2025年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（四）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题（四） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则它的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 5．设，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知正项数列，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．存在有理数a，对任意正整数m，都有 B．对于任意有理数a，存在正整数m，使得 C．存在无理数a与正整数m，使得 D．对于任意无理数a，存在正整数m，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（    ） A．6 B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中第项的系数为 D．展开式中含项的系数为 10．在中，内角，，的对边分别为，，，，边上的中线，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的最大值为30° 11．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，且平面平面，连接、，则下列结论中正确的是（    ） A．平面面 B．三棱锥外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．若在线段上，则异面直线与所成角的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．幂函数是偶函数，且在上单调递增，则= . 13．在中，，，则面积的最大值为 . 14．已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，侧面底面为中点，. (1)求证：； (2)已知，求二面角的余弦值. 16．（本题满分15分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求零点的个数． 17．（本题满分15分） 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式.上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝，上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式. （1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列； （2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式—全概率公式.其特殊情况如下：如果事件，相互对立并且，则对任一事件B有.设表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率. ①用表示； ②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由. 18．（本题满分17分） 已知为双曲线的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且. (1)求双曲线的方程； (2)设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足.求直线的斜率； (3)过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明：. 19．（本题满分17分） 若函数的定义域为全体正整数集合，则称：或，为数列，简记为，数列中的每一项即为.我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭.其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去.第一天截下，第二天截下，第天截下...不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0.我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为. (1)已知数列，，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比. (2)设数列满足，且，证明：. (3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”.问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”. 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题（四）参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.B 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.D 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. BD 10. ACD 11. ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.16 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15.(13分) （1）因为，为中点， 所以， 又因为面面，面面，面， 所以平面， 又平面，所以； （2）取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，为的中点， 所以， 又平面， 所以平面， 又，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 由，得， 则， 则， 因为平面， 所以即为平面的一条法向量， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则， 由图可知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 16.(15分) （1）因为，， 所以，，， 所以切线方程为，即. （2），当，，， 所以，即在上单调递减， 令，， 当时，，在上单调递减，即在上单调递减； 又因为，当时，即在单调递增， 因此在单调递增，在单调递减． 当时，，；，因为在单调递增， 所以根据零点存在定理，在有唯一零点； 令，， 当时，，单调递增，且， 当时，，单调递减； 所以，即， 所以， 所以， 又因为在单调递减，根据零点存在定理在有唯一零点． 综上，在上有2个零点． 17.（15分） （1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，则， ，， 由已知随机变量X的可能取值为1，2，3； ； ； . 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P （2）①设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知. 所以. ②由①知，， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，. 因为恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召. 18.（17分） （1）由渐近线为，则，即， 则双曲线方程为，， 令，则， 又在轴上方，则，，， 所以双曲线方程为； （2） 由（1）得， 设直线，， 联立直线与双曲线，则， ，即， 且，， 又，， 且， 则， 化简可得， 即或， 当，直线， 直线过点，不成立， 综上所述，； （3） 当直线斜率存在时，设直线，，， 易知直线与圆相切， 则，即， 联立直线与双曲线，得， ，即， 且，， 则，， 即 ， 即； 当直线斜率不存在时，直线或， 当方程为时，，， 此时，， 同理当方程为时，； 综上所述恒成立， 即为直角三角形，且为中点， 则. 19.（17分） （1）证明：构造等比数列 设常数满足：数列， 则常数满足如下条件：， 由韦达定理知，常数为方程的两个根，不妨令， 当时，有，即， 上式共个式子，累乘得， 将直到按照上述递推关系式进行展开有 可见是首项为，公比为，末项为的等比数列， 根据等比数列通项公式有， 将常数代入得， 当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比. （2）证明：数列满足，且， ， 数列单调递增，所以， 即，根据数列极限定义可知， 若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，. （3）证明：当时，，， 当，，且， 都有，则此时不是“柯西列”. 当时，，， 对任意给定的，存在，使得，且， 都有，则为“柯西列”. 学科网（北京）股份有限公司 $$