山东省滨州市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024-2025学年山东省滨州市高二上学期1月期末数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.椭圆的焦点坐标为  A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2.过点且与直线平行的直线的方程为(    ) A. B. C. D. 3.已知点G为平行四边形ABCD对角线的交点，点P为空间任意一点，则  A. B. C. D. 4.已知是函数的导函数，且，则  A. 1 B. 2 C. D. 5.与圆及圆都内切的圆的圆心在  A. 椭圆上 B. 双曲线的左支上 C. 双曲线的右支上 D. 抛物线上 6.按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年 1月至4月 1965年 5月至8月 1965年 9月至12月 1966年 1月至4月 改革后法定 退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 那么1973年5月出生的男职工退休年龄为  A. 61岁3个月 B. 62岁 C. 62岁1个月 D. 62岁2个月 7.在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，，，点N在棱上，若直线到平面ABN的距离为，则的值为  A. 1 B. C. D. 8.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，P为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是  A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点P共有4个 D. 的最大值为8 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知等比数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是  A. B. 数列为等比数列 C. D. 10.如图，在棱长为1的正方体中，E、F、G分别是AB、、的中点.则下列结论正确的是  A. 平面EFG B. 平面EFG C. 平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值为 D. 若动直线与直线夹角为，且与平面EFG交于点M，则点M的轨迹构成的图形的面积为 11.已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是  A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在点处的切线方程为          . 13.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前n项和          . 14.已知双曲线的两个焦点分别是与，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点B，若为坐标原点，则该双曲线的渐近线方程为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知圆，点A是圆C与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点. 求直线AB的方程; 求与直线AB垂直，且与圆C相切的直线的方程. 16.本小题12分 如图，和所在平面垂直，且， 求证： 若，连接DE，求直线DE与平面ABD所成角的正弦值. 17.本小题12分 已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列.数列的前n项和为，满足 求数列，的通项公式; 若数列满足求数列的前2n项和 18.本小题12分 已知抛物线的准线与椭圆相交所得弦长为 求抛物线C的方程; 若圆M过点，且圆心M在抛物线C上运动，BD是圆M在x轴上截得的弦.求证：弦BD的长为定值; 过抛物线C的焦点F作两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点G，H和点R，S，求四边形GRHS面积的最小值. 19.本小题12分 已知函数， 当时，求函数的单调区间; 若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围; 若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆的焦点的位置． 根据题意，由椭圆的标准方程分析可得椭圆的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，椭圆的方程为，其焦点在y轴上， 其中，， 则， 则其焦点坐标为 2.【答案】C  【解析】【解答】 解：过点且与直线平行的直线的方程为， 把点代入可得：，解得， 要求的直线方程为： 故选： 3.【答案】D  【解析】解：由题意，G是AC，BD的中点， 所以 ， 所以      4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查导数运算，属于基础题. 先求导数，在令求解. 【解答】 解：因为， 所以， 则，解得 5.【答案】B  【解析】解：设动圆的圆心为P，半径为r，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为 依题意得，， 则， 所以点P的轨迹是双曲线的左支． 故选 6.【答案】D  【解析】解：设5月出生的男职工退休年龄为， 则1965年5月出生的男职工退休年龄为岁， 则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁， 所以公差为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 1973年5月出生的男职工退休年龄为 那么1973年5月出生的男职工退休年龄为62岁2个月. 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查三棱锥体积的运用，属于中档题. 利用等体积方法得出结论. 【解答】 解：设，则的面积为， 因为直线到平面ABN的距离为， 所以由等体积可得， 解得， 所以 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、圆锥曲线中的探索性问题，属于中档题. 设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c，由题意得出 ，计算出a的值， 然后再逐一对选项进行分析即可. 【解答】 解：设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c， 椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则 ，得a，故A正确； 又b，则c a b ，得 ，离心率为 ，故B正确； P为椭圆的右顶点时，因为，所以，所以椭圆的最大张角为， 所以满足的点P共有4个，故C正确； ， 所以的最大值为16，故D错误. 故选： 9.【答案】ACD  【解析】解：设公比为q， 则，即， 则， 对于A、，故A正确； 对于B、，则，不是常数， 故数列不是等比数列，故B错误； 对于C、，故C正确； 对于D、，故D正确. 10.【答案】ABD  【解析】解：如图，取的中点H，I，J，连接GH，HI，IJ，JE，由正方体性质，易得，，，故EFGHIJ六点共面 对于选项A，F，G，H，I为，，的中点，故，显然平面EFG，故平面EFG，A正确； 对于选项B，，，，AC，面，故面，面，，，，同理可证面，面，，，，EF，面EFG，，平面EFG，B正确； 对于选项C，连接BD，，，由于，平面EFG，故平面EFG，同理可证平面EFG，BD，面，，故面平面EFG，故平面EFG与平面ABCD夹角和平面与平面ABCD夹角大小相等，取BD中点为O，面，，，为平面与平面ABCD的夹角，在中，，，，故C错误； 对于选项D，由于动直线与夹角为，故M在以为轴的圆锥面上. 由正方体性质，与平面EFG的交点为的中点，设到平面EFG的距离为d，则，截面圆半径为，又因为六边形EFGHIJ内切圆半径为，故所截圆面，故D正确. 综上，此题选 11.【答案】ABD  【解析】【分析】本题考查原函数与导函数的关系，属于中档题. 根据图象判断出过点的为的图象，过点的为导函数的图象，求导得到，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，得到答案. 【解答】解：从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象， ，当时，，故，在上单调递减， 当时，，故，在上单调递增，A、B错误； 当时，函数有极小值，C正确； 当时，，故，在上单调递增， 所以当时，函数有极大值，D错误. 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，利用导数求曲线的切线方程，属于基础题. 首先求出函数的导函数，然后求出切线斜率，则切线方程可得. 【解答】 解：函数的导数为，所以在的切线斜率为， 所以切线方程为，即 故答案为 . 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列的新定义和等差数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，属于中档题. 先由等方差数列的定义得到 是公差为1的等差数列并求出 ，进而求出 ，再利用裂项相消法求和即得. 【解答】 解：因为 是方公差为1的等方差数列， 所以是公差为1的等差数列， ， 所以， 所以 14.【答案】  【解析】【分析】本题考查双曲线的相关知识，双曲线的渐近线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，，属于中档题. 利用已知条件求出A点坐标，求出点  到渐近线  的距离d，结合  可以得到点A到渐近线  的距离为  ，进而利用点到直线的距离公式求出a与c的关系，然后求解双曲线的渐近线方程. 【解答】解：由题意知，双曲线E的两条渐近线方程分别为  ，  ， 过点  且与渐近线  垂直的直线方程为  ， 联立  ，可解得  ， 点  到渐近线  的距离   因为  ，所以点A到渐近线  的距离为  ， 即  即  ，所以  ， 即双曲线的渐近线方程为  15.【答案】解：对于圆， 令，则，解得，所以， 因为圆C的圆心坐标为，半径，点B是圆C上到x轴距离最大的点， 所以B点的纵坐标为，横坐标为1，即， 由直线的两点式方程可得直线AB的方程为，即 因为直线AB的斜率，因为所求直线与直线AB垂直，所以所求直线的斜率， 设所求直线方程为，即， 已知圆C的圆心，半径， 圆心到直线的距离，则， 解得或， 所以所求直线方程为或  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：延长CB，过点A作，交CB延长线于点O， 由平面平面DBC，平面平面，平面ABC， 则平面BCD， 因为平面BCD，所以 由，， 则≌， 可得，，又， 得≌，则， 故， 又由，AO，平面AOD， 则平面AOD， 又平面AOD，则 由可知，OA，OD，OC三线两两互相垂直， 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 如下图所示： 不妨设， 则，，，， 由， 所以， 设平面ABD的一个法向量，直线DE与平面ABD所成角为， 可知，， 则，取，得， 所以 ， 则直线DE与平面ABD所成角的正弦值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：设等差数列的公差为，其通项公式为， 已知，则，， 因为，，成等比数列，则， 即， 解得或舍去， 所以数列的通项公式为 由  ①， 当时，，因为，所以，解得， 当时， ②， ①-②得：， 即：， 因为，所以，即， 由， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以， 则 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为 因为， 所以   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：由已知，抛物线的准线为直线，与椭圆相交线段的一个端点坐标是， 把代入椭圆方程化简得，解得 所以抛物线C的方程为 假设M在抛物线C上运动时弦BD的长为定值，理由如下： 设在抛物线C上，可知到x轴距离为， 根据圆的弦长公式可知：， 由已知，， 所以， 则M在抛物线C上运动时弦BD的长的定值为 解：若过点F且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直， 则其中与x轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设过的F的两条直线的方程分别为、，其中， 设直线交抛物线C于点、， 由得， ， 由韦达定理可得，则， 同理可得， 所以，四边形GRHS的面积 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形GRHS的面积的最小值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解： 的定义域为R， ， 当时，， 当或，即或时，，为增函数， 当时，，为减函数， 故的增区间为，，减区间为 由在定义域内单调递增， 得对任意的恒成立， 即恒成立，即恒成立． 因为，所以， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以， 即a 的取值范围是； ，因为函数 有两个极值点， 所以方程 有两个不相等的实数根， 故且， 所以， ， 又恒成立， 即恒成立， ， 设， 则， 在上恒成立，故 在上单调递减， 所以， 所以， 即实数m 的取值范围为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$