第十九章 一次函数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，人教版）

第十九章 一次函数（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和速度 C．圆的周长和半径 D．三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 5．在球的体积公式中，下列说法正确的是（    ） A．是变量，是常量 B．V、r是变量，是常量 C．V、r是变量，是常量 D．以上都不对 6．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 7．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 9．已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则的值为（   ） x 1 0 2 n y m 3 5 7 A． B． C．0 D．1 10．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．已知是关于x的一次函数，则 ． 12．已知直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是 ． 13．在函数中，若函数值为0，则自变量的值是 ． 14．如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 15．瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 17．已知直线经过点，． (1)直线与直线相交于点，求点的坐标； (2)根据图象，写出关于的不等式的解集． 18．已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于，两点，两直线的交点为，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 20．动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 21．小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． (1)请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； (2)去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．探究活动：函数的图象与性质． (1)函数的自变量取值范围是__________； (2)在下面网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象； (3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0；②当时，随的增大而增大； ③图像关于过点且垂直于轴的直线对称； ④图像关于点中心对称． 上述结论中正确的是_____．（只填序号） (4)已知为图像上一点，点是图像与轴的交点，，那么的面积是__________． 23．国庆期间，小强和小华两家相约从郑州出发，经京港澳高速公路（全程）自驾游去北京，小华家按原计划早上出发，保持每小时的速度行驶，小强家因有事耽搁出发晚了1小时，但行驶一段路程后联系小华，发现已经超过了小华家的车，于是适当减速，最终两家同时到达北京．两家的汽车距郑州的距离与小华从家出发后的时间（h）之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： (1)小强家 点出发，减速前平均每小时行驶 km，他们到达北京时的时间是 ； (2)请你求出交点的坐标，并解释点的实际意义； (3)直接写出行进过程中两车何时相距？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的概念，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．对函数概念的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意事项：判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与其对应；函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．函数的意义反映在图象上一个简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 根据函数的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项符合题意； B、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； C、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； D、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； 故选：． 2．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息． 直接从一次函数的图象上即可得到答案． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， ∴不等式的解集为． 故选：D． 3．下列函数中，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及一次函数图像增减性与常数的关系，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； B、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； C、是一次函数，，得到随的增大而减小，选项符合题意； D、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； 故选：C． 4．下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和速度 C．圆的周长和半径 D．三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．根据正比例函数的定义解决此题． 【详解】解：A．设正方形的边长为，面积为，则，那么与不成正比例关系，故A不符合题意； B．设时间为，速度为，则，那么与成反比例关系，故B不符合题意； C．设圆的周长为，圆的半径为，则，那么与是正比例关系，故C符合题意 D．设三角形的面积为，它的一条边长与这条边上的高分别为与，则，那么与是反比例关系，故D不符合题意． 故选：C． 5．在球的体积公式中，下列说法正确的是（    ） A．是变量，是常量 B．V、r是变量，是常量 C．V、r是变量，是常量 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题主要考查了常量和变量，根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案． 【详解】解：在球的体积公式中，V，r是变量， ，π是常量， 故选：C． 6．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，首先将点A的横坐标代入求出点A，再结合一次函数与二元一次方程组的关系即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴的解为， 故选：C． 7．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键． 分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案． 【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项符合题意； 当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、第三、第四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意； 故选：A． 8．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 9．已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则的值为（   ） x 1 0 2 n y m 3 5 7 A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据表格数据，待定系数法求出一次函数的解析式，再求出的值，求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，由表格可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解. 【详解】解：对于直线，当时，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是； 点的坐标是； 故选：A. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．已知是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，熟记定义是解本题的关键．由定义可得，，从而可得答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，， 解得， 故答案为：． 12．已知直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∵直线与直线相点坐标就是方程的解， ∴方程的解是：． 故答案为：． 13．在函数中，若函数值为0，则自变量的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数的值，分式值为0的条件．根据分式值为0的条件得出，，据此求解即可． 【详解】解：∵函数的值为0， ∴，， 解得：， 故答案为：． 14．如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵函数经过第二、四象限， ∴， 解得：； 故答案为：． 15．瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意是解题的关键．依据题意付款金额单价数量解答即可建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 【答案】(1) (2)函数值的最小值为 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质， （1）把点，的坐标分别代入，得到关于的方程组，解方程组求得的值即可得出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）所求函数的表达式，然后根据该函数的增减性及即可得出y的最小值； 熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）∵一次函数，它的图象经过，两点， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y的值为最小，最小值． 17．已知直线经过点，． (1)直线与直线相交于点，求点的坐标； (2)根据图象，写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入求出直线的解析式，再联立两个函数解析式，再解方程组即可求出点C的坐标； （2）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）解：∵将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：， 联立可得， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：由图象可知，不等式的解集为 18．已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）把原点坐标代入解析式，解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，得到；根据图象交y轴于正半轴，得 ，求解集即可； （3）根据图象不过第三象限，得图象分布在二、四、一象限，得到且图象交y轴于正半轴和原点，即，求解集即可． 本题考查了图象过点，图象的分布，性质，熟练掌握分布与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， 故； 解得； 又图象交y轴于正半轴， 故， 解得， 故． （3）解：图象不过第三象限，得图象分布在二、四、一象限， 故且， 解得． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于，两点，两直线的交点为，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线相交联立方程组求解的综合，掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得的表达式； （2）联立直线，，求得点坐标，利用，可算得答案． 【详解】（1）解：已知直线：与坐标轴交于，两点 直线的函数表达式： （2）解：联立直线，，有 解得 点坐标为 20．动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 【答案】(1)，14，10 (2) (3)或． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）根据（1）中数据求出，再根据即可解答； （3）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）由（1）知，点H在线段上运动时，，， 此时，， ； （3）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 21．小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． (1)请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； (2)去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 【答案】(1) (2)选择老农果园 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）先求出2千克的费用，再求出超过2千克的费用，二者求和即可得到答案； （2）求出在老农果园和在盛田果园能够购买的草莓重量，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： 在中，当时，； ， ∵， ∴她在老农果园购买更合算． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．探究活动：函数的图象与性质． (1)函数的自变量取值范围是__________； (2)在下面网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象； (3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0；②当时，随的增大而增大； ③图像关于过点且垂直于轴的直线对称； ④图像关于点中心对称． 上述结论中正确的是_____．（只填序号） (4)已知为图像上一点，点是图像与轴的交点，，那么的面积是__________． 【答案】(1)任意实数 (2)见解析 (3)①②③ (4)或 【分析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图象，根据函数的图象归纳函数的性质， （1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围； （2）根据，结合取值范围分别画两个正比例函数的函数图象即可； （3）根据函数图象可以判断该函数的性质； （4）先求出点坐标，再根据割补法求的面积即可． 【详解】（1）解：在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：任意实数； （2）解：∵， ∴函数图象如图所示： （3）解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确； ④图像关于点中心对称，错误． 故答案为：①②③． （4）解：∵为图像上一点， ∴， 解得或， ∴或， ∵点是图像与轴的交点， ∴， ∵， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 23．国庆期间，小强和小华两家相约从郑州出发，经京港澳高速公路（全程）自驾游去北京，小华家按原计划早上出发，保持每小时的速度行驶，小强家因有事耽搁出发晚了1小时，但行驶一段路程后联系小华，发现已经超过了小华家的车，于是适当减速，最终两家同时到达北京．两家的汽车距郑州的距离与小华从家出发后的时间（h）之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： (1)小强家 点出发，减速前平均每小时行驶 km，他们到达北京时的时间是 ； (2)请你求出交点的坐标，并解释点的实际意义； (3)直接写出行进过程中两车何时相距？ 【答案】(1)9，， (2)；点的实际意义是小华家的车出发小时，即小强家出发小时，小强家的车追上小华家的车； (3)行进过程中两车或时相距． 【分析】此题考查了从函数图象获取信息和一元一次方程的应用． （1）根据题意和图象可求出答案； （2）设点M坐标为，根据两车行驶的路程相等列方程，解方程即可得到答案； （3）分两种情况列方程，解方程，即可求出答案． 【详解】（1） 解：根据题意可知，小强家9点出发，减速前平均每小时行驶， （小时）， ∴他们到达北京时的时间是； 故答案为：9，， （2）解：设点M坐标为，则 解得， 此时， ∴点M坐标为， 点的实际意义是小华家的车出发小时，即小强家出发小时，小强家的车追上小华家的车； （3）设行进过程中小华家的车行驶小时两车相距， 在小强家的车追上小华家的车之前，由题意可得， ， 解得， 在小强家的车追上小华家的车之后，由题意可得， ， 解得， 综上可知，行进过程中两车或时相距． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$