第十章 二元一次方程组（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，人教版2024）

第十章 二元一次方程组（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列方程中属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．已知与是同类项，则x和y的值分别为（   ） A．5和1 B．1和5 C．和5 D．和1 4．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 5．若与互补，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 8．解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（   ） A． B． C． D． 9．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 10．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．请写出一个解为的二元一次方程组 ． 12．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 13．已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足方程，则k的值为 ． 14．如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ， ． 15．某校在春节运动会比赛中，七年级一班和二班的实力相当，关于比赛结果，甲同学说：一班与二班的得分比为：，乙同学说：一班得分比二班得分的倍少分．若设一班得分，二班得分，则根据题意可列方程组 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．解方程组 (1)； (2)． 17．判断，是不是二元一次方程组的，的解.以下是小华对本题的解答过程，请判断是否正确，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解：把代入，左边右边， ，是二元一次方程组，的解． 18．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话：    求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 20．某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 21．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 23．【方法感语】 阅读材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4，则或． 【归纳】 若点A，B表示的数分别是则或． 【知识迁移】 （1）若点A表示的数是最大的负整数，点B表示的数为b，且，则___________． （2）如图2，点A，B表示的数分别是，若把AB向左平移个单位长度，则点A与数重合，若把AB向右平移个单位长度，则点B与70重合，___________，___________． 【拓展应用】 （3）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，123岁了，哈哈！”小红纳闷，爷爷现在到底是多少岁？小红现在又是几岁？请写出解题思路． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列方程中属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义即可判断． 【详解】解：A、，不是整式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意； B、，含未知数项的最高次数为二次，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意； C、，属于二元一次方程，故此选项符合题意； D、，含有3个未知数，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入关于，的二元一次方程，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入关于，的二元一次方程， 可得，解得． 故选：B． 3．已知与是同类项，则x和y的值分别为（   ） A．5和1 B．1和5 C．和5 D．和1 【答案】B 【分析】本题考查了同类项、二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，二元一次方程组的解法是解题的关键．结合与是同类项，可列出二元一次方程组，解方程组求x和y的值即可解答． 【详解】解：与是同类项， ， 解得：， 和y的值分别为1和5． 故选：B． 4．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由得到，设，，则， 根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得到，，求解即可，解法二：把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：解法一：， ∴， 设，， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴，， 解得：， ∴原方程组的解集为：； 解法二：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故选：C． 5．若与互补，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角定义及二元一次方程组的应用，根据补角定义得出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：与互补， ， ， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 6．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 7．解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】此题考查了解三元一次方程组．根据消元法的简单的角度即可得到答案． 【详解】解：经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 故选：B 8．解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】消去未知数，变形思路是①②，再得出选项即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：依题意，， ①，得③， ②，得④， ③④，得， 即变形的思路是． 故选：C． 9．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 10．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用．结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看和从水平方向看，列出方程组，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； 点在第二象限， ， 故选：D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由，列出方程组即可． 【详解】 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） 12．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1次的整式方程；根据二元一次方程的概念求解即可，注意未知数x的系数非零． 【详解】解∶ ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为∶1． 13．已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足方程，则k的值为 ． 【答案】 【分析】首先结合得，求出x，y的值，再将，的值代入得出答案即可． 本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解得， 将代入， 得， 解得． 故答案为：． 14．如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ， ． 【答案】 7 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程组，根据每行、每列及对角线上三数之和相等，即可列出方程组解答． 【详解】解：由题意可得： ， 整理得：， 解得：， 故答案为：； 15．某校在春节运动会比赛中，七年级一班和二班的实力相当，关于比赛结果，甲同学说：一班与二班的得分比为：，乙同学说：一班得分比二班得分的倍少分．若设一班得分，二班得分，则根据题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组；设一班得分，二班得分，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设一班得分，二班得分，由题意得出： ． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：． 17．判断，是不是二元一次方程组的，的解.以下是小华对本题的解答过程，请判断是否正确，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解：把代入，左边右边， ，是二元一次方程组，的解． 【答案】见详解 【分析】根据二元一次方程组的解的定义可知解答过程不正确，应把分别代入两个方程验证即可. 【详解】解： 小华的解答过程不正确，正确的解答过程如下： 把，代入方程， ∵左边，右边，左边=右边， ∴，是方程的解； 把，代入方程， ∵左边，右边，， ∴不是方程的解 ∴，不是方程的解. 综上所述，不是二元一次方程组的解. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 18．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话：    求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 【答案】甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元， 根据题意得， 解得， 答：甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，得方程组，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为； ∴把代入， 得， 解得； ∵在解方程组时，乙看错了方程组中的b，得解为． ∴把代入， 得， 解得； 则方程组， 则，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 20．某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 【答案】(1)(1)班有48人，2班有56人 (2)的值为9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用等知识点， (1)设(1)班有x人，2班有y人，根据总人数为104人，共花费1240元购票，列方程组求解； (2)根据题意，列出方程求解的值即可； 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】（1）解：设(1)班有x人，2班有y人， 由题意得，， 解得：， 答：(1)班有48人，2班有56人； （2）解：由题意得，， 解得：， 即的值为9． 21．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据题目给出的示例，用换元法解二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设，即可得到，解方程组即可求解； （2）设，则原方程组化为，解方程组即可求解； （3）设，则原方程组化为，，根据已知，可得，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则原方程组化为， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：设， 则原方程组化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：设， 则原方程组化为， 整理得， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴． 23．【方法感语】 阅读材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4，则或． 【归纳】 若点A，B表示的数分别是则或． 【知识迁移】 （1）若点A表示的数是最大的负整数，点B表示的数为b，且，则___________． （2）如图2，点A，B表示的数分别是，若把AB向左平移个单位长度，则点A与数重合，若把AB向右平移个单位长度，则点B与70重合，___________，___________． 【拓展应用】 （3）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，123岁了，哈哈！”小红纳闷，爷爷现在到底是多少岁？小红现在又是几岁？请写出解题思路． 【答案】（1）1或；（2）；（3）爷爷现在的年龄是67岁，小红现在的年龄是11岁 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和解二元一次方程组， 根据题意得到a，结合已知得距离即可求得b的值； 根据题列出关系式，化简解二元一次方程组即可； 根据题意先求得年龄差，进一步求的各自的年龄即可． 【详解】解：（1）∵点A表示的数是最大的负整数， ∴， ∵点B表示的数为b，且， ∴，化简得，，解得或， 故答案为：1或． （2）∵， ∴解得 故答案为：． （3）如图． 由题意得，爷爷比小红大（岁）， 所以小红的年龄为（岁）， 所以爷爷的年龄为（岁）． 答：爷爷现在的年龄是67岁，小红现在的年龄是11岁． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$