黄金卷03（福建专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D C B B B D C 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11． 12．/0.5 13．甲 14． 15．/ 16．或23 3、 解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17． 【详解】解：原式 ． 18．【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19．【详解】证明：∵和相交于点， ∴． 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴． 20． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 21． 【详解】（1）解：∵，，直线垂直平分， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵A点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知，， 连接， ∵垂直平分线段， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意；点为两点的中点，即，即， 将代入解析式可得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则． ∴． 22． 【详解】（1）解：根据题意可得，从中随机摸出一个小球，求能获奖的概率为； （2）选择方案2对顾客更合算．理由如下： 列表如下：     1 2 3 4 1 2 3 4 由（1）中表格，两球数字之和的各种情况对应的概率如下： 数字之和 3 4 5 6 7 获奖金额（元 20 0 30 40 0 相应的概率 方案1中摸球一次平均获得购物券金额为： （元）， 方案2中摸球一次平均获得购物券金额为： （元）； ∵, ∴选择方案1对顾客更合算． 23． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵、分别与相切于点A、B， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过B作于E， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， 在中，． 24． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：30； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 由折叠得性质得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点Q在点F的下方时， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∴， 即， 解得， ∴； 当点Q在点F上方时，如图所示， ∵ ∴． ∵同上得， 设， ∴， 即， 解得， ∴． 综上所述，或． 25． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， ∴， 解得， ∴抛物线， 令，则，； （2）解：①∵点在抛物线上，设点的横坐标为， ∴， ∴的中点的坐标为， 设，则， ； 同理可得，的坐标为， ∴； 的坐标为， ∴； ……， ∴的坐标为， ； 若直线与函数有两个交点，与函数有两个交点时，共有4个交点， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ……， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 2．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功将三名宇航员送到空间站，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图中所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，在的延长线上取点D，过点D作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，C，D是圆上的两点．若，，则的长为（　　） A． B．8 C． D． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 8．为了贯彻落实《教育部办公厅关于举办第八届全国学生“学宪法 讲宪法”活动的通知》精神，某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（   ） A．平均数为81分 B．众数为85分 C．中位数为88分 D．方差为0 9．如图，在中，，E是角平分线延长线上一动点（不与F的重合），过E点作于D点，当E点运动时的度数（   ） A．随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B．度数不变，为 C．随E点运动而变化，离F点越远，度数远大 D．度数不变，为 10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．如里零上记作，那么零下3℃记作 ． 12．如图，在平行四边形中，点E是边上的中点，交对角线于点F，则 ． 13．某职业足球队要选拔球员，甲，乙两位球员的三项考核成绩如下表： 盘带速度 射门力量 体能 甲 85 80 90 乙 80 85 90 三项成绩分别以的比例记入总成绩，则按照总成绩，选拔的球员应是 ． 14．如图，点为轴上一点，点C在函数的图象上，轴切于点．若、、三点恰好在同一直线上，的面积为，则的值为 ． 15．小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形的边长为8，则图2中的值是 ． 16．鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为 米．（参考数据： ）        3、 解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．解不等式组： 19．如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：． 20．先化简、再求值：，其中． 21．如图，中，，，反比例函数的图象经过点A．直线垂直平分，交于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，， (1)求点A的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点E的坐标． 22．某商场开展购物有奖活动，顾客每购物满100元获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同． 方案一：从中随机摸出一个小球，这个球所标数字与奖励的购物券金额的对应关系如下： 摸一个球所标数字 1 2 3 4 奖励的购物金额(元) 0 0 90 0 方案二：摇匀后先后（不放回）从中随机摸出两个小球，两球所标数字之和与奖励的购物券金额的对应关系如下： 摸两球所标数字之和 3 4 5 6 7 奖励的购物金额(元) 20 0 30 40 0 (1)在方案1中，从中随机摸出一个小球，求能获奖的概率； (2)利用统计和概率知识作出判断：选择哪一种方案对顾客更合算，请说明理由． 23．如图，、分别与相切于点A、B，的延长线交于点C，连接，． (1)若，则 ． (2)若，，求的值． 24．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在线段上选一点，并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接， 如图1，当点在上时，则______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点在上的位置（点不与点，重合），当时，求的长． 25．如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点，点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时； ①取的中点，求点运动轨迹的函数的解析式； ②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；则函数的解析式为 （用含n的式子表示）． ③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小的比较方法：（1）在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；（2）①正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；②两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．利用有理数的大小比较方法比较，即可得出最小值． 【详解】解：因为， 故最小的数是， 故选：A． 2．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功将三名宇航员送到空间站，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 3．如图中所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的要用虚线进行表示． 【详解】解：由图可知，左视图为： 故选D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方法则分别判断各个选项即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5．如图，在中，，在的延长线上取点D，过点D作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和定理得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，是的直径，C，D是圆上的两点．若，，则的长为（　　） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理及其推论，解直角三角形相关计算，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟记解直角三角形相关计算是解题的关键．由圆周角定理可知，，然后根据锐角三角函数相关定义求出的长度． 【详解】解：连接， 由圆周角定理得，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 8．为了贯彻落实《教育部办公厅关于举办第八届全国学生“学宪法 讲宪法”活动的通知》精神，某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（   ） A．平均数为81分 B．众数为85分 C．中位数为88分 D．方差为0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差，熟知平均数，众数，中位数和方差的定义是解题的关键． 【详解】解：A、平均数为分，故A不符合题意； B、85分出现了2次，出现的次数最多，故众数为85分，故B符合题意； C、把这7位同学的乘积从低到高排列为：76分，82分，85分，85分，86分，88分，90分，处在最中间的是85分，故中位数是85分，故C不符合题意； D、方差 ，故D不符合题意； 故选：B． 9．如图，在中，，E是角平分线延长线上一动点（不与F的重合），过E点作于D点，当E点运动时的度数（   ） A．随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B．度数不变，为 C．随E点运动而变化，离F点越远，度数远大 D．度数不变，为 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，先求出，根据角平分线的定义得出，得出，过点作，得出，得出当E点运动时的度数不变，为． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴当E点运动时的度数不变，为； 故选：D． 10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．如里零上记作，那么零下3℃记作 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：∵零上记作， 零下记作． 故答案为：． 12．如图，在平行四边形中，点E是边上的中点，交对角线于点F，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到，，再由线段中点的定义得到，最后证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．某职业足球队要选拔球员，甲，乙两位球员的三项考核成绩如下表： 盘带速度 射门力量 体能 甲 85 80 90 乙 80 85 90 三项成绩分别以的比例记入总成绩，则按照总成绩，选拔的球员应是 ． 【答案】甲 【分析】本题考查加权平均数的计算及利用平均数做决策，根据题意，由加权平均数的计算公式求出甲乙的总成绩，比较大小即可得到答案，熟记加权平均数的计算公式是解决问题的关键． 【详解】解：甲的总成绩为； 乙的总成绩为； ， 根据总成绩大小确定选甲， 故答案为：甲． 14．如图，点为轴上一点，点C在函数的图象上，轴切于点．若、、三点恰好在同一直线上，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数点的坐标特征，切线的性质，三角形面积等知识点，构造三角形面积的等式是解题的关键． 根据点在反比例函数上设，表达出三角形的底和高，再利用三角形的面积公式建立等式求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴设， ∵轴切于点， ∴轴， ∴，，则点到的距离为， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：． 15．小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形的边长为8，则图2中的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出②④⑥⑦的高．根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴②的斜边上的高是，④的高是，⑥的斜边上的高是，⑦的斜边上的高是， ∴图2中h的值为． 故答案为：． 16．鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为 米．（参考数据： ）        【答案】或23 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：把实际问题归结为直角三角形中边角关系问题加以解决是解题的关键． 在和中，根据三角函数解答即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在中，米， 在中，，即， 解得：米，或米， ∴米或23米， 故答案为：或23． 3、 解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的运算，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键． 先化简二次根式，计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19．如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用三角形内角和定理得出，再证明，即可得．最后利用“角边角”即可判定． 【详解】证明：∵和相交于点， ∴． 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴． 20．先化简、再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 21．如图，中，，，反比例函数的图象经过点A．直线垂直平分，交于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，， (1)求点A的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、线段垂直平分线的性质、勾股定理． （1）根据，直线垂直平分，求出，利用勾股定理求出，即可得到A点坐标，再将A点坐标代入，求出的值即可解答； （2）连接，由线段垂直平分线的性质结合勾股定理得出，设直线的解析式为，将C点坐标代入求出解析式为，最后求出直线与x轴交点坐标即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：∵，，直线垂直平分， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵A点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知，， 连接， ∵垂直平分线段， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意；点为两点的中点，即，即， 将代入解析式可得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则． ∴． 22．某商场开展购物有奖活动，顾客每购物满100元获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同． 方案一：从中随机摸出一个小球，这个球所标数字与奖励的购物券金额的对应关系如下： 摸一个球所标数字 1 2 3 4 奖励的购物金额(元) 0 0 90 0 方案二：摇匀后先后（不放回）从中随机摸出两个小球，两球所标数字之和与奖励的购物券金额的对应关系如下： 摸两球所标数字之和 3 4 5 6 7 奖励的购物金额(元) 20 0 30 40 0 (1)在方案1中，从中随机摸出一个小球，求能获奖的概率； (2)利用统计和概率知识作出判断：选择哪一种方案对顾客更合算，请说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案1对顾客更合算．理由见解析． 【分析】此题考查了概率公式和列表法求概率、加权平均数等知识． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）利用列表法求出方案2的获奖概率，再求出两个方案摸球一次平均获得购物券金额，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，从中随机摸出一个小球，求能获奖的概率为； （2）选择方案2对顾客更合算．理由如下： 列表如下：     1 2 3 4 1 2 3 4 由（1）中表格，两球数字之和的各种情况对应的概率如下： 数字之和 3 4 5 6 7 获奖金额（元 20 0 30 40 0 相应的概率 方案1中摸球一次平均获得购物券金额为： （元）， 方案2中摸球一次平均获得购物券金额为： （元）； ∵, ∴选择方案1对顾客更合算． 23．如图，、分别与相切于点A、B，的延长线交于点C，连接，． (1)若，则 ． (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，根据即可得出． （2）过B作于E，根据等积法得出，求出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵、分别与相切于点A、B， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过B作于E， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积的计算，全等三角形的判定和性质，求角的正切值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 24．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在线段上选一点，并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接， 如图1，当点在上时，则______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点在上的位置（点不与点，重合），当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】对于（1），根据题意得，再根据直角三角形的性质得，进而得出答案； 对于（2），根据特殊角的三角函数值求出，即可得，再根据正方形和折叠的性质 得，，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据三角形的面积公式得出答案； 对于（3），当点Q在点F的下方时，求出相应的线段长，再根据全等三角形的性质得，然后设，再根据勾股定理得，进而求出答案；当点Q在点F上方时，求出线段的长， 再设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：30； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 由折叠得性质得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点Q在点F的下方时， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∴， 即， 解得， ∴； 当点Q在点F上方时，如图所示， ∵ ∴． ∵同上得， 设， ∴， 即， 解得， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，准确的作出图形，不能丢解是解题的关键． 25．如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点，点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时； ①取的中点，求点运动轨迹的函数的解析式； ②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；则函数的解析式为 （用含n的式子表示）． ③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)；； 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，则，即可得解； （2）①根据中点坐标公式计算即可得出答案；②根据中点坐标公式计算即可得出答案；③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，临界点为直线线与，有一个交点，联立方程解之即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， ∴， 解得， ∴抛物线， 令，则，； （2）解：①∵点在抛物线上，设点的横坐标为， ∴， ∴的中点的坐标为， 设，则， ； 同理可得，的坐标为， ∴； 的坐标为， ∴； ……， ∴的坐标为， ； 若直线与函数有两个交点，与函数有两个交点时，共有4个交点， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ……， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，中点坐标公式，抛物线与直线的交点等相关问题，关键是掌握重点坐标公式． / 学科网（北京）股份有限公司 $$