【新高考地区专用】2025届高三第二轮复习考前数学小题训练（一）

2025届新高考 考前小题训练（一） 数 学 时量：50分钟 满分：75分 整体难度系数：★★☆ 班级：___________ 姓名：__________ 分数：___________ 一、选择题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2024-2025·甘肃·高一上期末·★） 命题“”的否定为 （     ） A． B． C． D． 2．（2024-2025·黑龙江·高三上期中·★★） 已知，则z的共轭复数的虚部为 （     ） A．1 B． C．0 D． 3．（2024-2025·河南·高三上期中·★★） 已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为 （    ） A． B． C． D． 4．（2024-2025·广东·高三上期中·★★） 的展开式中，常数项为 （    ） A． B． C． D． 5．（2024-2025·江苏·高二上期中·★★★） 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为 （    ） A． B．18cm C． D． 6．（2024-2025·安徽·高二上第一次联考·★★★） 已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 7．（2024-2025·河南·高二上10月月考·★★★） 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为 （    ） A． B． C． D． 8．（2024·新课标全国Ⅱ卷数学真题·★★★★） 设函数，若，则的最小值为 （     ） A． B． C． D．1 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的选得0分） 9．（2023-2024·山东·高一下期末·★★） 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则 （     ） A． B． C． D． 10．（2024-2025·山西·高二上期中·★★★） 已知曲线（、为常数）则 （     ） A．若，，则曲线为椭圆 B．若，则曲线为双曲线 C．对任意实数、，曲线都不会是拋物线 D．存在实数、，使得曲线是由直线组成的图形 11．（2023-2024·吉林·高三下三模·★★★★） 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则 （     ） A．该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 B．若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为 C．若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为 D．若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为 三、填空题（本大题共3个小题，每个小题5分，共15分） 12．（2025·全国·专题练习·★★） 首项为30的等差数列，从第8项开始为负数，则公差的取值范围是 . 13．（2024-2025·上海·高二上10月月考·★★） 设为第二象限角.若，则 . 14．（2024-2025·广西·高三上第一次适应性测试·★★★★） 若表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下： ①对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作； ②灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要 次操作； 如果除灯外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作. 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高考 考前小题训练（一） 答案解析 数 学 时量：50分钟 满分：75分 整体难度系数：★★☆ 班级：___________ 姓名：__________ 分数：___________ 一、选择题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2024-2025·甘肃·高一上期末·★） 命题“”的否定为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全称命题的否定 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C. 2．（2024-2025·黑龙江·高三上期中·★★） 已知，则z的共轭复数的虚部为 （     ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的运算以及共轭复数和虚部的概念易得结果. 【详解】，其共轭复数，虚部为1. 故选：A. 3．（2024-2025·河南·高三上期中·★★） 已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由及，得，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 4．（2024-2025·广东·高三上期中·★★） 的展开式中，常数项为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理展开式直接计算可求得结果. 【详解】根据题意可知只有与的展开式中的一次项乘积为常数， 即. 故选：B 5．（2024-2025·江苏·高二上期中·★★★） 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为 （    ） A． B．18cm C． D． 【答案】D 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线的其他应用 【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D 6．（2024-2025·安徽·高二上第一次联考·★★★） 已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】当时单调递增，也单调递增， 要使存在，，使，只需，即，不等式无解； 当时单调递减，也单调递减， 要使存在，，使，只需， ，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 7．（2024-2025·河南·高二上10月月考·★★★） 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】取的中点，连接，由四边形为菱形，， 得， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又四边形为正方形， 故以为坐标原点，为轴建立如图空间直角坐标系， 设，则， 故， 所以， 即直线所成角的余弦值为. 故选：D 8．（2024·新课标全国Ⅱ卷数学真题·★★★★） 设函数，若，则的最小值为 （     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的选得0分） 9．（2023-2024·山东·高一下期末·★★） 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】先根据的最大值和最小值求出，再根据每分钟转4圈求出周期，从而可求得. 【详解】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得，所以AB正确，D错误， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得，所以C正确. 故选：ABC 10．（2024-2025·山西·高二上期中·★★★） 已知曲线（、为常数）则 （     ） A．若，，则曲线为椭圆 B．若，则曲线为双曲线 C．对任意实数、，曲线都不会是拋物线 D．存在实数、，使得曲线是由直线组成的图形 【答案】BCD 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由方程求曲线的图形、判断方程是否表示双曲线、根据抛物线的方程求参数 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线方程的形式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，则曲线为圆，A错； 对于B选项，若，则曲线为双曲线，B对； 对于C选项，对任意实数、，曲线中的、都无一次项， 即曲线不会是拋物线，C对； 对于D选项，取，，可得，此时，曲线表示两条平行直线，D对. 故选：BCD. 11．（2023-2024·吉林·高三下三模·★★★★） 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则 （     ） A．该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 B．若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为 C．若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为 D．若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为 【答案】ACD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、多面体与球体内切外接问题、根据体积计算几何体的量、柱、锥、台体的轴截面 【分析】先根据圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得出圆锥的母线长、底面半径和高即可求出圆锥的母线与底面所成角正弦值，进而判断A；根据三角形相似比得出圆柱高与其底面半径比的关系，再代入圆柱体积公式得到 ，再利用导数工具求出最值即可突破求解进而判断B；CD属于简单几何体的接切和相交问题，要结合相应几何体的结构特征和关系进行分析判断，具体看详解. 【详解】对于A，由圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得， ，所以圆锥的高， 设圆锥的母线与底面所成角，则，故A对； 对于B，设圆锥内切圆柱底面半径为，高为， 则有， 所以圆柱体积为， 设，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减， 所以时y取得最大值，即时圆柱体积取得最大，此时圆柱的高，故B错. 对于C，当球的半径最大时，球为圆锥的内切球，设球的半径设为R，此时圆锥与球的轴截面如图， 因为, 又，所以， 正四面体可由正方体面的对角线切割得到，如图，正四面体外接球与相对应正方体外接球为同一个球， 当正四面体的棱长为时，其相对应的正方体棱长为， 所以外接球直径为，所以外接球半径为， 所以该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为，故C对； 对于D，设圆锥内接最大正方体棱长为a，则沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图如下， 则有， 所以正方体面的对角线长为， 所以以正方体顶点A为球心，半径为的球与正方体表面交线情况如下图所示， 所以交线有两组各有三条长度相等的曲线，第一组曲线如图（1），第二组曲线如图（2）， 由上，， 所以， 所以，， 所以交线的总长度为. ，故D对. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：简单几何体相交交线是直线还是曲线是容易出错的点，一般情况下经过曲面的交线是曲线，但交线过旋转体母线的是直线，如下图： 三、填空题（本大题共3个小题，每个小题5分，共15分） 12．（2025·全国·专题练习·★★） 首项为30的等差数列，从第8项开始为负数，则公差的取值范围是 . 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】依题意可知，列出不等式即可求解. 【详解】由题意知. 即 解得. 故答案为： 13．（2024-2025·上海·高二上10月月考·★★） 设为第二象限角.若，则 . 【答案】/0.25 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式得到关于的一元二次方程，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 因为为第二象限角，所以. 故答案为： 14．（2024-2025·广西·高三上第一次适应性测试·★★★★） 若表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下： ①对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作； ②灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要 次操作； 如果除灯外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作. 【答案】 3 11 【知识点】分类加法计数原理 【分析】利用列举法求得把灯关闭最少需要的操作次数;先用列举法求得关闭前4个灯最少需要的操作次数，然后乘以2再加上1，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数. 【详解】设1为开灯，0为关灯，初始状态1111， 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要的操作如下，操作如下，共3次; 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要的操作如下， ①操作如下，共5次; ②此时前5盏灯的状态如下：00011，操作1次，变为00010，关闭; ③将步骤①倒过来做一遍，打开前4个灯，共5次操作. 那么要使所有灯都开着最少需要11次操作； 故答案为：3；11. 【点睛】关键点点睛：设1为开灯，0为关灯，初始状态1111，根据利用列举法直接列举分析即可. 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$