第十七章 勾股定理（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，人教版）

第十七章 勾股定理（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，2.2，2.5 2．下列条件中能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 5．李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 6．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用，，表示，则，，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点C在线段上，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 10．如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．若一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为6，10，则第三边长为 ． 12．在中，，边上的中线，那么 ． 13．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 14．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数： ． 15．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．作图（不写作法，保留作图痕迹）：在数轴上作出表示的点． 17．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若，求图中阴影部分的面积． 18．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？ 20．【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求，两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留）． 21．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 23．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，2.2，2.5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：， ∴A、B、C均为勾股数，不符合题意； D选项中各数不全是整数，故不是勾股数，符合题意； 故选：D． 2．下列条件中能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可进行逐一判断即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A．因为，故不能构成直角三角形，故A不符合题意； B．因为，故能构成直角三角形，故B符合题意； C．因为，故不能构成直角三角形，故C不符合题意； D．因为，故不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 3．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 5．李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．电梯是个长方体，电梯中能放下的最大长度就是长方体对角线的长度，连接、构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图所示， 电梯中能放下的最大长度就是线段的长度， ， ， ， 故选：C． 6．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 7．如图，在中，，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用，，表示，则，，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质是解答本题的关键． 过点作于点，由勾股定理得，再由等边三角形的性质得，，进而由勾股定理得，然后由三角形面积得，同理，，即可得出结论． 【详解】解：过点作于点， ， ， 是等边三角形，， ，， ， ， 同理：，， ， 故选：A． 8．如图，点C在线段上，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， 故选：C． 9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质得到 ，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1所示， 由折叠的性质得， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 解得，， 即； 当P点在E点右边时，如图2所示， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， 即； 综上所述，或10； 故选：D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．若一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为6，10，则第三边长为 ． 【答案】8 【分析】辩清一条直角边，一条斜边，用勾股定理直接求解； 【详解】解：由题可知，斜边是，一条直角边是，根据勾股定理，得； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，在直角三角形中，直角边是，斜边是，则；解题关键是熟记定理． 12．在中，，边上的中线，那么 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，先根据勾股定理的逆定理推导是直角三角形，可知垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质定理得出答案． 【详解】解：如图所示：， ， ， 是直角三角形， 垂直平分， ． 13．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【答案】2.6米 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 14．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数： ． 【答案】17，144，145 【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可． 【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17， 继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1， 所以有，解得，，即第8组勾股数为17，144，145. 故答案为17，144，145. 【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可． 15．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．作图（不写作法，保留作图痕迹）：在数轴上作出表示的点． 【答案】图见详解 【分析】本题考查了勾股定理、无理数用数轴上的点表示的方法；熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理进行计算与作图是解决问题的关键．因为，所以只需作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长是．然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴负半轴的交点即为表示的点． 【详解】解：如图所示， 点P是表示的点． 17．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的应用．根据勾股定理可得，从而可得，，同理，，再根据，代入求值即可． 【详解】解：为直角三角形， ， 又， ， ， 同理，，， 在中，，， 所以阴影部分的面积为 ． 18．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】这个零件不符合要求，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断、的形状，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：这个零件不符合要求，理由如下： 由图可知：，，，，， ，， 不是直角三角形、是直角三角形， ，， 故这个零件不符合要求． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？ 【答案】作图见解析，站应建在离站处 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先作出的垂直平分线，与交点即为点E，根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：如图，点E即为所求： 由题意得，使得C，D两村到E站的距离相等，则直线l是的垂直平分线， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴， 解得：， ∴． 答：站应建在离点处． 20．【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求，两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些定理与性质，并可以通过正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点作，垂足为点．由，，得出，，在中，，即可求出和， 即可求解； （2）连接，先求出，再在中利用勾股定理求出，利用圆周长的一半即可求的长，即可解决． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作，垂足为点． ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 答：，两点之间的距离为； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的长， 答：待建环山路的长度为． 21．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过30h从点移到点； (2)市受到台风影响的时间持续． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，即可求解； （2）在射线上取点，使得，利用勾股定理求出，进而求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∴， 答：台风中心经过从点移到点； （2）解：如图，在射线上取点，使得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：市受到台风影响的时间持续． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 【答案】（1）10（2）17（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，利用勾股定理求出，然后同（1）求解即可； （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，得，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为17， （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，如图， 由对称性知，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又， ∴， ∴的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$