云南省昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试题

秘密★启用前 【考试时间：1月20日　15∶00—17∶00】 昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则 A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．某次测试成绩，记成绩分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为 参考数据：若，则，. A． B． C． D． 5．已知函数（），实数，满足，，则 A． B． C． D． 6．已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是 A． B． C． D． 7．已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球的球面上，若圆锥的母线与球的半径之比为，则圆锥与球的体积之比等于 A． B． C． D． 8．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”． 下列几何体可以“一笔画”的是 A B C D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 A． B． C． D． 10．已知函数，则 A．图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在单调递减 D．图象恒在轴的上方 11．“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线，其形态极像“四叶草”，设为坐标原点，为上异于原点的一点，过点作直线的垂线交坐标轴于，两点，则 A．有4条对称轴 B．围成的面积大于 C． D．△的面积最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足，则实数 ． 13．围棋是世界上最古老的棋类游戏之一‌．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有枚黑色棋子和枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的概率为 ． 14．已知函数，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设△面积为，若恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，求的周长． 16．（15分） 已知抛物线的焦点为，直线过与交于，两点，为坐标原点，直线交的准线于点． （1）当的倾斜角为时，求； （2）求直线的斜率； （3）若，，，四点共圆，求该圆的半径． 17．（15分） 如图，四棱台的底面为正方形，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若侧面为等腰梯形，. （i）证明：平面平面； （ii）求平面和平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知函数（）． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性． 19．（17分） 已知数列，，，是的前项和. （1）证明：数列为等差数列； （2）求； （3）若，记数列的前项和为，证明：． 参考数据：. 数学试卷·第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试 数学参考答案及评分标准 一、单选题；二、多选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A D B B A C C ABC ABD ACD 三、填空题 12．1 13． 14．1 四、解答题 15．（1）由正弦定理及二倍角公式得， 因为，所以，，故，所以． …5分 （2）由得， 由余弦定理得， 所以，故， 所以周长为． ……………………………………13分 16．解：（1）由题意知，抛物线焦点坐标为，直线的方程为， 联立，则，所以，， 所以 . ………………5分 （2）设直线的方程为，，，联立，，所以，，所以， 直线方程为，所以点的纵坐标为， 所以，直线的斜率为0. …………………………10分 （3）由题意知，，，，，不妨设在第一象限， 因为，，，四点共圆，直线平行轴，故可设圆心坐标为，圆半径为，，即，所以，， 解得，故，所以. …………15分 17．解：（1）证明：取中点为，连结，，由为的中点得， 在四棱台中，由已知得，所以， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面． ………………………4分 （2）（i）因为，所以， 所以，即，又，， 所以平面， 由平面，故平面平面. …………………9分 （ii）过点作直线平面，以为坐标原点建立如图坐标系， 不妨设，则，四棱台的高为， ，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则由得 令得平面的一个法向量为， 同理得平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． ………………………15分 18．解：（1）时，，定义域为， ，由得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，无极大值，极小值为. ……………… 6分 （2） ①当时，，， 若，，，单调递增， 若，，，单调递减； ②当时，，，， ， 若，，，，单调递增， 若，，，，单调递减， 若，，，，单调递增； ③当时，，在上单调递增； ④当时，，，， 若，，，，单调递增， 若，，，，单调递减， 若，，，，单调递增； ⑤当时，， 若，，，单调递减， 若，，，单调递增. ……………17分 19．解：（1）由题，得； 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. ………4分 （2）由（1）可知，故. ， 则， 两式相减得， ， 所以. ………………………………………………………8分 （3）由（2）可知 所以数列中的奇数项（）， 偶数项，（），. 由于，则，所以，则， 所以. 由于 . 构造函数，， 所以，则在上单调递减. 所以当时，则， 即任意，，即在恒成立. 令，，则，即，， 所以，，，. 以上各式相加得， ， 即. 所以. ……………17分 数学参考答案及评分标准·第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$