广东省湛江市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

高三年级期未考试试卷 数 学 本试卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 望 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 的 题目要求的， 1.已知集合A={x|In x≤1}，B={-1,0,1,2,3},则a∩B= 留 A{0,1,2} &{0,1}》 C.i1,2} D.1} 2.复数x=(3十i)(1一4i),则x= 长 A.-1+11i B7+11 C.-1-11i D.7-11i 3.已知a,b是两条不同的直线，a,f是两个不同的平面，且aa,bβ，则“a上b”是“a⊥”的 ☒ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条终 都 么已知双曲线C _y2 =1(a>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为20，且s$in0= 3 ,则双曲线 C的离心率是 都 A陌 B.3 C.3/ 4 D号 韵 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若3a=b(5cosC+sinC),且a+c=4,则b 的最小值是 A.3 B2 C.22 D.23 6.已知函数f(x)满足f(x一2)十f(一x)=0,且f(x十1)是奇函数，若f(2)=3,则∫(9)+ f(10)= A.-6 B.-3 C.3 D.6 7.《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题.现将14斗粟米分给 4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有 A.715种 B.572种 C.312种 D.286种 8.在三棱锥P-ABC中，PC=3√2，其他棱长都是2√3，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是 A20,5x 3 B.20W5π c警 D.20x 【高三数学第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选硕甲，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某教育行政部门为了解某校教师“学习强园”的得分楷况，随机调查了该校的0位敏师，这 50位教师12月份0日均得分（单位：分统计情况如E表： 得分 L5,15) 的，25) [25,35) [35,45) 频数 5 15 20 10 根据表中数据，下列结论正琬的是 A.这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B.这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过83光 C.这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之同 D.这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间（同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表) 10.已知函数f(x)=sin2x|sinxl,则 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于点（受，0对称 Cf(x)在[，]上单调递减 De)的值线为[-4,9】 11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线E:y2十4x|=4就是其中之一，则下列结论正确的是 A.曲线E关于x轴对称 B.曲线上任意一点到原点O的距离都不超过2 C.曲线上任意一点到原点O的距离等于到直线x=2的距离 D若M(:,y)是曲线E上任意一点，则y一2zx的最大值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知单位向量a,b满足|2a-3b1=5,则向量a,b夹角的馀弦值是▲ 13.若圆(x一1)2+y2=8上恰有两个点到直线x十y十m=0的距离为瓦，则m的取假范围是 14.已知函数f(x)=log2x,且f(a)十a=0,bf(b)=2b+4,则f(a)+f(b)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有 “吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“样”“康”“顺”字样的小球，顾客先 从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上 的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只 能抽奖1次.已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概 率均为行，且顾客取出小球的结果相互独立。 (1)求顾客中奖的概率； (2)若小明家二口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望 【高三数学第2页（共4页）】 16.(15分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AF∥DE,AD=DE=2AF,BE= √EAD,AF⊥AD,∠BAD=60°， (1)证明：AC⊥平面BDE, (2)求平面BCE与平面BEF的夹角的正弦值. 17.(15分) 已知函数f(x)=(a-2hx+g+z. (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知M0)和N5,D为精圆C:号+长 +=1(a>b>0)上两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若点H在椭圆C上，F,F2是椭圆C的两焦点，且∠F1HF2=10°，求△FHF2的 面积； 1 (3)过点PW5,0)的直线1与椭圈C交于A,B两点，证明：PAT+PBT为定值 学 19.(17分) 若数列{am}的首项a1=l,对任意的n∈N+,都有a+1一an≤k(k为常数，且k∈N+),则称 烨 {an}为有界变差数列，其中k为数列{an}的相邻两项差值的上界.已知数列{an}是有界变 差数列，{an}的前n项和为Sn, (1)当k=1时，证明：an≤n, (2)当{an)(n∈N+,n≥2)中各项都取最大值时，S,+na,≤3m3+11n对任意的n≥2恒成 别 立，求k的最大值； (3)当{an}(n∈N+,n≥2)中各项都取最大值时，b=2”an,数列{bn)的前n项和为Tn,若对 惆 任意的n∈N+,都有(-1)"(2-+1)+2"<T.-4+2-(n-2)k·2+1,求λ的取值 范围。 够 蘭 【高三数学第4页（共4页）】 高三年级期末考试试卷 数学参考答案 1.C由题意可得A={x|0<x≤e},则A∩B={1,2}. 2.B由题意可得z=(3+i)(1一4i)=3-12i+i-4=7-11i,则z=7+11i. 3.D当直线a,b相交且垂直时，平面a,B可以相互平行，当a上时，直线a,b可以平行，则“a ⊥b”是“α⊥3”的既不充分也不必要条件. 4B因为in0= 号，所以0s20=1-2ni0-=号血20-2号期m29=2v2,所以2- 2厄，故双曲线C的离心率是√（会）+1=3. 5.B因为3a=b(3cosC+sinC),所以W3sinA=√3 sin Bcos C+sin Bsin C.因为A+B+ C=π，所以sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以W3sinA=√3 sin Bcos C+ √3 cos Bsin C=√3 sin Bcos C+sin Bsin C,所以W3 cos Bsin C=sin Bsin C.因为sinC>0. 所以tanB=3,则B=受.由余弦定理可得2=a2+c2-2 aceos B=(a十c)2-3ac2 a+c=4,当且仅当a=c时，等号成立.则b≥2， 4 6.C因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0,f(x十1)=一f(一x+1),所以f(x十2)= -f(-x).因为f(x-2)+f(-x)=0,所以f(x-2)=f(x+2),所以f(x)=f(x+4), 即f(x)是周期为4的周期函数，则f(9)+f(10)=f(1)+f(2)=3. 7.D本题可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分 1个，利用隔板法可得分配的方案数为C=286,所以不同的分配方法有286种 8.D如图，取棱AB的中点E,连接PE,CE,设△ABC外接圆的圆 心为O',三棱锥P-ABC外接球的球心为O,连接OO',OP,OC,作 OF⊥PE,垂足为F.由题中数据可得PE=CE=3,OE=1,O'C= 2.因为PC=3√2，所以PE2+CE2=PC2,所以PE⊥CE.因为PA =PB,且E为棱AB的中点，所以PE⊥AB,所以PE⊥平面 ABC,则EF=OO',OF=O'E=1.设三棱锥P-ABC外接球的半径 为R,则R2=(PE-O0')2+OF2=O02+O'C2,即R2=(3-O0')2+12=O02+22,解得 R2=5,故三棱锥P-ABC外接球的表面积是4πR2=20π. 9.ABC对于A,根据频数分布表可知，5十15=20<25，所以日均得分的中位数不低于25，故 A正确； 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 日均得分不低于15分的频数为15+20+10=45，所以所占比例为5=90 正确： 对于C,日均得分的极差最大值小于45一5=40，最小值大于35一15=20，故C正确： 对于D,由频数分布表可得，日均得分的平均值为0×(5×10+15×20+20×30+10×40)= 27,故D错误 10.ABD因为f(x+x)=sin2(x+Isin(x+x=sin2 elsin=f(x),且当x∈[o,] 时，f()>0.当x∈[-受，0)时，f(x)<0,所以f(x)的最小正周期为，则A正确因为 f(x一x)=sin2(x-x)川sin(π-x)|=一sin2 xlsin x|=-f(x),所以f(x)的图象关于点 (交，0）对称，则B正确.当0≤x≤x时，f(x)=sin2 asin x=2sin2 cos=2cosx- 2cos2x.设1=cosx∈[-1,1]，则函数g(t)=-213+21,所以g'(t)=-622+2=-2(3t -1.由ge)<0,得-1C<-停或号<1：由g')>0,得-5<1<号故g在 [-1.-)和（停，]上单调递减，在(-停）上单调遥城当x∈[2】时，osx∈ [0,]即1∈[0，]因为竖>，所以了(x)在[子，]上不单调，则C错误因为 g(-号)=-4，g(停)=，g(-1)=g1)=0,所以fx)在[0，]上的值域为 [-,]因为x)的最小正周期为x,所以了x)的值城为[-5，]，则D 正确 11.ABD若点(x,y)在曲线E上，则(x,一y)都满足曲线E的方程，所以曲线E关于x轴对 称，故A正确：设点P(x,y)在曲线E上，由曲线E的对称性可令x≥0，则y2十4x=4,所 以4x=4-y2≤4，则0≤x≤1，|OP|=V2+y2=V√x-4x+4=√(x-2)≤2，所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过2，故B正确：易知（一1,0）是E上一点，该点到原点O 的距离不等于到直线x=2的距离，故C错误；由曲线E的对称性可知，当点M(x,y)位于 第二象限时，y-2x取得最大值，所以y2-4红=4，令1=y一2x,将x=y2代入y2-4红= 4,可得y2-2十21-4=0,4=2-4×1×(2-4)≥0，解得号，即y一2z的最大值为 号，故D正确 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 12号 因为2a-3动1=5，所以4a-12a·6+96=5,所以ab=号，则cosa,6}= a·b2 lallbl-3. 13.(-7,-3)U(1,5) 由题意可得圆心1,0)到直线工十y十m=0的距离d=+m.则 √2 22-2<1+ml<22+2,解得-7<m<-3或1<m<5. √2 14.2由题意得f(x)的定义域为(0，十)，则a>0,b>0,f(a)十a=log2a十a=0.由bf(b) =blgb=26+4,得1og6-2-合=lg鲁-言=0，即log:告+若=-0.设函数g(x)= 1ogx+x,易得g)在(0，十∞)上单调递增.因为a>0,分>0，g(a)=g(告)，所以a= 舌，即ab=4.放fa)+f6)=log,a+lbgb=lbg,ab)=2. 1点解：1顺客取出的2个小球的字样组成吉祥"的概率为号×号-日； 3=93…1分 11 顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为行义行一=g……2分 顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为宁×号一行 …3分 综上，顾客中奖的概率为3×号-号 5分 (2)设小明全家中奖的次数为X,则X一B(3,号)： PX=0)=(1-)广= …6分 Px=0=C×号×(1-3)'=， 7分 PX=2)=Cx(号)×(1-3)=号， 8分 Px=3)=()°=动 9分 则X的分布列为 X 1 2 3 P 号 号 27 11分 所以E(X)=0×+1×号+2x号+3X7=1 … 13分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 16.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以BD=AD. 因为BE=√2AD,所以BD2十DE2=BE2,所以BD⊥DE. …2分 因为AF⊥AD,AF∥DE,所以DE⊥AD.…3分 因为AD,BDC平面ABCD,且AD∩BD=D,所以DE⊥平面 ABCD.…4分 因为ACC平面ABCD,所以DE⊥AC.……5分 因为四边形ABCD是菱形，所以AC1BB.…6分 因为DE,BDC平面BDE,且DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE. …7分 (2)解：记AC门BD=O,以O为原点，O,O心的方向分别为x,y轴的正方向，平行DE向 上为之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。 设AD=2,则B(1,0,0),C(0,√3,0)，E(-1,0,2),F(0,一√3,1)，…8分 则BC=(-1,5,0),BE=(-2,0,2),BF=(-1,-√3,1).…9分 设平面BCE的法向量为m=(x1,y1,1), /m·BE=-2x1+21=0, 则m·成=-+5=0 令x1=√5，得m=(5,1,W3).………11分 设平面BEF的法向量为n=(x2,y2,之2)， n·B2=-2x2十2x,=0, 则。·酥=一一：十40， 令72=1，得n=(1,0,1).…13分 设平面BCE与平面BEF的夹角为0， 2342 则cos0=cos(m,n川=mm=7X5s 7 14分 故sin0=√1-cos0= 7 …15分 7.解：)当a=3时fx)=nx+十x,则f(x)=。-号+1，m…1分 从而f(1)=7,'(1)=一4，… …心…3分 故所求切线方程为y一7=一4(x一1)，即4x十y一110（或y=一40十11）.…5分 (2)由题意可得f(x)的定义域为0，十】，……6分 /(xj=a-2.2g+1=+a-2)x-2a=x-2)（r+@.…7分 当一a≤0，即a≥0时，由f'(x)>0,得x>2,由f'(x)<0,得0<x<2,则f(x)在(0,2)上 单调递减，在(2，十0∞)上单调递增。………9分 当0<-a<2,即-2<a<0时，由f'(x)>0,得0<x<-a或x>2,由f'(x)<0,得-a< x<2,则f(x)在（一a,2)上单调递减，在(0，一a)和(2，十o∞）上单调递增.…11分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 当-a=2,即a=一2时，f'(x)≥0恒成立，则f(x)在(0，十c∞)上单调递增.…12分 当-a>2,即a<-2时，由f'(x)>0,得0<x<2或x>一a,由f'(x)<0,得2<x<-a, 则f(x)在(2，一a)上单调递减，在(0,2)和（一a,十o∞）上单调递增.…14分 综上，当a≥0时，f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增；当一2<a<0时， f(x)在（一a,2)上单调递减，在(0，一a)和(2，十∞）上单调递增；当a=一2时，f(x)在0 十∞)上单调递增；当a<-2时，f(x)在(2，-a)上单调递减，在(0,2)和(-a,+∞)上单 调递增。…0…15分 fb=2, 162=2, 18.(1)解：由题意得 3,1 解得 2分 a2t621, a2=6, 所以椭圆C的方程为后+号-1 …4分 (2)解：由题可知HF|+|HF2=2√6，F,F2=2√6-2=4.…5分 在△F,HF2中，由余弦定理得引F,Fz=|HF2+|HF22-2 HFIIHF:|cos∠F,HF2 =(|HF1|+|HF2)2-3|HF,l|HF2,…7分 则16=24-3HF,HR1,即IHE,1HE,-令， m8分 所取5品一之5E血0-位××号一之华放5，R,的面限要 2 2 3 …10分 (3证明：当1的斜率为0时PA下+PB6+V3)6-3) =2.…12分 当l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=y十3，A(x1,y1),B(x2,y2. 联立 =1y+3,得+3y2+25y-3=0. x2+3y2=6, -23t -3 此时4>0y1十y2=+3,1%=72+3 …14分 -3 +高a+a中中·-市 一2+3 一31 2+3 =本·8+2，故+为定直 1 17分 19(1)证明：当k=1时，a+1一a,≤1， 则am=(an-am-1)十(am-1-am-2)十(am-2一am-3)+…+(a2-a1)十a1≤1十1+1十…十1 =n(n≥2). …2分 当n=1时，a1=1满足an≤n,故an≤n,当且仅当an一am-1=1时，等号成立.…3分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 (2)解：因为am+1一am≤k,所以am=(am一am-i)十(am-1一am-2)+(a-2一am-3）+…+(a2 -a1)+a1≤(n-1)k+1(n≥2)，… …5分 当n=1时，满足上式，则S.≤n-1k+2 2 6分 所以n-1)k+2+n[(-1)k+1门≤3m3+11m, 整理得(n-1)k≤2n2十6。…7分 因为m≥2，所以k≤2m+6 n-1’ …8分 所以k<g-20-1计0-》+8=2m-1+月+4雨2a-1D+8+ n-1 4>≥12，当且仅当n=3时，等号成立.因为Sn十nan≤3n3+11n对任意的n≥2恒成立，所以 k≤12，因为k∈N+,所以kmx=12.…10分 (3)解：由(2)可得bn=[(n-1)k十1]·2， 则Tm=2+(k十1)·22+(2k+1)·23+…十[(n-1)k+1]·2".…11分 设S=2+(k+1)·22+(2k+1)·23++[(n-1)k+1]·2”, 则2S=22+(k+1)·23+(2k+1)·21++[(n-1)k+1]·2m+1, 所以-S=2+k(2+23+…+2")-[(n-1)k+1]·2+1=[(2-n)k-1]·2+1-4k+2, 所以S=[(n-2)k+1]·2+1+4k-2,即T,=[(n-2)k+1]·2+1+4k-2.…13分 因为对任意的n∈N,都有(-1)%(2-1+1)十2<T,-4k+2-(n-2)k·2+1, 所以(-1)1(2"-1+1)+2"<Tn-4k+2-(n-2)k·2+1=2+,即(-1)x(2-1+1)< 20.…14分 2n 当n为奇数时，-入(21+1)<2，所以>一2+ 易证-2-名十为递减数列，则>一1；…………15分 2 当n为偶数时，A(21+1)<2,所以<2+ 易证{2十为递增数列，则<号 16分 综上A的取值范围为(-1，专)： 17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】