广东省梅州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

梅州市高二第一学期期末联考（2025.1) 数学参考答案与评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BD ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.-4 14.1275 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：(1)设a,b分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量， 依题意，数列红}是首项为64，公比为1+50%=的等比数列，1分 2 {也}是首项为100，公差为m的等差数列， ……………2分 于是第3年投入的电力型公交车的数量4，=64 3 =144 ……3分 第3年投入的混合动力型公交车的数量b,=100+(3-1)m=100+21. ....4分 (2)由(1)得，a}的前n项和A= 641-( =128- ….5分 1- 2 也，}的前n项和B,=100m+0-) 2 ……6分 所以经过年后，该市被更换的公交车总数为 S0=A+8=12-410aDm ……8分 (3)若计划5年内完成全部更换，则S(5)≥2000， …………9分 2m≥2000， 于是得128白-1川+100x5+5x4, ……….10分 即10m≥656，解得m≥65.6， .12分 而m∈N,于是得m的最小值为66. ……………….13分 16.(本小题满分15分) 解：(1)设所求圆的圆心坐标为(x。,y。) 3x-业1-0 因为圆C与y轴相切于点T(0,2), 圆心C在直线y=2上， ,,.1分 =2 所以。=2， ,2分 而圆心C在直线3x-y-1=0上， 即有：3x-2-1=0, 4.3分 从而x。=1, ……….4分 且圆c的半径r=,=1, …5分 故所求圆C的方程为(x-1)2+(y-2)=1. ………6分 (2)设所求圆的圆心为(x,) 因为圆C的半径为2，且被x轴截得的弦长等于2√5， 可得+(5°=2， 8分 解得：y。=1或y。=-1, ……….10分 且3x。-。-1=0, ……11分 2 解得=3或 x。=0 %=1(%=-1 …………13分 故所求圆C的方程为(x-子+0-)=4或+0+)=4。 .…15分 17.(本小题满分15分) 解：(1)以A为原点，AB、AD、AP分别为x,y,=轴， 建立空间直角坐标A-,如图所示 则A0,0,0),B1,0,0),C11,0),D0,2,0),P(0,0,2), ,1分 若点M为PC上的中点，则M店，)， 2’21 =aa0-. ……,2分 设平面ABM的法向量为7=(：，，)' AB.7=0 x=0 得1 ,3分 AM.n=0 +2+=0 令31=1则i=(0,-2,1), .,..4分 又PC=1,1-2),则 -4 cos<PC,n>= PC.n 230 P6x5-15, …,,6分 所以PC与平面ABM所成角的正弦值为2V30 15 …….7分 (2)设PM=PC, 则AM=AP+PM=AP+PC=(0,0,2)+21,l-2)=(1,,2-2),.8分 设平面ABM的法向量为=(x2,2,22)· AB元=0「53=0 由 得 A7元，=02x+y,+(2-2)52=0 令z2=-,则元=(0,2-21，-)， …10分 又CD=(-1L,0),设平面PCD的法向量为m=(x,y,), cDm=0∫-x+y=0 由 得 PC.m=0 x+y+2z=0' …11分 令x=1,则i=L,1,), ……….12分 因为平面ABM⊥平面PCD,所以元元=0， …………13分 即有2-22-1=2-32=0， ……….14分 PM 2 解得元=了，所以G3 …………………15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)依题可得：4-Bl=A-pP叫=2， ……………1分 而AB=4>2, 因此动点的轨迹C是以A,B为焦点，实轴长为2的双曲线，，2分 从而c=2,a=1,进而b2=3, ….3分 于是得到轨迹C的方程：x- =1. 3 …………………4分 (2)设1w:y=k+1,M(s,),N(x2,y2), 「y=x+1 联立方程 r_Y .5分 3 -11 消元得：(3-k)x2-2x-4=0, 3-k2≠0 因为有两个交点，需 △=(2)2-4(3-k2)(4)>0, 于是得到：k2<4,k2≠3， …….6分 2k -4 由韦达定理，得：无+x=3一衣礼3- ……,7分 ooN=书+yW=5+低+1，+D=1-3 3-K2 …8分 令1=3-，1e(1,0u0,3(,-0u写). -1-3张_3-10-310 于是OMON=5+W=3-尺 ………9分 因此o7.o丽e3,+)U(-m,- ……….10分 (3)存在且元=2. ……………11分 证明如下： 设Q(o),y2=3x,2-3, …….12分 当x=2时，Q(2,2),此时2B⊥BD,且B=BD, 易知△QBD为等腰直角三角形， ∠QBD=90,∠QDB=45,∠QBD=2∠QDB,.13分 于是猜想：入=2 当x。≠2时，直线OB、OD的斜率分别为： x。+11 ..4.14分 2yo tan2∠QDB=2an∠QDB 2k=- 。+1 1-tan'ODB1-ke 1-() ……….15分 x+11 =2y+1) 2(x。+1) (x+102-2(x。+)2-(3x,2-3) %-2 =tan∠QBD, 16分 因此∠QBD=2∠QDB,得证， ……17分 19.(本小题满分17分) 解：(1)数列{a}满足性质P. JeN<号侣 小.1分 因为j-121,所以2≥2， …2分 又因为>1，所以g=2=222. a i-2 i 因此，存在=2，使得JeN且i<j,都有及≥元， 故{a}满足性质P.(注：入取(1,2]之间的任意实数都可以.).….….4分 (2)①因为数列{a,}满足性质？，所以{a,}是单调递增数列， 又因为数列a}满足性质B,所以存在meN,使得a,-马 ，.5分 而a,=g=a2>4,因此，m23 a …………6分 又由g-g=424=8,得a216, 412 ……,7分 由4<4=8， ………8分 得4≤a2<8, 故4的取值范围是[4,8). .9分 ②由无穷正项数列{a}满足性质P, 可知{a}单调递增，设4=4q,q>1, ………10分 令1=1，i=2,由性质卫，存在∈N,使得a, -=a,11分 a 同理，存在ieN,使得4，=及-g=a,, a.aq ..12分 以此类推，当k≥2时，存在ieN, 使得a=g么y 14。ag=4, ……….14分 由数列{a}单调递增，可知马<i2<…<<…, 记b=a,eN,则b.=ag-, …….15分 =g,n∈N,所以数列也，}是等比数列， 因为b ……16分 故存在{a}的子数列b}为等比数列，得证， …17分梅州市高中期末考试试卷(2025.1) 高二数学 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 1,答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、牡 名和座号填写在答题卡上， 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑，如需改动，用檬皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 城内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效 4。考生必须保持答题卡的整洁，考试结来后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的， D 1.如图1，在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，下列说法错误的是 B A.AA=BB B.CD=-A丽 C.DB=-AC D.AB+AD+A4=AC 2.己知直线1经过点(3，)，且顿斜角为45，则直线1的方程为 图1 A.x-y-4=0 B.x+y-4=0 C.x+y-2=0 D.x-y-2=0 3.在等差数列{a,}中，a+4=6,a2+a4=12,则a1= A.-3 B.0 C.3 D.6 4.已知椭圆E:之+上 51(0<m<4的离心率为) 16m2 则其短轴长为 A.4 B.45 C.8 D.6√2 高二数学试卷第1页共6页 5.在平面直角坐标系x0y中，已知定点Q3,0,点P在抛物线C广=4r上运动，则1PQ的 最小值为 A.2N2 B.3 C.2W3 D.2N5 6.如图2，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四 边形ABCD是正方形，AB=3,PA=4,点M为PC的中 点，Bm=BD, 则MN= A号 B.25 3 N c.32 2 D.5 图2 7.线段AB的长度为3，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB上靠近点A 的三等分点的轨迹方程为 A+-程 B. C. 4+y2=1 8.已知曲线C的方程为x2-y+y2=4,则曲线C上的点的纵坐标的最大值为 A.2 B.32 2 C.22 D.4 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.圆C:2+了=1与圆C:x2+0-a}=9有且只有一个公共点，则a的值可能是 A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知an= 1 1 1 n+1n+2 2n ,关于数列{a},下列命题中正确的是 7 A.a,= B.d-= 1 2n+22n+1 Ca恒成立 D.数列{a}是递增数列 高二数学试卷第2页共6页 11.已知正三棱柱ABC-AB1C中，AB=AA1=2,点P为侧面BCCB 上的一点，B驴=BC+μBB(0≤1≤1,0≤μ≤1)，则下列说法正 确的有 A当H=时，直线P与平面BCCB,所成角的最大值为6心 B.当2+u=1时，AP的最小值为2 C。当=5时，动点P的轨迹长为号 图3 D.当直线AP与AB所成角为45时，动点P的轨迹为双曲线的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线1：(k-1)x+y-1=0,2:x-2y+1=0,若1∥12，则实数k= 13.已知x,y满足2+y2-6x+2y+9=0,则'的最小值是 14。将自然数0,1,2,3,4.按照如图4排列，我们将 0 1,3,6,10.称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数” 17 1 是 图4 15 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时 还能够减轻环境的污染.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若 干时间更换2000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和 混合动力型车。今年投入了电力型公交车64辆，混合动力型公交车100辆：计划以后电 力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入m辆。 (1)求第3年该市投入的电力型公交车、混合动力型车分别是多少辆（注：3年后该市燃 油型公交车未被全部更换)： (2)设经过n年后，该市燃油型公交车未被全部更换，求该市n年后被更换的公交车总数Sm): (3)若该市计划5年内完成全部更换，求m的最小值. 高二数学试卷第3页共6页 16.（15分)已知圆C的圆心在直线3xy1=0上，分别求满足下列条件的圆C的方程： (1)若圆C与y轴相切于点(0,2)： (2)若圆C的半径为2，且被x轴截得的弦长等于2√5 17.(15分)如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,AB=BC=1, AD=PA=2,点M为棱PC上的一点. (1)若点M为PC的中点，求PC与平面ABM所成角的正弦值： (2)若平面ABML平面PCD,求PM的值. PC P 图5 高二数学试卷第4页共6页 18。（17分)在平面直角坐标系x0y中，圆4的方程为+2P+y=4,点B的坐标为2,0，点 P为圆A上的动点，线段BP的中垂线与直线AP相交于点O, (1)求交点Q的轨迹C的方程： (2)若过点E(0,1)的直线与轨迹C相交于从、N两点，求OM.ON的取值范围. (3)若D(1,0),点Q为轨迹C在第一象限内的任意一点，则是否存在常数(2>0)，使 得∠QBD=1∠QDB恒成立？若存在，求出1的值：若不存在，请说明理由. 图6 高二数学试基第5页共6页 19.(17分)对于无穷正项数列a,}和如下的两条性质： 面 P:存在实数A>1,使得EN且I<力都有9之2： B:MJEN且i<都存在meN,使得a.- a (1)若a,=n2,neN,判断数列{a,}是否满足性质P,并说明理由： (2)设无穷正项数列{a}同时满足性质P和性质P2 ①若a1=2,a3=8,求a2的取值范围： ②若<i2<…<in<∈N,k=1,2,3.),且数列{b}满足任意n∈N,b,=a,则 称{b}为数列{a}的一个子数列.求证：存在{a}的子数列为等比数列. 高二数学试卷第6页共6页