6.4 实践与探索课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

6.4 实践与探索 第6章 一次方程组 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 列方程组解应用题的常见题型 学习目标 知识点 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 知1－讲 1 1. 基本思想方法： (1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组 . (2)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等 . 感悟新知 知1－讲 2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3)找：找出能表示题意的两个等量关系； (4)列：根据等量关系列出方程组； (5)解：解这个方程组，求出未知数的值； (6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案 . 感悟新知 知1－讲 特别解读 找等量关系的方法：(1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；(2)根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；(3)挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；(4)借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系 . 感悟新知 知1－练 例 1 某船的载质量为 300 t，容积为1 200 m3，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 m3，乙种货物每吨体积为2 m3，要充分利用这艘船的载质量和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？ 解题秘方：分析题目中已知量和未知量，找准题目中的等量关系，列出方程组解决问题 . 感悟新知 知1－练 解：设甲种货物应装x t，乙种货物应装y t . 由题意，得解得 答：甲、乙两种货物应各装 150 t . 感悟新知 知1－练 1-1. 河南是一个茶叶种植大省，除了被列为中国十大名茶之一的信阳毛尖外，有名的还有太白银毫、清淮绿梭、固始皇姑山茶、震雷春、赛山玉莲等．两位朋友到茶馆品味河南名茶，经问询知2 杯A 款茶和3 杯B款茶共需46 元；1 杯A款茶和1 杯B 款茶共需18元．A 款茶和B 款茶的销售单价分别是多少元？ 感悟新知 知1－练 感悟新知 知2－讲 知识点 列方程组解应用题的常见题型 2 根据在实际问题中等量关系的不同类型，归纳出应用题的几种常见题型：(1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；(3)配套问题；(4)销售问题；(5)行程问题；(6)百分比问题；(7)古代算术问题；(8)图形面积问题 . 感悟新知 知2－讲 特别提醒 不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“售价”“标价”“折扣”等等 . 感悟新知 知2－练 某中学七年级甲、乙两个班共有 93人，其中参加数 学课外兴趣小组的共有 27人，已知甲班有的学生、乙班有的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人 . 例 2 解题秘方：紧扣人数之间的数量关系，建立已知量与未知量之间的等量关系. 感悟新知 知2－练 解：设甲班有x人，乙班有y人 . 根据题意，得解得 答：甲班有 48人，乙班有45人 . 感悟新知 知2－练 2-1. 2024 年5月31日至6月2日，国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．据了解，本次比赛共计212条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麒”龙船数量的17倍少4条，则参赛的“金凤银麒”龙船为_______条． 12 感悟新知 知2－练 有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数 . 解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数字表示出数，根据题目中的等量关系列出方程组求解 . 例 3 感悟新知 知2－练 解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y. 由题意得解得 则4×100＋39＝439，即原三位数为439. 感悟新知 知2－练 3-1. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，若这个两位数加上 9，所得的两位数的数字顺序与原来两位数的数字顺序恰好颠倒 , 求原两位数 . 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m的某种布料可做衣身3件或衣袖5只，现计划用132 m这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 解题秘方：紧扣配套规则列方程，如本题衣身与衣袖恰好配套的数量比是1∶2. 例 4 感悟新知 知2－练 解：设用x m 布料做衣身，y m布料做衣袖， 根据题意，得解得 答：用60 m 布料做衣身，72 m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 感悟新知 知2－练 4-1. 某车间有技术工人85人，平均每人每天可加工甲种部件16个或乙种部件10 个，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，问：各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售. 某顾客购买甲、乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元. 解题秘方：紧扣销售问题中每个量的意义及各个量之间的数量关系列出方程组，解决问题. 例 5 感悟新知 知2－练 解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元. 根据题意，得 化简，得解得 答：甲商品的进价为250 元，乙商品的进价为200 元. 感悟新知 知2－练 5-1. [中考·安徽]根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%， 乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 A，B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 解题秘方：本题关键是找到各速度之间的关系，再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组求解. 例 6 感悟新知 知2－练 解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为 y km/h. 由题意，得解得 答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为 3 km/h. 感悟新知 知2－练 6-1. 一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要48小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时， 则两码头之间的距离是多少千米？ 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 张明沿公路匀速前进，每隔4 min就迎面开来一辆公共汽车，每隔6 min就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度. 解题秘方：分析相遇或追及问题中两者运动的路程与相隔路程之间的关系，列出方程组，解决问题. 例 7 感悟新知 知2－练 解：设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是 y m/min. 根据题意，得解得 答：张明前进的速度是50 m/min，公共汽车的速度是 250 m/min. 感悟新知 知2－练 7-1.育才中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为400 m. 在该跑道上，甲、乙两名运动员若从同一起点同时出发, 相背而跑, 则40 s 后首次相遇；若从同一起点同时出发,同向而跑, 则200 s 后甲首次追上乙. 求甲、乙运动员的速度. 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 某人骑自行车从A地出发去B地，先以每小时12 km的速度下坡，再以每小时9 km的速度在平路上行驶至B 地，共用55 min；回来时他以每小时8 km的速度通过平路后，再以每小时4 km的速度上坡至A地，共用1.5h. 求A，B两地之间的路程. 解题秘方：上、下坡往返时，虽然每段路程不变，但速度发生了改变. 根据时间总量列出方程组解决问题. 例 8 感悟新知 知2－练 解：设从A地到B 地的下坡路程为x km，平路路程为y km. 由题意，得解得 所以x＋y＝3＋6＝9. 答：A，B两地之间的路程为9 km. 感悟新知 知2－练 8-1. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走 80 m，上坡路每分钟走40 m，从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min. 请问小华家离学校多远？ 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 在当地农业技术部门的指导下，李明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收. 如图6.4-1是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话. 例 9 感悟新知 知2－练 请帮李明算出他家今年菠萝的收入.(收入－投资＝净赚) 解题秘方：紧扣今年与去年的收入和投资之间的数量关系解题. 感悟新知 知2－练 解：设李明家去年种植菠萝的收入为x元，投资为y元. 由题意，得 解这个方程组，得 所以(1＋35%)x＝1.35×12 000＝16 200. 答：李明家今年菠萝的收入为16 200 元. 感悟新知 知2－练 9-1. 某农场去年计划生产玉米和小麦共200 t，采用新技术后，实际产量为225 t，其中玉米超产5%， 小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？ 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 列方程组解古算题：“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，看看用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹. 请问先生明算者，算来寺内几多僧？” 解题秘方：先将古算题用通俗的文字叙述，然后再找等量关系，列方程组解决问题. 此题如果直接将僧人的人数设为x，那么求解较复杂，因此需采用间接设元法. 例10 感悟新知 知2－练 解：设饭碗有x只，汤碗有y只. 由题意，得解得 所以3x＝3×208＝624. 答：寺庙内共有624 位僧人. 感悟新知 知2－练 10-1. [中考·连云港]我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品，每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格． 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 如图6.4-2，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案(地砖间的缝隙忽略不计)，求每块小长方形地砖的长和宽． 例11 感悟新知 知2－练 解题秘方：根据拼图方式找出小长方形的长和宽之间的数量关系. 感悟新知 知2－练 解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm. 根据题意得解得 答：每块小长方形地砖的长为45 cm，宽为15 cm． 感悟新知 知2－练 11-1. 如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，求图中空白部分的面积. 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 学校“慈善小组”计划筹集善款购买粽子，到福利院送给老人，已知购买2箱豆沙粽子和2箱大枣粽子共需110 元；购买3箱豆沙粽子和1箱大枣粽子共需105元. 例12 感悟新知 知2－练 (1)求豆沙粽子和大枣粽子每箱的价格； 解题秘方：根据等量关系列方程组即可； 解：设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为x元、y元. 根据题意得解得 答：豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为25元、30元. 感悟新知 知2－练 (2)该小组计划用375 元经费购买两种粽子，且每种粽子最少1箱，经费恰好用完，共有几种购买方案？ 解题秘方：根据计划用375元经费购买两种粽子，列出二元一次方程，求出其正整数解即可． 感悟新知 知2－练 解：设购买豆沙粽子a箱，大枣粽子b箱， 根据题意，得25a＋30b＝375． 整理，得a＝15－b， 因为a，b均为正整数，所以b可取5或10． 所以共有2 种购买方案． 感悟新知 知2－练 12-1. [模拟·资阳]已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货 11吨 . 根据以上信息， 解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ 感悟新知 知3－练 感悟新知 知3－练 (2)某物流公司现有31 吨货物， 计划同时租用A型车a辆，B型车b辆(每种类型的车均至少租1辆)，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，请你帮该物流公司设计租车 方案. 感悟新知 知3－练 感悟新知 实践与探索 实际 问题 建模 设、列 二元一次方 程组 解二元一次 方程组 检验(答) 课堂小结 解：设A款茶和B款茶的销售单价分别是x元和y元． 根据题意得解得 答：A款茶和B款茶的销售单价分别是8元和10元． 解：设原两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y， 由题意得解得 则10×2＋3＝23. 答：原两位数是23. 解：设安排x人加工甲种部件，y人加工乙种部件． 由题意，得解得 答：安排25人加工甲种部件，60人加工乙种部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套． 解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x元、 y元，根据题意，得 解得 答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元、 50元． 解：设两码头之间的距离为x km，货轮在静水中的速度为 y km/h， 由题意，得解得 答：两码头之间的距离为1 536 km． 解：设甲运动员的速度为x m/s，乙运动员的速度为y m/s. 根据题意，得解得 答：甲运动员的速度为6 m/s，乙运动员的速度为4 m/s. 解：设平路有x m，坡路有y m， 根据题意，得 解得 所以x＋y＝700. 答：小华家离学校700 m. 解：设该农场去年计划生产玉米x t，小麦 yt．根据题意，得解得 所以50×(1＋5%)＝52.5(t)， 150×(1＋15%)＝172.5(t)． 答：该农场去年实际生产玉米52.5 t，小麦172.5t． 解：设有x个人，物品的价格为y钱． 由题意，得解得 答：有7个人，物品的价格为53钱． 解：设小长方形的长为x，宽为y，根据图形得大长方形的长为x＋4y，宽为x＋3y.根据题意，得 化简，得解方程组，得则大长方形的长为 x＋4y＝5＋4×2＝13，宽为x＋3y＝5＋3×2＝11， ∴大长方形的面积为13×11＝143，小长方形的面积为5×2＝10，∴9个小长方形的面积为10×9＝90， ∴空白部分的面积为143－90＝53. 解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨， 1辆B型车装满货物一次可运货y吨， 根据题意，得解得 答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨． 解：由题意得3a＋4b＝31，∴a＝，∵a，b都是正整数，∴31－4b必须是3的倍数，∵当b＝1时，a＝9， 当b＝4时，a＝5，当b＝7时，a＝1，∴共有三种租车方案： 方案一：租用A型车9辆，B型车1辆； 方案二：租用A型车5辆，B型车4辆； 方案三：租用A型车1辆，B型车7辆． $$