精品解析：山东省滨州市无棣县2024-2025学年上学期期末学业质量检测八年级数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 亲爱的同学们：初二一学期的学习一定让你收获了不少新知识，提升了数学解题能力，希望大家冷静审题、细致作答，考出自己的最佳水平！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分） 1. 下列四种与防溺水相关的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形两边长为2和6，若第三边长为偶数，则第三边长为（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，D是上一点，连接，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 6. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 7. 若在实数范围内有，，，则方程解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，垂足为C，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如下图杨辉三角给出了（，2，3，4…）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1恰好对应着的展开式中的各项系数；第4行的4个数1，3，3，1恰好对应着的展开式中的各项系数．依此规律，的展开式中项的系数是（ ） 1 ………………………………… 1 …………………………… 1 1 …………………… 1 2 1 ………………1 3 3 1 ………1 4 6 4 1 A. 6 B. 10 C. 15 D. 20 10. 如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于F，现有下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中，正确的结论是（ ） A. ①④⑤ B. ①②③ C. ①②④③ D. ②③⑤ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11. 分解因式：4x2–1=_______________． 12. 若分式的值为零，则x的值为 _____． 13. 如图，中，若，O为三条角平分线的交点，则______度． 14. 化简：______． 15. 如图，在中，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是______． 16. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为______． 三、解答题（共计72分） 17. （1）计算：； （2）如图，点E，F是线段上的两点，且，，．求证： ． 18. 计算： （1）解方程： （2）如图，已知是的角平分线，，垂足为E．相交于点M，，试求的度数． 19 （1）计算： （2）已知，在中，，．请利用直尺和圆规，作的角平分线交于点D，作的垂直平分线，垂足为E，与交于点F，并求的度数． 20. （1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，，求的值． 21. 如表是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和爱国、爱民两位同学不完整的解答过程． 甲乙两人分别从距离目的地和的两地同时出发，甲的速度是乙速度的，结果甲比乙提前20分钟到达目的地． 爱国：； 爱民：设乙的速度为， 根据以上信息，解答下列问题． （1）爱国同学所列方程中的x表示______； （2）根据爱民同学设的未知数，列方程并解答本题． 22. 已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点N，相交于点E，相交于点F． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 23. 如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两种不同方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：______；方法2：______； 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； （3）如图，中，，点D为底边上任意一点，，，垂足分别为点E，F，G，连接AD．判断之间的数量关系． 24. 【课本内容】如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边上的中线． 【尝试应用】学了这个知识后，爱棣遇到这样一个问题：如图1，在中，，D是中点，求边上的中线的取值范围．爱棣经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于E，，求证：； 【拓展提升】如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请判断之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 亲爱的同学们：初二一学期的学习一定让你收获了不少新知识，提升了数学解题能力，希望大家冷静审题、细致作答，考出自己的最佳水平！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分） 1. 下列四种与防溺水相关的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形；根据“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形”结合定义可得答案． 【详解】解：由定义得， 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． D图形可以沿一条直线重合， 故选：D． 2. 一个三角形的两边长为2和6，若第三边长为偶数，则第三边长为（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． 设第三边边长为x，再根据三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求出x的取值范围，最后再根据第三边长为偶数即可解答． 【详解】解：设第三边边长为x， 根据三角形的三边关系可得：，即 又∵第三边长是偶数， ∴，即第三边长为6． 故选C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的问题，掌握最简二次根式的定义以及性质是解题的关键． 根据最简二次根式的定义以及性质对各项进行判断即可． 【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意； B．，则该选项不是最简二次根式，不符合题意； C．，则该选项不是最简二次根式，不符合题意； D．，则该选项不是最简二次根式，不符合题意． 故答案为：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论正确，故符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，，D是上一点，连接，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】可得，，进而得出，得到，中，由，可求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，三角形的外角性质，熟记这些性质是解题的关键． 6. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意； B.符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意； C.，不能判定全等三角形，即不能画出唯一的，故本选项符合题意； D.，符合全等直角三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 若在实数范围内有，，，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，解分式方程，由迷得运算法则求出，代入分式方程，然后解分式方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴原方程变为， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 故选A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，垂足为C，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系，直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键． 过点分别作轴，轴，垂足为，证明即可求解． 【详解】解：过点分别作轴，轴，垂足为，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在第二象限， ∴， 故选：C． 9. 如下图杨辉三角给出了（，2，3，4…）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1恰好对应着的展开式中的各项系数；第4行的4个数1，3，3，1恰好对应着的展开式中的各项系数．依此规律，的展开式中项的系数是（ ） 1 ………………………………… 1 …………………………… 1 1 …………………… 1 2 1 ………………1 3 3 1 ………1 4 6 4 1 A. 6 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，读懂题意、归纳出式子的规律是解题的关键． 由题意可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，然后根据规律解答即可． 【详解】解：∵ 1 ………………………………… 1 …………………………… 1 1 …………………… 1 2 1 ………………1 3 3 1 ………1 4 6 4 1 …… ∴的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， ∴， ∴的系数为20． 故选D． 10. 如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于F，现有下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中，正确的结论是（ ） A. ①④⑤ B. ①②③ C. ①②④③ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 由角平分线的性质可得，再证明可得，然后根据三角形的面积即可判定①；如图：连接，再证明从而得到即可判定②；由、结合线段的和差以及等量代换可判断③；由可得，即：平分，即可判断④；由①可得即可判定⑤． 【详解】解：①如图：连接． ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，即①正确； ②∵的平分线与边的垂直平分线相交于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③又∵，， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴，即：平分， ∴不能判定平分．故④错误． ⑤∵， ∴，即⑤错误． 综上，正确的①②③． 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11. 分解因式：4x2–1=_______________． 【答案】（2x+1）（2x–1） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）． 故答案为：（2x+1）（2x–1）． 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 12. 若分式的值为零，则x的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解． 【详解】解：因为分式的值为零， 所以， 解得：． 故答案为：1． 13. 如图，中，若，O为三条角平分线的交点，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与三角形内角和定理有关的角平分线计算． 由三角形内角和定理得到，再根据角平分线以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算，先进行多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，即可求解；掌握整式混合运算的法则与步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，D为中点，P为上一动点，连接，则的最小值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，， ，， ， ∴， 是关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ， 即：， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 16. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键． 根据a、b、c的值求得，然后将其代入三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共计72分） 17. （1）计算：； （2）如图，点E，F是线段上的两点，且，，．求证： ． 【答案】（1）（2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了整式乘除混合运算，平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质； （1）先进行乘方运算，再进行乘除运算，即可求解； （2）由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； 掌握整式乘除混合运算步骤，平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）证明：， ，即：， ， ， 在和中 ， （）， ， ． 18. 计算： （1）解方程： （2）如图，已知是的角平分线，，垂足为E．相交于点M，，试求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、角平分线的定义、垂直的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握解分式方程、三角形内角和定理是解题的关键． （1）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）由对顶角相等可得，再根据垂直的定义可得，进而求得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：， 检验，当时，， 所以，原分式的解为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，解得：． 19. （1）计算： （2）已知，在中，，．请利用直尺和圆规，作的角平分线交于点D，作的垂直平分线，垂足为E，与交于点F，并求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、尺规作图、角平分线的定义等知识点，掌握整式的混合运算法则以及尺规作图的方法是解题的关键． （1）直接根据整式的混合运算法则计算即可； （2）先运用尺规作图按要求作图，根据角平分线的定义可得，垂直平分线的定义可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：根题意作图如下： ∵平分，， ∴， ∵的垂直平分线， ∴， ∴． 20. （1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、负整数指数幂的法则，零指数幂的法则、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的混合运算顺序进行化简，然后根据负整数指数幂的法则、零指数幂的、则求出x的值，最后代入计算即可； （2）先求出，然后再因式分解，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴原式 （2）解：∵，， ∴， ∴． 21. 如表是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和爱国、爱民两位同学不完整的解答过程． 甲乙两人分别从距离目的地和的两地同时出发，甲的速度是乙速度的，结果甲比乙提前20分钟到达目的地． 爱国：； 爱民：设乙速度为， 根据以上信息，解答下列问题． （1）爱国同学所列方程中的x表示______； （2）根据爱民同学设的未知数，列方程并解答本题． 【答案】（1）甲速度 （2）甲的速度为，乙的速度为 【解析】 【分析】本题考查了分式的应用； （1）理解所列的分式方程，即可求解； （2）等量关系式：甲到大目的地的所需时间乙到达目的地所需时间小时，据此列方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，x表示甲的速度， 故答案为：甲的速度； 【小问2详解】 解：由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， （）， 甲的速度为，乙的速度为． 22. 已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点N，相交于点E，相交于点F． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据全等三角形可证明可得，再根据三角形内角和定理可得，最后根据邻补角定义即可解答； （2）由（1）可得、，再证明，由全等三角形的性质可得，再结合即可解答． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形，， ∴， ∴，即 在和中 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形． 23. 如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：______；方法2：______； 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； （3）如图，中，，点D为底边上任意一点，，，垂足分别为点E，F，G，连接AD．判断之间的数量关系． 【答案】（1）；． （2）①34；②． （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值、三角形的面积等知识点，熟练掌握完全平方公式以及转换法是解题的关键． （1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积； （2）①由题可得，进而得到，再将整体代入计算即可；②设，，则，，再根据（1）中结论的变形可得，然后代入计算即可； （3）由等角对等边可得，根据，然后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：依题得：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和，即； 方法2：阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即． 故答案为：；． 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； ②设，，则，， 由（1）得：， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 24. 【课本内容】如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边上的中线． 【尝试应用】学了这个知识后，爱棣遇到这样一个问题：如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．爱棣经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于E，，求证：； 【拓展提升】如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请判断之间的数量关系． 【答案】问题处理∶见解析；拓展提升∶，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和定理是解题的关键． 问题处理∶ 如图：延长到G，使，连接，易得四边形是平行四边形，则、，即；由等量代换可得，由等边对等角可得，进而得到，最后根据等角对等边即可； 拓展提升∶ 如图：在上截取，连接．再根据等边三角形的性质可证得可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：问题处理∶ 如图：延长到G，使，连接， ∵是中边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 拓展提升∶ ，理由如下： 如图：在上截取，连接． ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$