第03讲 一元一次不等式与一次函数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第03讲 一元一次不等式与一次函数 【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】 【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】 【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】 【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】 【题型5一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】 考点：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围 【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】 【典例1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数（k、b为常数，且）与x轴，y轴分别交于两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】 【典例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【变式2-1】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【变式2-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【变式2-3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】 【典例3】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线（、为常数，且）经过点和点，直线过点，则关于的不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时，的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】 【典例4】（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【变式4-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，过点的直线与直线交于． (1)求直线对应的表达式． (2)直接写出时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 【变式4-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数 与正比例函数 的图象交于点 M． (1)求正比例函数和一次函数的表达式． (2)根据图象，写出关于x的不等式的解集． (3)求 的面积． 【题型5 一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】 【典例5】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【发现问题】 小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关. 【提出问题】如图，设AB两点的距离为，点所表示的数为，那么是的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点在点A右侧时，距离为，当点B在点A左侧时，距离为；从“数”的角度思考：数轴上的动点x到1的距离可以用函数来表示，可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质. 【解决问题】 （1）画函数的图象 ①补全如表，再描点，连线，绘制函数的图象： x … 0 1 2 3 4 … y … … ②若点在该函数的图象上，则的值为________ （2）仿照画函数的过程，可以画出函数图象，通过图象可以写出不等式的解集为：________ 【拓展延伸】 不等式的解集为：________ 【变式5-1】（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，到达点时停止，设点运动路程为，的面积为（注：三角形的面积不能为0）． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； (3)已知函数，根据图象直接写出当时的取值范围． 【变式5-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究： (1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … 3 3 1 … (2)若为该函数图像上不同的两点，则 ． (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)正比例函数图象与函数的图象有两个交点，那么k的取值范围是 【变式5-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点B为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点B的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关． 【提出问题】如图，设两点的距离为y，点B 所表示的数为x，那么y是x的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：y表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点B在点A右侧时，距离为，当点B在点A左侧时，距离为；从“数”的角度思考：如果y是x的函数，就可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质． 【解决问题】 (1)填空：该函数的解析式为：___________； (2)①补全下表，再描点，连线，绘制函数的图象： x … 0 1 2 3 4 … y … … ②观察图象，请至少写出该函数的两条性质； (3)①若点在该函数的图象上，求a的值； ②依据图象，求不等式的解集． 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与坐标轴交于两点，则时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 4．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 6．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数的图象交轴于点，且与直线都经过点．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，； ③关于的一元一次方程的解为； ④方程组的解为 上述结论中，正确结论的序号有 ． 7．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，函数和的图象交于，两点，当时，的取值范围为 ． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 1 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【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 由一次函数的图象过点，且随的增大而增大，从而得出不等式的解集． 【详解】由一次函数的图象可知，随的增大而增大， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，有． 故选：C． 【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】 【典例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的图象及性质． 先用待定系数法求出该函数解析式，把点代入解析式，即可判断①；该函数图象过点，即当时，，即可判断②；由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方，即可判断③；由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方，即可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点， ∴，解得， ∴该一次函数为， 把点代入函数，得成立， ∴函数图象经过点．故①正确； ∵该函数图象过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为．故②正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方， ∴当时，．故③正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方， ∴当时，．故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：A 【变式2-1】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式等知识点，利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点， ∴当时，，当时，， ∴关于x的方程的解为；关于x的方程的解为；故结论①、结论②正确； 由函数图象可知，当时，；当时，；故结论③正确，结论④错误； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 【变式2-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在轴上方时与轴交点横坐标可判断④正确，综上即可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴，，随的增大而增大，故①②错误， ∵一次函数与轴交于点， ∴关于的一元一次方程的解为，当时，，故③④正确， 故选：B． 【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】 【典例3】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数和的图象相交于点，求出点的坐标，再根据当时， 的图象在的图象的下方，得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵当时， 的图象在的图象的下方， ∴不等式的解集为：， 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线（、为常数，且）经过点和点，直线过点，则关于的不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式之间的联系，根据函数图象即可得到不等式的解集是解题的关键．不等式的解集，指直线落在直线下方时的自变量的取值范围，观察图象即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线落在直线的下方， ∴不等式解集为， 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据函数图象，求不等式的解集，掌握一元一次不等式与函数图象的关系是解决此题的关键． 利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：在点右侧图象符合，且点的横坐标为， ∴若不等式，则． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与一元一次不等式的关系是解题的关键．先利用正比例函数确定点坐标，利用即的图象在的图象下方所对应的自变量的取值范围，观察图象即可得到答案． 【详解】解：把代入， 得， 解得：， 故， ∵即的图象在的图象下方所对应的自变量的取值范围， 结合图象得当时，， 则不等式的解集为． 故答案为：． 【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】 【典例4】（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，根据两直线的交点求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得到答案； （2）先求出点坐标，然后利用三角形面积公式解题即可； （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：把点  代入，则 ， 解得 ， 所以，直线m对应的函数表达式为； （2）把代入，则 ， 解得 ， 则， ∴， ∴， 答：的面积为18； （3）由图象可知：不等式的解集为． 【变式4-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为10； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键． （1）由直线求得P的坐标，代入即可得到结论； （2）由直线的解析式求得B、C的坐标，由直线求得A的坐标，然后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得到结论； （3）利用图象直接得出结论． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：把代入，得： ，解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 过P点作轴于H，如下图所示： ∴四边形的面积为 ； （3）解：∵， ∴由图象知：不等式的解集为． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，过点的直线与直线交于． (1)求直线对应的表达式． (2)直接写出时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再利用点的坐标和点的坐标可求直线的解析式； （2）根据不等式的解集为直线在直线的下方所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）根据可得结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的表达式； （2）由函数图象可知：当时，直线在直线的下方， ∴时，的取值范围为； （3）∵直线与轴相交于点，与轴相交于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查两条直线相交问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积．利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【变式4-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数 与正比例函数 的图象交于点 M． (1)求正比例函数和一次函数的表达式． (2)根据图象，写出关于x的不等式的解集． (3)求 的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，正比例函数解析式为 (2) (3)1 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后根据待定系数法求出正比例函数解析式； （2）结合图象写出正比例函数图象在直线的上方所对应的自变量的范围即可； （3）先利用一次函数解析式求出P点坐标，然后利用三角形面积公式． 【详解】（1）解：∵经过和， ∴ 解得， ∴一次函数表达式为． ∵ 点 M 在该一次函数图象上， ∴，则M点坐标为， 又∵M在函数图象上， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：由图象可知，时，． （3）解：当时，，解得，则， 所以，． 【题型5 一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】 【典例5】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【发现问题】 小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关. 【提出问题】如图，设AB两点的距离为，点所表示的数为，那么是的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点在点A右侧时，距离为，当点B在点A左侧时，距离为；从“数”的角度思考：数轴上的动点x到1的距离可以用函数来表示，可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质. 【解决问题】 （1）画函数的图象 ①补全如表，再描点，连线，绘制函数的图象： x … 0 1 2 3 4 … y … … ②若点在该函数的图象上，则的值为________ （2）仿照画函数的过程，可以画出函数图象，通过图象可以写出不等式的解集为：________ 【拓展延伸】 不等式的解集为：________ 【答案】（1）①见解析；②7或（2）画图象见解析，或；【拓展延伸】或 【分析】本题主要考查一次函数．熟练掌握分段函数性质，描点法图函数图象，图象法解绝对值方程、解不等式，是解题的关键． （1）①列表、描点、连线，绘图即可；②结合图像解方程即可； （2）画出函数与的图象，根据两函数图象交点，确定不等式的解集； 拓展延伸：在平面直角坐标系中画出函数，的图象，结合两函数图象交点，确定不等式的解集． 【详解】解：（1）①填表：填入表中的x，y的部分对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 … 描点，连线：得到的图象； ②∵， ∴， ∴， ∴，或， ∴，或； 故答案为：7或； （2）列表：的x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … 的x，y的部分对应值： x … 0 … y … 0 1 … 在同一平面直角坐标系中描点，连线： 得到的图象，的图象； 当时，， 有， ∴，； 当时，， 有， ∴，； ∴函数与交于， ∴由图象看出，不等式的解集为或； 故答案为：或； 拓展延伸： 设，， 在同一平面直角坐标系中作出，的图象， 两函数图象相交于两点， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 【变式5-1】（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，到达点时停止，设点运动路程为，的面积为（注：三角形的面积不能为0）． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； (3)已知函数，根据图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，当时，y随着x的增大而增大．（任写一条性质即可） (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，一次函数一次函数图象和性质，读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意分类讨论：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时； （2）根据函数解析式描点作出函数图象，再写出一条性质即可； （3）先求出两函数的交点坐标，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当点P在边上运动，即时，， ∴； 当点P在边上运动，即时，， ∴， ∴； 综上，． （2）解：如图所示函数图象即为所求； 性质：当时，y随着x的增大而增大．（任写一条性质即可）； （3）解：联立，解得， ∴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，的函数图象在的函数图象上方，即此时。 【变式5-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究： (1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … 3 3 1 … (2)若为该函数图像上不同的两点，则 ． (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)正比例函数图象与函数的图象有两个交点，那么k的取值范围是 【答案】(1)1，5，表格见解析 (2) (3)或； (4)或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）利用函数关系式求出函数值，补全表格，再作出函数图象即可； （2）把代入即可得到答案； （3）根据图象即可得到答案； （4）画出函数和的图象，根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 表格如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 3 5 3 1 … 函数的图象如图所示， （2）把代入得到，， 故答案为： （3）解：由图象可得：当时，自变量x的取值范围是或； 故答案为：或 （4）当时，， 当直线与平行时，即时，正比例函数图象与函数的图象有1个交点， 当时，， 当直线与平行时，即时，正比例函数图象与函数的图象有1个交点， ∴由图象可知，当或时，正比例函数图象与函数的图象有两个交点， 故答案为：或 【变式5-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点B为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点B的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关． 【提出问题】如图，设两点的距离为y，点B 所表示的数为x，那么y是x的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：y表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点B在点A右侧时，距离为，当点B在点A左侧时，距离为；从“数”的角度思考：如果y是x的函数，就可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质． 【解决问题】 (1)填空：该函数的解析式为：___________； (2)①补全下表，再描点，连线，绘制函数的图象： x … 0 1 2 3 4 … y … … ②观察图象，请至少写出该函数的两条性质； (3)①若点在该函数的图象上，求a的值； ②依据图象，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)①见解析；②函数关于直线对称；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；y的最小值0 (3)①或；② 【分析】本题主要考查一次函数的性质，涉及求函数解析式、描点绘图、解绝对值方程和数形结合解不等式，解题的关键是数量掌握绝对值的意义和数形结合思想的应用． 根据题意给定的距离表达式，结合绝对值的意义即可求得答案； ①将给定的点代入求得对应的函数值，利用描点法绘图即可；②结合图像得出其性质即可； ①根据题意得，利用绝对值的意义解方程即可；②在（1）中的平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合（1）可得可能得范围，联立方程即可求得交点，结合图像即可求得x的范围． 【详解】（1）解：根据题意得，当点B在点A右侧时，即时，距离为，当点B在点A左侧时，即时，距离为，则； 故答案为：； （2）解：① x 0 1 2 3 4 5 … y 3 2 1 0 1 2 3 4 … ②函数关于直线对称； 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小； y的最小值0； （3）①点在该函数的图象上 或 ②在（1）中的平面直角坐标系中，画出函数的图象． 当时，由图象可知直线在直线的上方，因此不存在使的x值． 当时，由图象可知，存在使成立的x值． 设直线与的交点为B． 解方程组 解得， ∴点 当时， 的解集为． 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与坐标轴交于两点，则时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象得出一次函数交x轴于点，根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知：一次函数的图象交x轴于点， ∴函数值时，x的取值范围是：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，掌握一次函数与不等式之间的关系是关键． 【详解】解：∵直线经过点和点，直线过点， ∴点是直线与直线的交点， ∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时，则的取值范围为， 不等式的解集为， 故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线与直线相交于点即可判断选项A；由图象可得的解集为，由图象可得的解集为，即可判断选项B；求出的解集是，当时，，即可判断选项C；由图象可得方程组的解为，即可判断选项D． 【详解】解：A．由图象可得直线与直线相交于点， ∴方程的解是， 故选项错误，不符合题意； B．由图象可得的解集为， 由图象可得的解集为， ∴不等式和不等式的解集不相同， 故选项错误，不符合题意； C．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 由图象可知，的解集是， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴当时，， ∴不等式组的解集是， 故选项正确，符合题意； D．∵直线与直线相交于点P， ∴方程组的解为， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键． 一次函数的图象经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 当时，， 所以，关于的不等式的解集为， 故选：D． 5．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 6．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数的图象交轴于点，且与直线都经过点．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，； ③关于的一元一次方程的解为； ④方程组的解为 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一元一次方程和不等式之间的关系，求出当时，，再结合函数图象即可判断①；根据函数图象即可判断②；根据一次函数与一元一次方程之间的关系即可判断③；据一次函数与二元一次方程组之间的关系即可判断④． 【详解】解：在中，当时，， ∴由函数图象可知，当时，，故①说法错误； 由函数图象可知，当时，，故②说法正确； ∵一次函数经过， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数的图象交轴于点， ∴关于的一元一次方程的解为，故③说法正确； ∵直线和都经过点， ∴方程组的解为，故④正确； ∴正确的有②③④， 故答案为：②③④． 7．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，函数和的图象交于，两点，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，一次函数的性质，灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据函数和的图象的交点、结合图象解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据函数图象直接得出的解集即可； （3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）解：当时，，解得， ∴， 根据函数图象可知，不等式的解集是：． 故答案为：； （3）解：联立， 解得：， ∴点D的坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时点P的坐标为； 当时，，此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$