第01讲 认识概率（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第01讲 认识概率 【题型1 事件类型】 【题型2 可能性大小】 【题型3 求事件的频率】 【题型4 用频率估计概率】 【题型5 用频率估计概率的综合应用】 考点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明： （1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1 事件类型】 【典例1】（24-25八年级上·北京房山·期末）下列事件为必然事件的是（   ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为、、的三条线段可以组成一个直角三角形 【变式1-1】（24-25八年级上·北京顺义·期末）下列事件中，属于随机事件的是（） A．哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D．三角形的两边之和小于第三边 【变式1-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，“硬币落地时正面朝上”是随机事件 B．个人分成两组，每组至少人，“一定有个人分在同一组”是不可能事件 C．任意打开九年级上册数学教科书，“正好是第页”是必然事件 D．某种彩票的中奖率为，则买张彩票一定有张中奖 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆万州·期末）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．鱼戏莲叶东 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 【题型2 可能性大小】 【典例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是（   ） A．号 B．号 C．号 D．号 【变式2-1】（24-25八年级上·北京顺义·期末）春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”） 考点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 考点3：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 考点4：利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 【题型3 求事件的频率】 【典例3】（2024·北京昌平·二模）年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【变式3-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在整数中，数字“”出现的频率是 ． 【变式3-2】（2024八年级下·全国·专题练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【题型4 用频率估计概率】 【典例4】【（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数n 20 40 100 200 400 100015 优等品数m 15 33 78 158 321 801 优等品率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率是 （精确到0.1）． 【变式4-3】（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【题型5 用频率估计概率的综合应用】 【典例5】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 【变式5-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的_____，_____； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____；（精确到） (3)如果箱子中一共有个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 【变式5-2】（22-23八年级下·江苏连云港·期中）下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【变式5-3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 1．（24-25九年级上·吉林松原·期末）下列事件属于随机事件的是（   ） A．地球绕着太阳转 B．煮熟的鸭子飞走了 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．一匹马奔跑的速度是800米/秒 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（    ） A．水落石出 B．水中捞月 C．水涨船高 D．水到渠成 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是（    ） A．C（哆）音符 B．D（来）音符 C．E（咪）音符 D．以上都不对 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山东济南·期末）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 7．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于随机事件的布袋是 （填写布袋对应的序号）． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）一个不透明的盒子中装有红、蓝两种颜色的小球若干个（小球除颜色外，其余均相同）．小慧随机从盒中摸球，每次摸出1个球，记录颜色后放回，共30次，其中摸出红球8次，蓝球22次．根据数据推测，盒子里 球可能多一些．（填“红”或“蓝”） 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在 色区域的可能性最大． 10．（23-24七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的盒子里装有若干个大小、材质都相同的小球(黑白两色)，把盒子里的小球搅匀，从中随机摸出一个小球并记下颜色，再放回盒子中，不断重复上述操作，整理数据，制作出“摸出黑球的频率”与“摸球总次数”的关系图象如图所示，可以推断，这个盒子中黑球的数量约占小球总数量的 ． 11．（23-24七年级下·山东威海·期末）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格． (1)从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是 ； (2)机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，求x的值大约是多少． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 认识概率 【题型1 事件类型】 【题型2 可能性大小】 【题型3 求事件的频率】 【题型4 用频率估计概率】 【题型5 用频率估计概率的综合应用】 考点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明： （1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1 事件类型】 【典例1】（24-25八年级上·北京房山·期末）下列事件为必然事件的是（   ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为、、的三条线段可以组成一个直角三角形 【答案】D 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义结合具体的情景逐项进行判断即可． 本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 【详解】解：A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； B．班级里有同年同月同日出生的同学，是随机事件，不符合题意； C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，不符合题意； D．∵， ∴三条线段可以组成一个直角三角形，是必然事件，符合题意． 故选D． 【变式1-1】（24-25八年级上·北京顺义·期末）下列事件中，属于随机事件的是（） A．哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D．三角形的两边之和小于第三边 【答案】B 【分析】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可． 【详解】解：哥哥的年龄比弟弟的年龄大是必然事件，则A不符合题意； 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，则B符合题意； 6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球是必然事件，则C不符合题意； 三角形的两边之和小于第三边是不可能事件，则D不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，“硬币落地时正面朝上”是随机事件 B．个人分成两组，每组至少人，“一定有个人分在同一组”是不可能事件 C．任意打开九年级上册数学教科书，“正好是第页”是必然事件 D．某种彩票的中奖率为，则买张彩票一定有张中奖 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，解决本题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念； 必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件； 【详解】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，“硬币落地时正面朝上”是随机事件，该选项正确； B.、个人分成两组，每组至少人，“一定有个人分在同一组”是必然事件，故该选项错误； C、任意打开九年级上册数学教科书，“正好是第页”是随机事件，故该选项错误； D、某种彩票的中奖率为，则买张彩票有可能中奖，也有可能不中奖，故该选项错误； 故选：A 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆万州·期末）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．鱼戏莲叶东 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 【答案】C 【分析】本题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、是随机事件，故不符合题意； B、是随机事件，故不符合题意； C、是不可能事件，故符合题意； D、是必然事件，故不符合题意； 故选：C． 【题型2 可能性大小】 【典例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是（   ） A．号 B．号 C．号 D．号 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小．比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角为， ∴数字3对应扇形圆心角度数最大， ∴指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是3号， 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级上·北京顺义·期末）春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法与运用．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：该消费者中奖的可能性是， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”） 【答案】黄 【分析】本题考查的知识点是可能性的大小，根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵遇到红灯的概率＝＝； 遇到绿灯的概率＝＝； 遇到黄灯的概率＝＝， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：黄． 考点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 考点3：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 考点4：利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 【题型3 求事件的频率】 【典例3】（2024·北京昌平·二模）年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在整数中，数字“”出现的频率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 根据整数可知共有8种等可能结果，出现0的有两种，根据频率等于可能出现的结果除以总的结果即可求解． 【详解】解：整数中有8位数字，共有8种等可能结果，出现0的结果有2中， ∴0出现的频率为， 故答案为： ． 【变式3-2】（2024八年级下·全国·专题练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【题型4 用频率估计概率】 【典例4】【（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可． 【详解】解：， 即估计此二维码黑色阴影部分的面积为； 故答案为：． 【变式4-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．分析表格频率特点是关键． 根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，对表格进行分析即可解答． 【详解】观察发现，随着试验次数的增多，钉尖朝上的频率逐渐稳定到常数， 抛一枚这样的图钉落地后钉尖朝上的概率约为． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数n 20 40 100 200 400 100015 优等品数m 15 33 78 158 321 801 优等品率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率是 （精确到0.1）． 【答案】0.8 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．由表中数据可判断频率在0.8左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为0.8． 【详解】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.8附近， 则这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.8， 故答案为：0.8． 【变式4-3】（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 【题型5 用频率估计概率的综合应用】 【典例5】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 【答案】(1)298；0.601 (2)0.60 (3)3个 【分析】本题考查了利用频率估计概率： （1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可； （2）根据频率估计概率计算； （3）由概率的估计值可计算白球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：298；0.601； （2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60； 故答案为：0.60． （3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60， 摸到红球的概率的估计值是0.40， 袋中有红球2个， 球的个数共有：（个）， 袋中白球的个数为（个）． 【变式5-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的_____，_____； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____；（精确到） (3)如果箱子中一共有个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 【答案】(1)； (2) (3)个 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出白球的个数，即可得到其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）（个）， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键是掌握利用频率估计概率的意义． 【变式5-2】（22-23八年级下·江苏连云港·期中）下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，0.951 (2) (3) 【分析】（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可； （2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； （3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树=幼苗棵树×概率可得出结论． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：，， 故答案为：，． （2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； ∴这种种子在此条件下发芽的概率约为． （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗棵，需要准备（粒）种子进行发芽培育． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 【变式5-3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①估计这批花卉成活18000棵：②估计还需要移植280000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9； （2）解：①估计这批花卉成活的棵数为： （棵）； ②估计还需要移植：（棵）． 1．（24-25九年级上·吉林松原·期末）下列事件属于随机事件的是（   ） A．地球绕着太阳转 B．煮熟的鸭子飞走了 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．一匹马奔跑的速度是800米/秒 【答案】C 【分析】该题主要考查了事件得分类，解题的关键是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A．地球绕着太阳转，是必然事件； B．煮熟的鸭子飞走了，是不可能事件； C．掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件； D．一匹马奔跑的速度是800米/秒，是不可能事件， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（    ） A．水落石出 B．水中捞月 C．水涨船高 D．水到渠成 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，逐项判断即可． 【详解】解：A、水落石出，是必然事件，故不符合题意； B．水中捞月，是不可能事件，故符合题意； C．水涨船高，是必然事件，故不符合题意； D．水到渠成，是必然事件，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是（    ） A．C（哆）音符 B．D（来）音符 C．E（咪）音符 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的可能性的大小，根据3种卡片的数量可得D（来）音符数量最多，进而求解即可． 【详解】解：∵C（哆）音符有3张，D（来）音符有4张，E（咪）音符有3张， ∴D（来）音符数量最多 ∴抽到的卡片可能性更大的是D（来）音符． 故选：B． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可求解． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是． 故选：B． 6．（23-24七年级下·山东济南·期末）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 【答案】D 【分析】本题考查频率与概率，掌握大量重复实验下的频率即为概率是解题的关键． 【详解】A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率约为，不符合题意； B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率为，不符合题意； C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率为，不符合题意； D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率约为，符合题意； 故选D． 7．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于随机事件的布袋是 （填写布袋对应的序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解题意，并分类分析是解题的关键．根据事件，进行分类分析，即可得解． 【详解】解：①袋中有个白球，没有红球，摸到白球属于必然事件； ②袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ③袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ④袋中有个红球，没有白球，摸到白球属于不可能事件． 故答案为：②③． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）一个不透明的盒子中装有红、蓝两种颜色的小球若干个（小球除颜色外，其余均相同）．小慧随机从盒中摸球，每次摸出1个球，记录颜色后放回，共30次，其中摸出红球8次，蓝球22次．根据数据推测，盒子里 球可能多一些．（填“红”或“蓝”） 【答案】蓝 【分析】本题考查了可能性，掌握可能性大小的判断方法是解题的关键．哪种颜色的球多，摸出的可能性就大．小慧摸出蓝球的次数比红球的多，说明蓝色球比红色球多的可能性比较大．据此解题． 【详解】解：∵，那么盒子里可能蓝球多， ∴盒子里蓝球可能多一些． 故答案为：蓝． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在 色区域的可能性最大． 【答案】蓝 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据转盘中红、黄、蓝区域的个数求解即可． 【详解】解：由题意得，黄色区域占转盘总面积的，红色区域占转盘总面积的，蓝色区域占转盘总面积的，所以指针落在蓝色区域的可能性最大． 故答案为：蓝． 10．（23-24七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的盒子里装有若干个大小、材质都相同的小球(黑白两色)，把盒子里的小球搅匀，从中随机摸出一个小球并记下颜色，再放回盒子中，不断重复上述操作，整理数据，制作出“摸出黑球的频率”与“摸球总次数”的关系图象如图所示，可以推断，这个盒子中黑球的数量约占小球总数量的 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估算概率．掌握概率是频率的稳定值是解题的关键． 利用频率估算概率即可． 【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为， ∴这个盒子中黑球的数量约占小球总数量的， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·山东威海·期末）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格． (1)从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是 ； (2)机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，求x的值大约是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率初步和频率的意义，熟练掌握简单概率的求法和频率的意义是解题的关键． （1）利用4个零件，经检测有3个合格，直接求概率即可； （2）利用频率稳定在，即合格数除以总数等于，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵4个零件，经检测有3个合格， ∴从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：的值大约是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$