第十八章 平行四边形（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，人教版）

第十八章 平行四边形（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 2．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为（    ）    A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的顶点、的坐标分别为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（    ） A．对角互补 B．邻角互补 C．对边平行 D．对角线互相平分 9．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 10．如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）． 12．如图，△ABC,△ACE,△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有哪些 ． 13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为 ． 14．如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则 °． 15．如图，在中，点是边的中点，连接，将沿着直线翻折．得到，连接．若，，，则的面积为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点作直线交于点．在边上存在一点、当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题： (1)若，则________； (2)若，则________； (3)连结，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长． 17．如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． (1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； (2)在（1）添加的条件下，写出证明过程． 18．如图，在中，于点，于点，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，菱形中，，F是的中点，的延长线交的延长线于E，直线与直线相交于E，求度数． 20．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    21．如图，在中，，是中线，作，垂足为，交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，则______． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 23．如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 2．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 3．如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ， ， ∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时， 四边形为菱形，②说法正确； 时，， 四边形为矩形，③说法正确； 故选：C． 4．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得，，， 当时， 由可得四边形是平行四边形 ∴，解得， 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关键． 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由菱形的性质得出，结合已知条件，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得出长，根据菱形周长公式进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， E为的中点且， ， 菱形的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积． 【详解】在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示， ， 根据矩形的性质得到点的位置， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置． 7．如图，正方形的顶点、的坐标分别为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加垂线的辅助线，构造全等三角形解决问题．作轴交于点，用全等三角形判定定理推出，得出和的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，作轴交于点， 点、的坐标分别为，， ，， 正方形， ，， ， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：B． 8．小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（    ） A．对角互补 B．邻角互补 C．对边平行 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进判断即可. 【详解】解：平行四边形对角相等但不一定互补，邻角互补，对边平行，对角线互相平分， 故选：A 9．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小值时的情况是解题的关键． 作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ，， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形， ， 点在边上， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得，， 的最小值是13 故选：B． 10．如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， 故选：D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用， 【详解】解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，△ABC,△ACE,△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有哪些 ． 【答案】平行四边形ABCE，平行四边形ACDE 【详解】∵∠B=60°，∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+60°=120°， ∴AE∥BD， ∵AE=BC=CD， ∴四边形AECB，AEDC是平行四边形． 故答案为:ABCE，ACDE． 点睛：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键；根据菱形的性质得到，由，设，则，得到，过D作于H，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 由， 设，则， ∴， ∴， 过D作于H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 14．如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则 °． 【答案】110 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ 故答案为：110． 15．如图，在中，点是边的中点，连接，将沿着直线翻折．得到，连接．若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接交的延长线于点，根据翻折得垂直平分，结合，根据中位线的性质的得出，，求出的长，根据勾股定理计算，得出、的长，根据计算即可． 【详解】解：如图，连接交的延长线于点， ∵将沿着直线翻折得到， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵点是边的中点，，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面积公式等，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点作直线交于点．在边上存在一点、当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题： (1)若，则________； (2)若，则________； (3)连结，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长． 【答案】(1)2 (2)3 (3)2或 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），先说明四边形是矩形，再说明，根据得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），分，情况，根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）如图所示，根据题意可知， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）∵， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）2或. 当时， ∴， ∴； 当时， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 17．如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． (1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； (2)在（1）添加的条件下，写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． （1）添加一个条件使四边形是平行四边形即可． （2）由平行四边形的性质得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件：．使四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一） （2）证明∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 18．如图，在中，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质证明三角形全等是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，由此可证 ，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 于点 于点 ． ， 在 和 中， ， ， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，菱形中，，F是的中点，的延长线交的延长线于E，直线与直线相交于E，求度数． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，连接，先证是等边三角形，求出，再证明求出，即可求出结论． 【详解】解：连接， 菱形中，，， ， 是等边三角形， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 20．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 21．如图，在中，，是中线，作，垂足为，交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关性质是解答的关键． （1）连接，依题意得，是线段的垂直平分线，则，进而得，则，根据，得，则，由此得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由和全等得，，进而得，设，则，在中，由勾股定理可求，进而即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在中，，是中线， ， ，垂足为， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知：， ，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 设，则， ， 是直角三角形， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得： 故答案为：． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 【答案】【操作感知】：30；（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识， 操作感知：根据折叠求出，即可得出结论； 迁移探究： （1）根据证即可； （2）设的长为x，则，，利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：【操作感知】：由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30； 【迁移探究】（1）证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠， ∴， 在和中， ， ∴， 即； （2）解：设的长为， ∵正方形的边长为4，点P为中点， ∴，，， 在中，， 即， 解得 故答案为：． 23．如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 【答案】（1）5，3；（2）见解析；（3）见解析，11 【分析】（1）证明四边形是矩形，再利用三角形中位线定理解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理可得结论； （3）如图3中，延长至G，使，连结，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：∵点点都是中点 ∴、都是中位线 （2）证明：如图1中，延长至，使，连结． , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，延长至，使，连结．设． 易证 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．利用倍长线段法，构造全等三角形，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$