用含m的代数式表示△ABP的面积； ②当S△ABP=6时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$