吉林省长春市东北师范大学附属中学等五校2024-2025学年高三上学期期末数学试题

东北师大附中 长春十一高中 2025届高三联合模拟考试 吉林一中 四平一中 数学科试题 松原实验中学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.的+i8的共轭复数为() A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2.若集合4=an行-水0xeN 集合B={xx2-5x-6<0,则A∩B的非空真子集个 数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知向量a=(1,m),方=(m,4),满足ai=,则实数m=() A.2 B.-2 C.2 D.0 4.已知一组数据x,为，8是公差为-1的等差数列，若去掉首末两项x,x8后，则(1 A.平均数变大B.中位数没变 C.方差变大 D.极差没变 5.已知动点P到定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为4，直线1：y=k(x+1)-2与动点P的轨迹有 交点，则实数k的取值范围为() A[2 B[子2c.(m2导树D.(2网 ，则 5-cos'a 的最大值为() tanB B. C.-25 D.-5 10 2025届高三联合模拟考试到 7.已知菱形ABCD的边长为2V3,∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于O,以BD为折痕把△ABD 折起，使点A到达点A的位置，使∠AOC=120°，若点A,B,C,D都在同一球面上，则该球的表 面积为（) A.36元 B.20元 C.24π D.28π 8.已知指数函数f(x)=a,若f(f(x)=x有且只有两个不等根，则a的取值范围是() A.(0,e B.[e, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)+2y=f(x)+fy),f()=2,则 A.f(0)=0 B.f(-2)=-10 C.y=f(x)+x是奇函数 D.y=f(x)-x是偶函数 10.已知曲线C:H+y=1,则( 4 A,曲线C关于原点对称 B.曲线C上任意点P满足OP≥1(O为坐标原点) C.曲线C与x2-4y2=0有且仅有两个公共点 D.曲线C上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点） 数学科试卷第1页（共2页） 1.设a,6为两个正数，定义a,b的算术平均数为4a,6)=生，几何平均数为 G(a,b)=√ab,上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”， 即L,(a,)=。+,其中P为有理数则下列结论正确的是() A.Los(a,b)≤L(a,b) B.L(a,b)≤G(a,b) C.L(a,b)≤A(a,b) D.L(a,b)sL(a,b) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.二项式0-3x)”=a,+ax+…+a,x,若a+a+…+a=1024,则4= 知数列a也，满足4马，+6，=山61色neN,则bs= 13.1 14已知双曲线C:号号-a>0b>)的左焦点为R,点M,N在右支上且关于x轴对称， △FMN为正三角形，o为坐标原点，且OM⊥NF,则双曲线的离心率e为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在△4BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,若sin4,sinB,sinC成等差数列，且cosC= 3 ()求的值： (2)若c=11,求△ABC的面积. 16.已知曲线f(x)=e(ax+1)在x=1处的切线方程为y=bx-e. (1)求a,b: (2)若函数g(x)=f(x)-3e-m有两个零点，求实数m的取值范围. 2025届高三联合模拟考试数 17.如图，三棱锥P-ABC中，CP=CA=CB,平面PAC⊥平面ABC, 平面PBC⊥平面ABC. (1)证明：PC⊥平面ABC; B (2)若∠ACB为钝角，且二面角B-PA-C的大小为45°，求cos∠ACB. 18.在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X,Y,定 义协方差为Cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]}将号码分别为1,2,3,4的4个小球等可 能地放入号码分别为1,2,3,4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球. (1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率； (2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X,不同的个数为Y,求证：Cov(X,Y)<0: 3)结合实例，解释协方差的实际含义. 19.已知△F05的两个顶点E(-5,0),E(V5,0,点G为△FQE的重心，边0R,05上的 两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程： 2)若点P是曲线E上的任意一点，A(-2,0),B(2,0),C2,V2),D(-2,V2),直线PC,PD 与x轴分别交于点M,N. ①求MW的最大值： ②判断AM+BW是否为定值.若为定值，求出该定值：若不为定值，求出它的最大值. 学科试卷第2页（共2页) 五校联考答案 一、单选题 1． A 2． B 3． A 4． B 5． C 6． C 7．D 8． C 二、多选题 9． ABC 10．BC 11． AB 三、填空题 12． -270 13． 14. 四、解答题 【解】因为成等差数列，所以 —————1分 由正弦定理得即 —————3分 又因为根据余弦定理有： 所以 —————6分 因为根据余弦定理有： —————8分 由知，所以 得，即a=9 —————10分 由得， —————11分 所以的面积 —————13分 16． 【解】（1），， —————2分 所以,解得. ———6分 （2），函数有两个零点， 等价于曲线与直线有两个交点， ———7分 ， —————9分 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， —————12分 又时，且， 时，，的值域为 结合函数的图像可得实数m的取值范围为． —15分 17．【解】 （1）如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N， ——1分 平面平面ABC，平面平面，平面ABC， 平面PAC， ——3分 又平面PAC，， —4分 同理可证， —5分 又，平面ABC，平面ABC； ———7分 （2）法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ， ——8分 平面ABC，平面ABC，， 又，平面PAC，平面PAC， 则为二面角的平面角，即 ———11分 设，，则，， 所以， 又，所以，所以，由得， 整理得， —13分 又，解得或（舍去）， 综上. —15分 法二：如图，以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CP所在直线为z轴，作与CA、CP垂直的直线为y轴， 建立空间直角坐标系， ——8分 设，，则，，，， 易知平面PAC的法向量为， —————9分 设面PAB的法向量为， 则， ， ———11分 则， 整理得，由， ——13分 得，解得或（舍）， 综上，. ——15分 18. 【解】（1）将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球的所有情况有（种）， ————1分 1号球在2号盒子中时，有种情况，1号球在3或4号盒子中时，有种情况，1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中包含的情况有（种）， ——— 3分 记“1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中”为事件， 则. ———5分 （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，4，且， —6分 ，，，， 故的分布列为 0 1 2 4 ——9分 所以，. ————10分 解法一：因为， 所以， ————11分 令，则的分布列为 0 则. ————13分 解法二： 因为，所以时，，时，， 则， 时，，则， 时，，则， 故. ———11分 . ———13分 （3）令， 可知当时，和同时大于或同时小于各自的数学期望； 当时，和相对于各自数学期望的大小情况相反. 因此，刻画了和之间的变化趋势： ———15分 如果，表示和的变化趋势相同；如果，和的变化趋势相反. 在第（2）问中，表示“所放小球号码与盒子号码相同”的个码与盒子号码不同”的个数的变化趋势相反，与实际情况相吻合. ————17分 19．【解】（1）由题意得，且，故，故点的轨迹为以，的焦点的椭圆（除去两个与轴的两个交点）， ————3分 其中，解得，故， 故曲线E的方程为； （不标注范围扣1分） ———5分 （2）①设，，则， 则直线PC方程为， 令得， 直线PD方程为， 令得， —7分 则， ——9分 因为，所以， 故当时，， ——11分 ②为定值，理由如下： ——13分 ——15分 因为，所以， 故. ———17分 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$