安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一上学期期末测试数学试卷

2024~2025学年度高一年级上学期期末测试 数学试题 (考试时间:120分钟 满分:150分) 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。 2.答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答题时，必须使用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用 0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1. 已知集合A={x|-3≤x≤3}, B={x|y= -x}, 则A∩B=( ) A. [0,1] B. [-3,1] C. [-3,+∞) D. [1,3] 2. 已知函数 则f(3)= ( ). A. 1 B. log₂3 C. 0 D. 2 3.已知关于x的不等式 的解集为{x|1<x<2},则不等式 的解集是( ) C. {x|-3<x<1} D. {x|-1<x<3} 4. 已知 则a,b,c的大小关系是 ( ) A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>a>b 5. 函数 且a≠1)的图象恒过定点P，若点P在幂函数f(x)的图象上，则幂函数f(x)的图象大致是( ) 高一年级上学期期末测试·数学 第1页(共4页) 省才联考 6. 已知角α的终边经过点(-1，m)， 且 则tan2α= ( ) 7. 已知 则 cos(α+β)的值为( ) 8. 已知函数g(x)，h(x)分别为定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 若函数 有唯一零点，则实数λ的值为( ) A. - 1或1一2 B. 1或 C. - 2或1 D. - 1或2 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9.下列说法正确的是 ( ) A. “x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件 B.弧长和面积均为π的扇形的半径为2 C. “∀x>1, 2x+1≥5”的否定是“∃x>1, 2x+1<5” D. 函数y= xlnx的零点是(1,0) 10. 已知函数 的部分图象如所示，则( ) 是f(x)的一个对称中心 C. f(x)的单调递增区间为 D. 若实数x₁,x₂满足 则 |的最小值为 11. 已知函数f(x)=|cos2x-sinx|,则下列说法正确的是 ( ) A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)关于直线 对称 C. f(x)的值域为[0,2] D. f(x)=1在区间[0,2π]上恰有7个不同的实数根 高一年级上学期期末测试·数学 第2页(共4页) 省十联考 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分 12. 写出函数f(x)=3-5cosx取得最大值时的x的取值集合: . 13. 已知a,b为正实数, 且满足2a+b= ab,则a+b的最小值为 . 14. 已知函数 函数 若对任意的实数 总存在实数 使得 成立，则实数m的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知集合A={x|a<x<2a+1}且A≠φ,集合. 命题p：x∈A, 命题q:x∈B. (1) 若 求(CRA)∩B; (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. (本小题15分) (1)已知角α以x轴的非负半轴为始边， P(1，3)为终边上一点.求 的值； (2) 已知α, β都是锐角, 求cosβ的值. 17.(本小题15分)已知函数 (1)求函数y=f(x)的单调递增区间及对称中心； (2)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到函数y=g(x)的图象, 求函数y=g(x)在区间 上的值域. 高一年级上学期期末测试·数学 第3页(共4页) 省十联考 18.(本小题17分)已知定义域为R 的函数 是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数 的单调性，并证明； (3)若不等式 对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 19.(本小题17分)设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个二元函数，记作z=f(x, y), x, y∈A, 其中A称为二元函数f的定义域. (1) 已知 若 求 (2)设二元函数f的定义域为Ⅰ,如果存在实数M满足:①∀x, y∈I,都有f(x, y)≥M;② 使得 那么，我们称M 是二元函数f(x，y)的下确界.若x, y∈(0,+∞)且 判断函数 是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由. (3) 设 f(x, y) 的 定 义 域 为 R , 若 ∃h>0 , 对 于 ∀x, y∈D⊆R , 都有 则称 f 在D上是关于h单调递增.已知 在[1，2]上是关于1单调递增，求实数k的取值范围. 高一年级上学期期末测试·数学 第4页(共4页) 省十联考 2024~2025学年度高一年级上学期期末测试 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|-3≤x≤3}, B={x|y= -x}, 则A∩B= ( ) A.[0,1] B.[-3,1] C.[-3,+∞) D.[1,3] 【答案】B 【详解】由题意知, A={x|-3≤x≤3}, B={x|x≤1}, 所以A∩B=[-3,1]故选 B. 2.已知函数 则f(3)=( ). A.1 B. log₂3 C.0 D.2 【答案】A 【详解】由 故选A. 3.已知关于x的不等式 的解集为{x|1<x<2}, 则不等式 的解集是 ( ) C. {x|-3<x<1} D. {x|-1<x<3} 【答案】D 【详解】由题可知 的根为 1 和 2,带入方程可得a=-1,b=3,不等式 等价于 故解集为{x|-1<x<3}, 选D 4.已知 则 a,b,c的大小关系是 ( ) A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>a>b 【答案】B 【详解】由题可知 故a>c>b, 选B. 5.函数 且a≠1)的图象恒过定点 P，若点P在幂函数f(x)的图象上，则幂函数f(x)的图象大致是( ) A. 【答案】B 【详解】函数 且a≠1)过定点P(4,2), 设 代入可得2=4°,所以 故幂函数 选B 6.已知角α的终边经过点(-1，m)，且 则 tan 2α= ( ) A. B. 【答案】C 【详解】sinα>0且角α的终边经过点(-1，m)，故角α为第二象限角， 故 故选 C. 7.已知 则 cos(α+β)的值为( ) 【答案】B 【详解】tanα-tanβ=2且 则 整 理 得 又 整理得 所以 故选 B 8.已知函数g(x)，h(x)分别为定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 若函数 有唯一零点，则实数λ的值为( ) A.-1或1一2 B.1或 C.-2或1 D.-1或2 【答案】A 【详解】由题可知联立可得 而函数 关于x=2025对称，有唯一零点一定在x=2025 处取得，故有 化简得 , 解得λ=-1或 故选A 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9.下列说法正确的是 ( ) A. “x>2且y>3”是 的充要条件 B.弧长和面积均为π的扇形的半径为2 C. “∀x>1, 2x+1≥5”的否定是“∃x>1, 2x+1<5” D. 函数y= xlnx的零点是(1,0) 【答案】BC 【详解】 “x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件，A错，弧长和面积均为π的扇形的半径为2， 故r=2,B正确。 “∀x>1, 2x+1≥5”的否定是‘ 2x+1<5”, C正确。函数y= xlnx的零点是1, 不是点, D错误。 故选 BC 10. 已知函数 的部分图象如所示，则( ) 是f(x)的一个对称中心 C. f(x)的单调递增区间为 D. 若实数x₁,x₂满足 则 |的最小值为 【详解】由图形可知 解得A=3,B=1; 因为 所以 所以ω=4; 由五点作图法可知， 又 所以 当 所以， 是f(x)的一个对称中心 所以 故C正确 则 或者 故 D 项正确 故选: BCD. 11.已知函数f(x)=|cos2x-sinx|, 则下列说法正确的是 ( ) A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)关于直线 对称 C. f(x)的值域为[0,2] D. f(x)=1在区间[0,2π]上恰有7个不同的实数根 【详解】由题可知.f(π+x)=|cos2(π+x)-sin(π+x)|=|cos2x+ sinx|≠f(x), A错, 故B正确。 当 时， 当 时， 所以f(x)的值域为[0,2] , C正确, 当 时， 则 sinx=0,有根 或 有 当 时， 解得 (舍)或者 此时在[0,2π]上有两个解x₆,x₇, 综上, 共有七个解, 故选 BCD. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分 12.写出函数f(x)=3-5cosx取得最大值时的x的取值集合: . 【详解】由题可知 cosx=-1时，函数有最大值，此时x的取值集合为 13. a,b为正实数, 且满足2a+b= ab,则a+b的最小值为 . 【详解】由题可知 则 当且仅当 时有最小值. 14.已知函数 函数 若对任意的 总存在实数 使得 成立，则实数m的取值范围为 . 【详解】由图象可知 由题意,函数f(x)在[0,2] 的值域应是函数g(x)值域[1,+∞)的子集, 故当0≤2m≤2时 解得 当2m<0时, 此时m无解,当2m>2时, 此时m无解，综上 综上，实数m的取值范围为[ ,l] 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知集合A={x|a<x<2a+1}且A≠φ, 集合 命题p：x∈A, 命题q:x∈B. (1)若 求(CRA)∩B; (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】解: (1)因为 所以 故或 …3分 又因为 所以 或 .6分 (2)因为p是q的充分不必要条件，故A是B的真子集. 又因为 }且A≠∅ …………8分 所以 (等号不同时成立)，解得 …12分 综上所述，实数a的取值范围是[1， ].………13 分 16.(本小题15分)(1)已知α角以x轴的非负半轴为始边，P(1，3)为终边上一点.求 的值； (2)已知α, β都是锐角, 求cosβ的值. 【答案】解：(1)由题意得： = tanα=3; …………7分 (2)由 可得 …9分 又 则 ……… .11分 …13分 所以cosβ= cos[α-(α-β)] = cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) …15分 17.(本小题15分)已知函数 (1)求函数y=f(x)的单调递增区间及对称中心； (2)将函数y=f(x)的图象向右平移. 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到函数 的图象，求函数y=g(x)在区间 上的值域. 【答案】解: (1)函数 .4分 令 得： 即函数的单调递增区间为( …6分 令 得 所以函数的对称中心为 分 (2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度， 可得 的图象； 再向下平移 个单位长度得到函数 的图象.…9分 因为 所以 所以 …11分 所以， 即y=g(x)的值域为 … …15分 18.(本小题17分)已知定义域为R的函数 是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数y=f(x)的单调性，并证明； (3)若不等式 对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】解: (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数, 则f(-x)=-f(x), 即 可得 解得a=1; …………4分 故f(x)在R上是递减函数. 证明: 任取x₁、x₂∈R, 且 即 故f(x)是定义在R上的递减函数；…………10分 因为f(x)是R上的奇函数， …………12分 ∵f(x)是R上的递减函数， 对任意的x≥0恒成立， 设t=3x, 且 即m<g(t) min· (当且仅当 即 时等号成立)， …………17分 19.(本小题17分)设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个二元函数，记作z=f(x, y), x, y∈A, 其中A称为二元函数f的定义域. (1)已知 若 求 ; (2)设二元函数f的定义域为I, 如果存在实数M 满足: ①∀x, y∈I, 都有f(x, y)≥M;② 使得 那么，我们称M 是二元函数f(x，y)的下确界. (Ⅰ)若x, y∈(0,+∞)且 判断函数 是否存在下确界，若存在，求 出此函数的下确界，若不存在，说明理由. (Ⅱ)设f(x, y)的定义域为R,若∃h>0, 对于∀x, y∈D⊆R, 都有 则称f在D上是关于h单调递增.已知 在[1，2]上是关于1单调递增，求实数k的取值范围. 【答案】解: (1)由 可得， 由 可得， 由 y₂ 又 所以 …………4分 (2)(Ⅰ)由 可得, x+y= xy, 由x+y= xy, 可得 所以xy≥4, 当且仅当x=y=2时取等号. 5, 当且仅当 xy=5,即 j 时取等号. 所以函数 的下确界为-25…………10分 (Ⅱ)因为 在[1,2]上是关于1单调递增, 所以f(x,y)≤f(x+1,y+1), 即对于任意的x, y∈[1,2], 都有 化简可得 即 亦即 …12分 下面求函数 的最小值， 设 <1>当0<t≤2时, <2>当t=0时, <3>当-2≤t<0时, 所以 所以 即 .17分 学科网（北京）股份有限公司 $$