浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三上学期期末测试数学试卷

2024学年杭州学军中学高三（上）数学期末测试卷 命题：郑日锋 审题：卢予奇 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1． 已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2．已知复数 在复平面内所对应的点位于第一象限,且 ,则复数 在复平面内所对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.在中，已知，点是的外心，则( ) A. 16 B. C. 8 D. 5. 等比数列 的前 项和为 ,则 ( ) A. 27 B. 24 C. 21 D. 18 6．甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 7．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（    ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．一组数据的第60百分位数为 C． 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4 D．若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 10．在梯形 中, ,则（ ） A. B. C. D. 11．在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置. 已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（ ） A.与平面所成的角相等 B. 二面角的大小可能为 C. D.若，则球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．在二项式的展开式中，常数项为__________． 13．已知点为椭圆的右焦点，不过的直线与椭圆相交于两点，且与圆在轴右侧相切，则的周长为___________． 14．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图,矩形 是圆柱 的轴截面, 分别是上、下底面圆周上的点,且 . (1)求证: ； (2)若四边形 为正方形,求平面 与平面 夹角的正弦值. 16．盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球. 每次随机抽取1球后放回，并放入个同色球. （1）若，记抽取次中恰有1次抽中黑球的概率为，求的最大值； （2）若，记事件表示抽取第次时抽中黑球. （i）分别求，，； （ii）结合上述分析，请直接写出抽取次中恰有2次抽中黑球的概率. 17．已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在实数使得曲线关于直线对称，若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）若在上存在极值，求实数的取值范围. 18．两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的两点，当的垂心恰是的焦点时，. （1）求； （2）若，弦AB中点为，点关于直线AB的对称点在抛物线上，求的面积. 19．已知两个数列和的项数均为，且对于数列其中若存在 满足：①，都有；②，使得，则称数列是的单极数列. （1）已知,若的单极数列为，求满足条件的的个数； （2）已知是的单极数列. （i）若，求； （ii）若，当时，证明： 2024学年杭州学军中学高三（上）数学期末测试参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 BDBC CDAB 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。 9. AC 10. ABD 11. ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(1)如图,过点 作圆柱的母线 ,连 , ,则 且 ,所以四边形 和 均是平行四边形,所以 又 ,所以 ,所以 (不妨记作 ),而 为底面圆的直径,所以 ,所以 (均等于 ),所以四边形 为平行四边形,所以 ,可得 . ⋯ ⋯⋯⋯⋯5分 (2) 由(1)可知 ,不妨设 ,则 ,因为 是圆柱的母线,所以 平面 ,所以 , ,依题意得 ,即 ,解得 , (法1)过点 作 , 的平行线,两直线交于点 ,连 ,则 是平面 与平面 的交线. 因为 是圆柱的母线,所以 平面 ,所以 ,又因为 ,所以 ,又 ,所以 平面 .过点 作 于 ,连 ,又因为 ,所以 平面 ,所以 ,所以 是平面 与平面 所成二面角的平面角. 在 Rt 中, . 在 Rt 中, ,所以 .所以平面 与平面 夹角的正弦值为 . ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯13分 （法2）因为 是圆柱的母线, 为底面圆的直径,所以 平面 ,故以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 所以 .所以 ,设平面 的法向量为 ,由 ,得 取 ,得 ,同理可求平面 的法向量 ,所以 , 所以平面 与平面 夹角的正弦值为 . ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯13分 16（1）若，设抽取次中抽中黑球的次数为， 则，故． 由，，故最大值为或，即． ⋯⋯⋯⋯5分 （2）（i）， ， ， ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯11分 （ii）由（i）可进行猜测，抽取次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关， 则． ⋯⋯⋯⋯15分 17(1)，， 曲线在点处的切线方程为⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯4分 （2），其定义域为若曲线关于直线对称，则 由对恒成立， 即 即 即 综上，满足条件的存在实数存在，且. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯9分 (3) .令 ,则 ,且 (i) 若 ,当 时, 在 单调递增,从而 . 故当 时, 在 单调递减, 在 不存在极值点. (ii) 若 ,当 时, 在 单调递减,从而 . 故当 时, 在 单调递增, 在 不存在极值点. (iii) 若 ,当 时, 在 单调递增;当 时, 在 单调递减.所以当 时, . 取 ,其中常数 ,则 ,且 , 所以 在 有唯一零点 . 当 时, 在 单调递减; 当 时, 在 单调递增,因此 在 存在极值点 . 综上, 的取值范围是 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯15分 18（1）如图，轴时，由为垂心，故，由，， 故—①，—②， 联立①②解得，故；⋯ ⋯⋯⋯⋯5分 （2）如图，，，故， 的直线方程为：， 故，恒过点， 再设：，则，联立，得，故， 由关于对称，得，，， 由在上得，故； 当时，得，：，到的距离， ，故到的距离为，故， 当时，同理得. 综上所述，的面积为.⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯17分 19.（1）若 的单极数列为1,2,2,3,3,3,则有 或 , 或 或 或 或 ,则满足条件的 的个数为 ⋯ ⋯⋯⋯⋯4分 (2)(i)由 为 的最大值,可知 ,由 ,得 ,两式相减,得 ,整理,得 ,又 ,则 ,即 ,所以 ,即 ⋯ ⋯⋯⋯⋯9分 (ii) 设 ,因为 ,则 ,易知 , ,即 , ,即 .又 ,则有 所以 由 ,得 ,即 . ⋯ ⋯⋯⋯⋯17分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$