重难点05 万有引力与航天-2025年高考物理【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点5万有引力与航天 三年考情分析 2025考向预测 宇宙航行 2023年T12 万有引力与航天是高考的必考考点之一，多数题目会涉及万有引力提供向心力的分析，近三年以解决实际问题、尤其航空航天前沿科技为背景的综合应用考察为主。 未来的命题趋势变化不会很大，仍会以万有引力应用为核心考点，更注重联系生产生活实际，让考题更具应用性和创新性。 万有引力综合应用 2024年T19 2023年T20 2022年T19 【考察特点】 近三年北京高考真题以计算题为主，一般为实际现象为背景，以万有引力应用、宇宙航行特点、功能关系的综合考察；模拟卷题目选择、计算考察均有较高频次。 【必备知识】 开普勒三大运动定律、万有引力与重力关系、宇宙航行中的物理量分析是核心考点，动力学、功能关系、动量三大力学方法是天体背景下综合应用问题的必备技能。 【考察要求】 注重基础概念和经典模型的理解，熟练掌握椭圆轨迹、圆轨迹天体运动的分析方法和传统经典模型； 重视超失重、离心现象、机械能、动量定理和动量守恒等知识结合的综合问题分析方法。 【知识大纲】 【高分技巧】 一、开普勒三大定律 1．开普勒第一定律：轨道定律 2．开普勒第二定律：面积定律——由近日点到远日点，做减速运动 3．开普勒第三定律：周期定律——同一中心天体，轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 二、万有引力定律 1．一般不考虑自转影响，按照万有引力等于重力分析； 2．考虑自转时，万有引力为重力和向心力的矢量和；越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力； 3．不规则形状物体之间万有引力可以利用割补法分析。 三、天体质量和密度计算 1．利用天体表面重力加速度——黄金代换 2．利用运行天体——只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度 四、卫星运行 1．利用万有引力等于向心力分析： ①注意轨道半径、轨道高度、星球半径的区别 ②同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a越小，T越大，即越高越慢。 2．卫星环绕 （1）极地卫星——每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 （2）同步卫星——赤道平面，五个一定“h（r）、a、v、ω、T” （3）三宇宙速度——向心力、机械能守恒 3．卫星变轨 （1）低轨变高轨：点火加速、离心运动、机械能不守恒 （2）圆轨道卫星参数：高轨低速大周期、大机大势小动能 （3）椭圆轨道：开普勒定律、机械能守恒 五、经典模型 （建议用时：130分钟） 【考向一：万有引力定律的理解和应用】 1．（2018北京真题）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径倍的情况下，需要验证（　　） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 2．（2017高考真题）利用引力常量 和以下某一组数据，不能计算出地球质量的是（　　） A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转） B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 3．（2010北京真题）一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（　　） A． B． C． D． 【考向二：卫星运行参量的比较】 1．（2023北京真题）我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破．“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为，运行一圈所用时间约为分钟．如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”．下列说法正确的是（　　） A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为 B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于 C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 2．（2022西城二模）2022年2月27日，长征八号遥二运载火箭飞行试验在我国文昌航天发射场顺利实施，本次飞行试验搭载了22颗商业卫星，创造了中国航天一箭多星发射的新纪录。当人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍时，下列说法正确的是（　　） A．根据公式可知，卫星的线速度也增大到原来的2倍 B．根据公式可知，卫星的向心加速度减小到原来的 C．根据公式可知，卫星的向心力减小到原来的 D．根据公式可知，卫星的向心力减小到原来的 3．（2024丰台二模）木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中有两颗卫星的轨道半径之比约为。根据以上信息可知这两颗卫星的（　　） A．线速度大小之比约为 B．周期之比约为 C．向心加速度大小之比约为 D．向心力大小之比约为 4．（2024朝阳一模）地球同步卫星位于地面上方高度约36000km处，周期与地球自转周期相同，其运动可视为绕地球做匀速圆周运动。其中一种轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同，因其相对地面静止，也称静止卫星。下列说法正确的是（　　） A．与静止于赤道上的物体相比，静止卫星向心加速度更小 B．与近地轨道卫星相比，静止卫星的线速度更小 C．静止卫星内的物体处于平衡状态 D．所有静止卫星的线速度均相同 5．（2012北京真题）关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是（　　） A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 6．（2024昌平二模）研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在相比（　　） A．距地面的高度变小 B．向心加速度变大 C．线速度变小 D．角速度变大 【考向三：变轨问题】 1．（2021北京真题）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面、远火点距离火星表面，则“天问一号”（　　） A．在近火点的加速度比远火点的小 B．在近火点的运行速度比远火点的小  C．在近火点的机械能比远火点的小 D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动 2．（2024西城二模）如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经变轨，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次变轨，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1，2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。当卫星分别在1、2、3轨道上运行时，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道2上经过Q点的速度小于在轨道1上经过Q点的速度 B．卫星在轨道2上经过Q点的机械能等于在轨道2上经过P点的机械能 C．卫星在轨道2上经过P点的机械能等于在轨道3上经过P点的机械能 D．卫星在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道3上经过P点的加速度 3．（2023东城二模）图示为一颗人造地球卫星发射过程的简化示意图。卫星先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P、Q两点。下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道1上运行时，向心力始终不改变 B．卫星在轨道1的运行周期大于其在轨道3的运行周期 C．卫星在轨道2上从P点运动到Q点的过程中，速度越来越大 D．不论在轨道2运行还是在轨道3运行，卫星在Q点的加速度都相同 4．（2022东城二模）“嫦娥四号”月球探测器登陆月球背面的过程可以简化为如图所示的情景：“嫦娥四号”首先在半径为r、周期为T的圆形轨道I上绕月球运行，某时刻“嫦娥四号”在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入近月圆形轨道Ⅲ。轨道Ⅱ与轨道I、轨道Ⅲ的切点分别为A、B，A、B与月球的球心O在一条直线上。已知引力常量为G，月球的半径为R，体积，则（　　） A．月球的平均密度为 B．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的线速度之比为 C．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的加速度之比为 D．探测器从A点运动到B点的时间为 5．（2024海淀二模）地球同步卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，在点A时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，同步卫星轨道半径为r，设卫星质量保持不变，下列说法中不正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上的运动周期之比为 B．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的运动周期之比为 C．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的动能之比 D．卫星在轨道Ⅱ上运动经过A点和B点的速度之比为 【考向四：三宇宙速度】 1．（2020北京真题）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是（　　） A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 2．（2019北京真题）年月日，我国成功发射第颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星）．该卫星（　　） A．入轨后可以位于北京正上方 B．入轨后的速度大于第一宇宙速度 C．发射速度大于第二宇宙速度 D．若发射到近地圆轨道所需能量较少 3．（2024西城一模）2023年，我国首颗超低轨道实验卫星“乾坤一号”发射成功。“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星。关于它的运动，下列说法正确的是（　　） A．角速度大于地球自转的角速度 B．线速度大于地球的第一宇宙速度 C．线速度小于地球表面物体随地球自转的线速度 D．向心加速度小于地球表面的物体随地球自转的向心加速度 4．（2024东城一模）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的周期约为16小时的椭圆轨道，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入图中曲线2所示新轨道，以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度为h，周期为。已知月球半径为r，万有引力常量为G，则以下正确的是（　　） A．卫星在16小时轨道上运行时，在近地点的机械能比在远地点的机械能小 B．24小时轨道与48小时轨道的半长轴之比为 C．卫星在地月转移轨道上运行时速度大于第二宇宙速度 D．月球的质量为 【考向五：万有引力定律的热点问题】 1．（2024丰台一模）如图所示，宇航员在“天宫课堂”中进行验证碰撞过程中动量守恒的实验时，掷出的小球碰撞前在空间站中做匀速直线运动。已知地球质量为M，地球半径为R，绕地球做匀速圆周运动的空间站离地高度为h，万有引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．根据题中信息可以计算空间站的运行周期 B．空间站环绕地球的速度大于地球的第一宇宙速度 C．由可知，空间站的加速度恒定 D．小球做匀速直线运动是因为小球不受力 2．（2023昌平二模）某学习小组观看完“太空授课”后，设计出4种在太空实验舱中测量小物块质量的方案： ①将待测小物块悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端，测出小物块静止时弹簧的形变量，根据，求得小物块的质量 ②让待测小物块随实验舱一起绕地球做匀速圆周运动，测出圆周运动的半径r和周期T，根据，求得小物块的质量 ③对待测小物块施加一个恒定的拉力F，使小物块从静止做匀加速直线运动，测出经过时间t时的速度v，根据，求得小物块的质量 ④用一个弹簧测力计拉着待测小物块做匀速圆周运动，测出弹簧测力计示数F、圆周运动的半径R和周期T，根据，求得小物块的质量 其中可行的方案有 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 3．（2023朝阳一模）科幻电影曾出现太空梯的场景。如图甲所示，设想在赤道上建造一个始终与地表垂直的太空梯，航天员可通过梯舱P缓慢地到达太空中某一位置，设该位置距地心的距离为r，地球半径为。图乙中曲线A为地球引力对航天员产生的加速度大小随r变化的图线；直线B为航天员的向心加速度大小随r变化的图线。下列说法正确的是（　　） A．航天员在R处的速度等于地球的第一宇宙速度 B．乙图中的小于地球同步卫星的轨道半径 C．航天员在位置时处于完全失重状态 D．在小于的范围内，航天员越接近的位置对梯舱的压力越大 4．（2022海淀三模）某行星外围有一圈厚度为d的光带，简化为如图甲所示模型，R为该行星除光带以外的半径．现不知光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，当光带上的点绕行星中心的运动速度v，与它到行星中心的距离r，满足下列哪个选项表示的图像关系时，才能确定该光带是卫星群（　　） A．B．C．D． 5．（2023丰台二模）两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个亮度周期性变化的光点，这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以某速度撞击该双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞击后双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是（　　） A．被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大 B．被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大 C．被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小 D．小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变 6．（2023北京模拟）“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为，B星球的质量为，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．B星球的轨道半径为 B．A星球运行的周期为 C．A星球和B星球的线速度大小之比为 D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零 7．（2024大兴三模）2024年，我国探月计划第六个探测器嫦娥六号将于上半年出征月球，并且飞往月球背面采集土壤并返回地球。如图所示，为地球的球心、为月球的球心，图中的P点为地—月系统的一个拉格朗日点，在该点的物体能够保持和地球、月球相对位置关系不变，以和月球相同的角速度绕地球匀速圆周运动。地球上的人总是只能看到月球的正面，嫦娥六号将要达到的却是月球背面的M点，为了保持和地球的联系，我国于4月12日成功发射鹊桥二号中继通信卫星，让其在以P点为圆心、垂直于地月连线的圆轨道上运动。下列说法正确的是（　　） A．我们无法看到月球的背面，是因为月球的自转周期和公转周期相同 B．发射嫦娥六号时，发射速度要超过第二宇宙速度，让其摆脱地球引力的束缚 C．以地球球心为参考系，鹊桥二号中继卫星做匀速圆周运动 D．若“鹊桥二号”和月球的公转轨道半径之比为n，那么它们的公转周期之比为 【考向六：推理和论证经典模型】 1．（2022北京真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W； （2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比； （3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。 2．（2023海淀二模）设地球是质量分布均匀的半径为R的球体。已知引力常量G，地球表面的重力加速度g，忽略地球自转。 （1）推导地球质量M的表达式。 （2）推导地球第一宇宙速度v的表达式。 （3）设地球的密度为ρ，靠近地球表面做圆周运动的卫星的周期为T，证明。 3．（2024平谷零模）物体在星球附近绕星球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度（又叫作环绕速度）；在星球表面附近发射物体的速度等于或大于，物体就会克服该星球的引力，永远离开该星球，这个速度叫作第二宇宙速度（又叫作逃逸速度）。已知引力常量为G。在以下问题的讨论中，空气阻力及星球自转的影响均忽略不计。 （1）若将地球视为质量均匀分布的球体，已知地球的质量为M，半径为R。 a．请证明地球的第一宇宙速度的大小； b．某同学设想从地面以第一宇宙速度的大小竖直上抛一个可视为质点的物体，关于该物体上升的最大高度，他的解答过程如下： 设物体的质量为m，上升的最大高度为h，重力加速度为g，由机械能守恒定律有： ，又，，所以联立得：该同学的上述解答是否正确?若不正确，请指出上述错误的原因，并分析说明物体上升的最大高度h应该比大还是小? （2）由于引力的作用，星球引力范围内的物体具有引力势能。设有一质量分布均匀的星球，质量为M，半径为R，当取物体距离星球无穷远处的引力势能为零时，则物体(质量为m)在距离该星球球心为r(r≥R)处时的引力势能为天体的质量越大，半径越小，逃逸速度也就越大，其表面的物体就越不容易脱离它的束缚。如果有这样的天体，它的质量非常大，半径又非常小，以至于以的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去，这种天体就称为黑洞。1799年，法国科学家拉普拉斯指出，对于一个质量为M的球状物体，当其半径R小于时，即是一个黑洞。请你根据所给信息并结合所学知识，证明上述结论。 4．（2014北京真题）万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。 ①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； ②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。 （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？ 5．（2024海淀一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。 （1）若认为木星位于坐标原点O，根据伽利略的观察和推测结果： ①写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。 ②求木星的质量M0 ③物体做简谐运动时，回复力应该满足F=-kx。 请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 （2）若将木星与卫星P视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为M'。请分析比较（1）②中得出的质量M0与M'的大小关系。 【考向七：万有引力的综合应用】 1．（2024北京真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为，宇宙的密度为。 （1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ； （2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。 a．求小星体P从处远离到。处的过程中动能的变化量； b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。 2．（2023北京真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。 3．（2024西城一模）小行星撞击地球虽然发生概率较低，却会使地球生命面临重大威胁。我国已经提出了近地小行星防御的发展蓝图，计划在2030年实现一次对小行星的动能撞击，2030至2035年间实现推离偏转。已知地球质量为M，可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G。若一颗质量为m的小行星距离地心为r时，速度的大小，m远小于M。不考虑地球运动及其它天体的影响。 （1）若小行星的速度方向垂直于它与地心的连线，通过分析判断该小行星能否围绕地球做圆周运动。 （2）若小行星的速度方向沿着它与地心的连线指向地心。已知取无穷远处的引力势能为零，则小行星在距地心为r处的引力势能。 a．设想提前发射质量为0.1m的无人飞行器，在距离地心为r处与小行星发生迎面撞击，小行星撞后未解体。将撞击过程简化为完全非弹性的对心碰撞。为彻底解除小行星对地球的威胁，使其不与地球碰撞。求飞行器撞击小行星时的最小速度。 b．设想对小行星施加适当的“推力”后，使其在距离地心为r处的速度方向与它和地心连线的夹角变为，速度大小不变，也能解除对地球的威胁。已知小行星仅在地球引力所用下的运动过程，它与地心的连线在任意相等时间内扫过相等的面积。求小行星在此后的运动过程中，距地心的最近距离。 4．（2023朝阳二模）无处不在的引力场，构建出一幅和谐而神秘的宇宙图景。 （1）地球附近的物体处在地球产生的引力场中。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球的质量为M，引力常量为G。请类比电场强度的定义，写出距地心r处的引力场强度g的表达式。（已知r大于地球半径，结果用M、G和r表示） （2）物体处于引力场中，就像电荷在电场中具有电势能一样，具有引力势能。 中国科学院南极天文中心的巡天望远镜追踪到由孤立的双中子星合并时产生的引力波。已知该双中子星的质量分别为、，且保持不变。在短时间内，可认为双中子星绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动。请分析说明在合并过程中，该双中子星系统的引力势能、运动的周期T如何变化。 （3）我们可以在无法获知银河系总质量的情况下，研究太阳在银河系中所具有的引力势能。通过天文观测距银心（即银河系的中心）为r处的物质绕银心的旋转速度为v，根据，可得到银河系在该处的引力场强度g的数值，并作出图像，如图所示。已知太阳的质量，太阳距离银心。 a．某同学根据表达式认为：引力场强度g的大小与物质绕银心的旋转速度成正比，与到银心的距离r成反比。请定性分析说明该同学的观点是否正确。 b．将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，请利用题中信息估算太阳所具有的引力势能。 5．（2023西城二模）建立物理模型是解决实际问题的重要方法。 （1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。 a、卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动，可视做匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小v。 b、在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ、卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段，卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分（如图2所示）。这样，在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为，在远地点D的速度为，远地点D到地心的距离为r。根据开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）可知，请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。 （2）在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为和，木星和地球的半径分别为和R，且。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时，。】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点5万有引力与航天 三年考情分析 2025考向预测 宇宙航行 2023年T12 万有引力与航天是高考的必考考点之一，多数题目会涉及万有引力提供向心力的分析，近三年以解决实际问题、尤其航空航天前沿科技为背景的综合应用考察为主。 未来的命题趋势变化不会很大，仍会以万有引力应用为核心考点，更注重联系生产生活实际，让考题更具应用性和创新性。 万有引力综合应用 2024年T19 2023年T20 2022年T19 【考察特点】 近三年北京高考真题以计算题为主，一般为实际现象为背景，以万有引力应用、宇宙航行特点、功能关系的综合考察；模拟卷题目选择、计算考察均有较高频次。 【必备知识】 开普勒三大运动定律、万有引力与重力关系、宇宙航行中的物理量分析是核心考点，动力学、功能关系、动量三大力学方法是天体背景下综合应用问题的必备技能。 【考察要求】 注重基础概念和经典模型的理解，熟练掌握椭圆轨迹、圆轨迹天体运动的分析方法和传统经典模型； 重视超失重、离心现象、机械能、动量定理和动量守恒等知识结合的综合问题分析方法。 【知识大纲】 【高分技巧】 一、开普勒三大定律 1．开普勒第一定律：轨道定律 2．开普勒第二定律：面积定律——由近日点到远日点，做减速运动 3．开普勒第三定律：周期定律——同一中心天体，轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 二、万有引力定律 1．一般不考虑自转影响，按照万有引力等于重力分析； 2．考虑自转时，万有引力为重力和向心力的矢量和；越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力； 3．不规则形状物体之间万有引力可以利用割补法分析。 三、天体质量和密度计算 1．利用天体表面重力加速度——黄金代换 2．利用运行天体——只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度 四、卫星运行 1．利用万有引力等于向心力分析： ①注意轨道半径、轨道高度、星球半径的区别 ②同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a越小，T越大，即越高越慢。 2．卫星环绕 （1）极地卫星——每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 （2）同步卫星——赤道平面，五个一定“h（r）、a、v、ω、T” （3）三宇宙速度——向心力、机械能守恒 3．卫星变轨 （1）低轨变高轨：点火加速、离心运动、机械能不守恒 （2）圆轨道卫星参数：高轨低速大周期、大机大势小动能 （3）椭圆轨道：开普勒定律、机械能守恒 五、经典模型 （建议用时：130分钟） 【考向一：万有引力定律的理解和应用】 1．（2018北京真题）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径倍的情况下，需要验证（　　） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 【答案】B 【解析】设物体质量为，地球质量为，地球半径为，月球轨道半径，物体在月球轨道上运动时的加速度为，由牛顿第二定律：①； 地球表面物体重力等于万有引力：②； 联立①②得：，故B正确；ACD错误； 故选：B 2．（2017高考真题）利用引力常量 和以下某一组数据，不能计算出地球质量的是（　　） A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转） B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【答案】D 【解析】A．地球表面的物体的重力等于其所受地球的万有引力（忽略地球自转）， 即，则地球的质量为，所以A正确； B．人造卫星所受地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，即，又 可得地球的质量为，所以B正确； C．月球绕地球做圆周运动的向心力由其受到地球的万有引力提供，即 则地球的质量为，所以C正确； D．与C选项分析类似，地球绕太阳做圆周运动的向心力由太阳的万有引力提供， 则，可求得太阳的质量为，不能求出地球的质量，所以D错误。 故选ABC。 3．（2010北京真题）一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当压力为零时，，又，联立解得， 所以ABC错误；D正确． 【考向二：卫星运行参量的比较】 1．（2023北京真题）我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破．“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为，运行一圈所用时间约为分钟．如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”．下列说法正确的是（　　） A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为 B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于 C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 【答案】A 【解析】开普勒第三定律 根据题述,需要"夸父一号"在随地球绕太阳公转的过程中,轨道平面始终与太阳保持固定的取向,1年365天,圆周角为,所以"夸父一号"的运行轨道平面每天转动的角度约为正确; 由于任何卫星绕地球做圆周运动的速度都小于,向心加速度都小于地球表面的重力加速度,所以"夸父一号"绕地球做圆周运动的速度小于,向心加速度小于地球表面的重力加速度,错误; 不能根据题干信息求出日地之间的平均距离,D错误. 2．（2022西城二模）2022年2月27日，长征八号遥二运载火箭飞行试验在我国文昌航天发射场顺利实施，本次飞行试验搭载了22颗商业卫星，创造了中国航天一箭多星发射的新纪录。当人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍时，下列说法正确的是（　　） A．根据公式可知，卫星的线速度也增大到原来的2倍 B．根据公式可知，卫星的向心加速度减小到原来的 C．根据公式可知，卫星的向心力减小到原来的 D．根据公式可知，卫星的向心力减小到原来的 【答案】D 【解析】根据可得，，，可知，当人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍时，线速度变为原来的，向心加速度变为原来的，向心力减小到原来的。 故选D。 3．（2024丰台二模）木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中有两颗卫星的轨道半径之比约为。根据以上信息可知这两颗卫星的（　　） A．线速度大小之比约为 B．周期之比约为 C．向心加速度大小之比约为 D．向心力大小之比约为 【答案】B 【解析】根据可得，，，两颗卫星的轨道半径之比约为，可知线速度大小之比约为2:1；周期之比约为；向心加速度大小之比约为16:1；因质量关系不确定，不能比较向心力大小。 故选B。 4．（2024朝阳一模）地球同步卫星位于地面上方高度约36000km处，周期与地球自转周期相同，其运动可视为绕地球做匀速圆周运动。其中一种轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同，因其相对地面静止，也称静止卫星。下列说法正确的是（　　） A．与静止于赤道上的物体相比，静止卫星向心加速度更小 B．与近地轨道卫星相比，静止卫星的线速度更小 C．静止卫星内的物体处于平衡状态 D．所有静止卫星的线速度均相同 【答案】B 【解析】A．静止于赤道上的物体与静止卫星的角速度相等，根据可知，静止卫星向心加速度更大，故A错误； B．根据，解得，可知静止卫星的线速度更小，故B正确； C．静止卫星内的物体绕地球做匀速圆周运动，不是平衡状态，故C错误； D．所有静止卫星的线速度大小相等，方向不一定相同，故D错误。 故选B。 5．（2012北京真题）关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是（　　） A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 【答案】B 【解析】由开普勒第三定律可知，当圆轨道半径R和椭圆轨道半长轴a相等时，两颗卫星的周期相同，A错误．沿椭圆轨道运行的卫星，在与地心距离相等的对称位置具有相同的速率，卫星的动能和势能相等，B正确．地球同步卫星与地球同步，与地球自转周期相同，相对地面静止，它们的轨道半径相同，轨道平面都在赤道平面，C错误．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面可能经过两极的极地卫星，也可能是轨道平面与极地卫星有一偏角，这样轨道平面就不重合，D错误． 6．（2024昌平二模）研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在相比（　　） A．距地面的高度变小 B．向心加速度变大 C．线速度变小 D．角速度变大 【答案】C 【解析】A．根据万有引力提供向心力，解得，地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，距地面的高度变大，故A错误； B．根据牛顿第二定律，解得，地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，向心加速度变小，故B错误； CD．根据万有引力提供向心力，解得，，地球自转周期变大，则地球同步卫星轨道半径变大，则线速度变小，角速度变小，故C正确，D错误。 故选C。 【考向三：变轨问题】 1．（2021北京真题）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面、远火点距离火星表面，则“天问一号”（　　） A．在近火点的加速度比远火点的小 B．在近火点的运行速度比远火点的小  C．在近火点的机械能比远火点的小 D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动 【答案】D 【解析】A、设火星的质量为，“天问一号”的质量为，到火星中心的距离为，根据牛顿第二定律得： ，得，所以“天问一号”在近火点的加速度比远火点的大，故A错误； B、根据开普勒第二定律知“天问一号”在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误； C、“天问一号”在火星停泊轨道运行时，只有万有引力做功，其机械能守恒，故C错误； D、“天问一号”在近火点时其所需向心力大于万有引力，在此处减速使所需要的向心力减小，而火星对它的万有引力不变，当万有引力大于向心力，则“天问一号”做近心运动，当万有引力恰好等于绕火星做圆周运动所需向心力时，就实现了绕火星做圆周运动，故D正确。 故选：D。 2．（2024西城二模）如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经变轨，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次变轨，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1，2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。当卫星分别在1、2、3轨道上运行时，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道2上经过Q点的速度小于在轨道1上经过Q点的速度 B．卫星在轨道2上经过Q点的机械能等于在轨道2上经过P点的机械能 C．卫星在轨道2上经过P点的机械能等于在轨道3上经过P点的机械能 D．卫星在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道3上经过P点的加速度 【答案】B 【解析】A．卫星从轨道1变轨到轨道2，需要在Q点加速做离心运动，所以在轨道1上经过Q点时的速度小于它在轨道2上经过Q点时的速度，故A错误； B．卫星在轨道2上运动时只有万有引力做功，机械能守恒，经过Q点的机械能等于在轨道2上经过P点的机械能，故B正确； C．卫星从轨道2变轨到轨道3，需要在P点加速做离心运动，卫星在轨道2上经过P点的机械能小于在轨道3上经过P点的机械能，故C错误； D．根据，，卫星在轨道2上经过P点的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度，故D错误。 故选B。 3．（2023东城二模）图示为一颗人造地球卫星发射过程的简化示意图。卫星先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P、Q两点。下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道1上运行时，向心力始终不改变 B．卫星在轨道1的运行周期大于其在轨道3的运行周期 C．卫星在轨道2上从P点运动到Q点的过程中，速度越来越大 D．不论在轨道2运行还是在轨道3运行，卫星在Q点的加速度都相同 【答案】D 【解析】A．卫星在轨道1上运行时做匀速圆周运动，则向心力大小始终不改变，但是方向不断变化，选项A错误； B．根据，解得，卫星在轨道1的运行周期小于其在轨道3的运行周期，选项B错误； C．卫星在轨道2上从P点运动到Q点的过程中，引力做负功，则速度越来越小，选项C错误； D．根据可知，不论在轨道2运行还是在轨道3运行，卫星在Q点的加速度都相同，选项D正确。 故选D。 4．（2022东城二模）“嫦娥四号”月球探测器登陆月球背面的过程可以简化为如图所示的情景：“嫦娥四号”首先在半径为r、周期为T的圆形轨道I上绕月球运行，某时刻“嫦娥四号”在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入近月圆形轨道Ⅲ。轨道Ⅱ与轨道I、轨道Ⅲ的切点分别为A、B，A、B与月球的球心O在一条直线上。已知引力常量为G，月球的半径为R，体积，则（　　） A．月球的平均密度为 B．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的线速度之比为 C．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的加速度之比为 D．探测器从A点运动到B点的时间为 【答案】A 【解析】A．设月球质量为M，“嫦娥四号”质量为m，则由得，月球质量为 则月球平均密度为，故A正确； B．由开普勒第二定律得，得，故B错误； C．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的合外力即为在该点所受万有引力，即， 则加速度之比为，故C错误； D．设探测器在椭圆轨道上的周期为T1，则由开普勒第三定律知 则探测器从A点运动到B点的时间为，故D错误。 故选A。 5．（2024海淀二模）地球同步卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，在点A时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，同步卫星轨道半径为r，设卫星质量保持不变，下列说法中不正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上的运动周期之比为 B．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的运动周期之比为 C．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的动能之比 D．卫星在轨道Ⅱ上运动经过A点和B点的速度之比为 【答案】A 【解析】AB．由开普勒第三定律可得，卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上的运动周期之比为 卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的运动周期之比为，A错误，符合题意，B正确，不符合题意； C．由万有引力提供向心力，卫星在轨道Ⅰ上可得，在轨道Ⅲ上可得 则有卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的动能之比为，C正确，不符合题意； D．设卫星在轨道Ⅱ上运动经过A点的速度为，在B点的速度为，由开普勒第二定律可得 解得经过A点和B点的速度之比为，D正确，不符合题意。 故选A。 【考向四：三宇宙速度】 1．（2020北京真题）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是（　　） A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 【答案】A 【解析】A．当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A正确； B．第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误； C．万有引力提供向心力，则有，解得第一宇宙速度为 所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误； D．万有引力近似等于重力，则有，解得星表面的重力加速度 所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。 故选A。 2．（2019北京真题）年月日，我国成功发射第颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星）．该卫星（　　） A．入轨后可以位于北京正上方 B．入轨后的速度大于第一宇宙速度 C．发射速度大于第二宇宙速度 D．若发射到近地圆轨道所需能量较少 【答案】D 【解析】A．同步卫星只能定点于赤道上方固定高度处，选项A错误； B．绕地球做圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力，有，，则越大，越小，第一宇宙速度是近地卫星运行的最大速度，即同步卫星速度小于第一宇宙速度，选项B错误； C．同步卫星发射速度要小于第二宇宙速度大于第一宇宙速度，选项C错误； D．卫星轨道越低，发射时所需要达到的速度越小，所需的能量越少，选项D正确． 综上所述，正确选项为D 3．（2024西城一模）2023年，我国首颗超低轨道实验卫星“乾坤一号”发射成功。“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星。关于它的运动，下列说法正确的是（　　） A．角速度大于地球自转的角速度 B．线速度大于地球的第一宇宙速度 C．线速度小于地球表面物体随地球自转的线速度 D．向心加速度小于地球表面的物体随地球自转的向心加速度 【答案】A 【解析】ACD．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，，可得 ，，可知“乾坤一号”的角速度、线速度和向心加速度均大于同步卫星的角速度、线速度和向心加速度；同步卫星的角速度等于地球自转角速度，根据，，则同步卫星的线速度大于地球表面物体随地球自转的线速度，同步卫星的向心加速度大于地球表面的物体随地球自转的向心加速度；则“乾坤一号”的角速度大于地球自转的角速度，线速度大于地球表面物体随地球自转的线速度，向心加速度大于地球表面的物体随地球自转的向心加速度，故A正确，CD错误； B．“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星，则线速度等于地球的第一宇宙速度，故B错误。 故选A。 4．（2024东城一模）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的周期约为16小时的椭圆轨道，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入图中曲线2所示新轨道，以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度为h，周期为。已知月球半径为r，万有引力常量为G，则以下正确的是（　　） A．卫星在16小时轨道上运行时，在近地点的机械能比在远地点的机械能小 B．24小时轨道与48小时轨道的半长轴之比为 C．卫星在地月转移轨道上运行时速度大于第二宇宙速度 D．月球的质量为 【答案】B 【解析】A.卫星在16小时轨道上运行时，只有万有引力做功，机械能守恒。在近地点的机械能等于在远地点的机械能，故A错误； B.设24小时轨道与48小时轨道的半长轴分别为，，由开普勒第三定律有，得，故B正确； C.所有卫星的运行速度小于第一宇宙速度，而第一宇宙速度小于第二宇宙速度，所以卫星在地月转移轨道上运行时速度小于第二宇宙速度，故C错误； D.对卫星有，得，故D错误。 故选B。 【考向五：万有引力定律的热点问题】 1．（2024丰台一模）如图所示，宇航员在“天宫课堂”中进行验证碰撞过程中动量守恒的实验时，掷出的小球碰撞前在空间站中做匀速直线运动。已知地球质量为M，地球半径为R，绕地球做匀速圆周运动的空间站离地高度为h，万有引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．根据题中信息可以计算空间站的运行周期 B．空间站环绕地球的速度大于地球的第一宇宙速度 C．由可知，空间站的加速度恒定 D．小球做匀速直线运动是因为小球不受力 【答案】A 【解析】A．根据可得，，已知地球质量为M，半径为R，绕地球做匀速圆周运动的空间站离地高度为h，万有引力常量为G，可以计算空间站的运行周期，故A正确； B．第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，也是围绕地球地球做圆周运动的物体的最大速度，所以空间站环绕地球的速度小于地球的第一宇宙速度，故B错误； C．由可知，空间站的加速度大小恒定，但方向不断改变，故C错误； D．以空间站为参考系小球做匀速直线运动，是因为空间站和小球所受的重力都用来提供做圆周运动的向心力，空间站和小球都处于完全失重的状态，小球受到力的作用，故D错误。 故选A。 2．（2023昌平二模）某学习小组观看完“太空授课”后，设计出4种在太空实验舱中测量小物块质量的方案： ①将待测小物块悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端，测出小物块静止时弹簧的形变量，根据，求得小物块的质量 ②让待测小物块随实验舱一起绕地球做匀速圆周运动，测出圆周运动的半径r和周期T，根据，求得小物块的质量 ③对待测小物块施加一个恒定的拉力F，使小物块从静止做匀加速直线运动，测出经过时间t时的速度v，根据，求得小物块的质量 ④用一个弹簧测力计拉着待测小物块做匀速圆周运动，测出弹簧测力计示数F、圆周运动的半径R和周期T，根据，求得小物块的质量 其中可行的方案有 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【解析】物体处于完全失重状态，无法测得小物块静止时弹簧的形变量，故①错误； 由式中可知小物块的质量被消去，无法计算，故②错误； 根据③和④的操作可以测得小物块的质量。故选C。 3．（2023朝阳一模）科幻电影曾出现太空梯的场景。如图甲所示，设想在赤道上建造一个始终与地表垂直的太空梯，航天员可通过梯舱P缓慢地到达太空中某一位置，设该位置距地心的距离为r，地球半径为。图乙中曲线A为地球引力对航天员产生的加速度大小随r变化的图线；直线B为航天员的向心加速度大小随r变化的图线。下列说法正确的是（　　） A．航天员在R处的速度等于地球的第一宇宙速度 B．乙图中的小于地球同步卫星的轨道半径 C．航天员在位置时处于完全失重状态 D．在小于的范围内，航天员越接近的位置对梯舱的压力越大 【答案】C 【解析】A．地球的第一宇宙速度等于卫星在地球表面轨道绕地球做匀速圆周运动的线速度，则有 设航天员在R处的速度为，在R处曲线A对应的加速度为，直线B对应的向心加速度为， 则有，可知航天员在R处的速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误； BC．设地球自转的周期为，同步卫星的轨道半径为，根据万有引力提供向心力可得 由图可知位置直线B对应的向心加速度为，对于曲线A，有 又，可得，联立可得 可知航天员在位置时，只受地球万有引力作用，处于完全失重状态，故B错误，C正确； D．在小于的范围内，根据图中曲线A与直线B可知，宇航员受到的万有引力大于所需的向心力；对于宇航员，根据牛顿第二定律可得，，解得，可知航天员越接近的位置对梯舱的压力越小，故D错误。 故选C。 4．（2022海淀三模）某行星外围有一圈厚度为d的光带，简化为如图甲所示模型，R为该行星除光带以外的半径．现不知光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，当光带上的点绕行星中心的运动速度v，与它到行星中心的距离r，满足下列哪个选项表示的图像关系时，才能确定该光带是卫星群（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】若光带是卫星群，则应该满足，即，即图像应该是过原点的直线，故选D. 5．（2023丰台二模）两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个亮度周期性变化的光点，这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以某速度撞击该双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞击后双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是（　　） A．被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大 B．被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大 C．被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小 D．小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变 【答案】C 【解析】A．被航天器撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短，说明双星系统的运动周期变小，故A错误； B．设两个小行星的质量分别为m1，m2，它们做圆周运动半径分别为r1，r2，设两个小行星中心连线的距离为r，则，两小行星绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动， 由万有引力提供向心力得，，联立以上各式得 因为周期T变小，说明两个小行星中心连线的距离r变小，故B错误； C．两个小行星中心连线的距离r变小，引力做正功，引力势能减小，故C正确； D．小行星质量越大，惯性越大，其运动的速度不容易被改变，那其运动的轨道越不容易被改变，故D错误。 故选C。 6．（2023北京模拟）“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为，B星球的质量为，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．B星球的轨道半径为 B．A星球运行的周期为 C．A星球和B星球的线速度大小之比为 D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零 【答案】B 【解析】A．由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为，根据牛顿第二定律，对A星球有，对B星球有，得 又，得，，故A错误； B．根据，解得，周期，故B正确； C．A星球和B星球的线速度大小之比，故C错误； D．O点处的质点受到B星球的万有引力，受到A星球的万有引力 故质点受到两星球的引力之和不为零，故D错误。 故选B。 7．（2024大兴三模）2024年，我国探月计划第六个探测器嫦娥六号将于上半年出征月球，并且飞往月球背面采集土壤并返回地球。如图所示，为地球的球心、为月球的球心，图中的P点为地—月系统的一个拉格朗日点，在该点的物体能够保持和地球、月球相对位置关系不变，以和月球相同的角速度绕地球匀速圆周运动。地球上的人总是只能看到月球的正面，嫦娥六号将要达到的却是月球背面的M点，为了保持和地球的联系，我国于4月12日成功发射鹊桥二号中继通信卫星，让其在以P点为圆心、垂直于地月连线的圆轨道上运动。下列说法正确的是（　　） A．我们无法看到月球的背面，是因为月球的自转周期和公转周期相同 B．发射嫦娥六号时，发射速度要超过第二宇宙速度，让其摆脱地球引力的束缚 C．以地球球心为参考系，鹊桥二号中继卫星做匀速圆周运动 D．若“鹊桥二号”和月球的公转轨道半径之比为n，那么它们的公转周期之比为 【答案】A 【解析】A．看不到月球的背面，就是因为月球的自转周期和公转周期相同，故A正确； B．嫦娥六号并没摆脱地球引力的束缚，因此发射速度不会超过第二宇宙速度，故B错误； C．以地球为参考系，鹊桥二号一方面绕地月系统共同的圆心做匀速圆周运动，另一方面绕P点做匀速圆周运动，因此以地心为参考系，它是两个匀速圆周运动的合运动，故C错误； D．鹊桥二号中继卫星受地球和月球共同引力的作用，月球只受地球的引力作用，则周期关系不满足开普勒第三定律，故D错误。 故选A。 【考向六：推理和论证经典模型】 1．（2022北京真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W； （2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比； （3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】（1）根据动能定理有 （2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则，运动周期 根据开普勒第三定律，k为常量，得，即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。 （3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量 设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得r2=4r1 设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有，解得 由于恒星质量是太阳质量的2倍，得。 2．（2023海淀二模）设地球是质量分布均匀的半径为R的球体。已知引力常量G，地球表面的重力加速度g，忽略地球自转。 （1）推导地球质量M的表达式。 （2）推导地球第一宇宙速度v的表达式。 （3）设地球的密度为ρ，靠近地球表面做圆周运动的卫星的周期为T，证明。 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】（1）忽略地球自转，地球表面的物体所受重力等于万有引力，解得地球质量 （2）在地球表面附近万有引力提供向心力，解得地球第一宇宙速度 （3）靠近地球表面做圆周运动的卫星，万有引力提供向心力，又地球质量 解得。 3．（2024平谷零模）物体在星球附近绕星球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度（又叫作环绕速度）；在星球表面附近发射物体的速度等于或大于，物体就会克服该星球的引力，永远离开该星球，这个速度叫作第二宇宙速度（又叫作逃逸速度）。已知引力常量为G。在以下问题的讨论中，空气阻力及星球自转的影响均忽略不计。 （1）若将地球视为质量均匀分布的球体，已知地球的质量为M，半径为R。 a．请证明地球的第一宇宙速度的大小； b．某同学设想从地面以第一宇宙速度的大小竖直上抛一个可视为质点的物体，关于该物体上升的最大高度，他的解答过程如下： 设物体的质量为m，上升的最大高度为h，重力加速度为g，由机械能守恒定律有： ，又，，所以联立得：该同学的上述解答是否正确?若不正确，请指出上述错误的原因，并分析说明物体上升的最大高度h应该比大还是小? （2）由于引力的作用，星球引力范围内的物体具有引力势能。设有一质量分布均匀的星球，质量为M，半径为R，当取物体距离星球无穷远处的引力势能为零时，则物体(质量为m)在距离该星球球心为r(r≥R)处时的引力势能为天体的质量越大，半径越小，逃逸速度也就越大，其表面的物体就越不容易脱离它的束缚。如果有这样的天体，它的质量非常大，半径又非常小，以至于以的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去，这种天体就称为黑洞。1799年，法国科学家拉普拉斯指出，对于一个质量为M的球状物体，当其半径R小于时，即是一个黑洞。请你根据所给信息并结合所学知识，证明上述结论。 【答案】（1）a．见解析，b．见解析；（2）见解析 【解析】（1）a．设质量为得物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力， 则有，解得 b．该同学得解答不正确。由于随着竖直上抛物体高度得升高，离地球越来越远，万有引力越来越小，重力加速度得值也越来越小，则可知物体在上升过程中做加速度逐渐减小的加速运动，因此物体上升的高度应大于做匀减速运动上升的高度，即物体上升的最大高度应大于。 （2）物体在逃逸过程中机械能守恒，根据题意， 由机械能守恒可得，可得逃逸速度 若光也不能逃逸，则有，可得，即当质量为M的球状物体，当其半径R小于时，即是一个黑洞。 4．（2014北京真题）万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。 ①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； ②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。 （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？ 【答案】(1)①，②；(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同 【解析】 (1)在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是， 解得 ②在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2 ，解得 (2)根据万有引力定律，有，解得 又因为，解得 从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变。 5．（2024海淀一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。 （1）若认为木星位于坐标原点O，根据伽利略的观察和推测结果： ①写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。 ②求木星的质量M0 ③物体做简谐运动时，回复力应该满足F=-kx。 请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 （2）若将木星与卫星P视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为M'。请分析比较（1）②中得出的质量M0与M'的大小关系。 【答案】（1）①；②；③见解析；（2） 【解析】（1）①卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式 ②根据，得木星的质量 ③如图 取向右为正方向 则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 （2）根据，得，由于，则 【考向七：万有引力的综合应用】 1．（2024北京真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为，宇宙的密度为。 （1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ； （2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。 a．求小星体P从处远离到。处的过程中动能的变化量； b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。 【答案】【答案】（1）；（2）a．；b．H随t增大而减小 【解析】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为和的球内质量相同，即，解得小星体P远离到处时宇宙的密度 （2）a．此球内的质量 P从处远离到处，由能量守恒定律得，动能的变化量 b．由a知星体的速度随增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t越长，由知，H减小，故H随t增大而减小。 2．（2023北京真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由万有引力定律和向心力公式有，解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有，解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有，解得 3．（2024西城一模）小行星撞击地球虽然发生概率较低，却会使地球生命面临重大威胁。我国已经提出了近地小行星防御的发展蓝图，计划在2030年实现一次对小行星的动能撞击，2030至2035年间实现推离偏转。已知地球质量为M，可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G。若一颗质量为m的小行星距离地心为r时，速度的大小，m远小于M。不考虑地球运动及其它天体的影响。 （1）若小行星的速度方向垂直于它与地心的连线，通过分析判断该小行星能否围绕地球做圆周运动。 （2）若小行星的速度方向沿着它与地心的连线指向地心。已知取无穷远处的引力势能为零，则小行星在距地心为r处的引力势能。 a．设想提前发射质量为0.1m的无人飞行器，在距离地心为r处与小行星发生迎面撞击，小行星撞后未解体。将撞击过程简化为完全非弹性的对心碰撞。为彻底解除小行星对地球的威胁，使其不与地球碰撞。求飞行器撞击小行星时的最小速度。 b．设想对小行星施加适当的“推力”后，使其在距离地心为r处的速度方向与它和地心连线的夹角变为，速度大小不变，也能解除对地球的威胁。已知小行星仅在地球引力所用下的运动过程，它与地心的连线在任意相等时间内扫过相等的面积。求小行星在此后的运动过程中，距地心的最近距离。 【答案】（1）不能；（2）a．；b． 【解析】（1）若小行星在该位置做匀速圆周运动，设速度大小为，由万有引力提供向心力，可得，解得，由于，可知，小行星不能围绕地球做圆周运动。 （2）a．设碰撞后小行星的速度大小为，为彻底解除小行星的威胁，应使小行星被撞后能运动至无穷远处。根据能量守恒定律有，解得 以飞行器速度方向为正方向，飞行器撞击小行星的过程根据动量守恒定律有 解得 b．设小行星离地心最近时，速度的大小为，小行星与地心的连线在相等时间扫过相等面积有 根据能量守恒定律有，解得 4．（2023朝阳二模）无处不在的引力场，构建出一幅和谐而神秘的宇宙图景。 （1）地球附近的物体处在地球产生的引力场中。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球的质量为M，引力常量为G。请类比电场强度的定义，写出距地心r处的引力场强度g的表达式。（已知r大于地球半径，结果用M、G和r表示） （2）物体处于引力场中，就像电荷在电场中具有电势能一样，具有引力势能。 中国科学院南极天文中心的巡天望远镜追踪到由孤立的双中子星合并时产生的引力波。已知该双中子星的质量分别为、，且保持不变。在短时间内，可认为双中子星绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动。请分析说明在合并过程中，该双中子星系统的引力势能、运动的周期T如何变化。 （3）我们可以在无法获知银河系总质量的情况下，研究太阳在银河系中所具有的引力势能。通过天文观测距银心（即银河系的中心）为r处的物质绕银心的旋转速度为v，根据，可得到银河系在该处的引力场强度g的数值，并作出图像，如图所示。已知太阳的质量，太阳距离银心。 a．某同学根据表达式认为：引力场强度g的大小与物质绕银心的旋转速度成正比，与到银心的距离r成反比。请定性分析说明该同学的观点是否正确。 b．将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，请利用题中信息估算太阳所具有的引力势能。 【答案】【答案】（1）；（2）系统的引力势能减小，运动的周期减小；（3）a．见解析；b． 【解析】（1）根据类比，有 （2）在电场中，在只有电场力做功时，当电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增加，二者之和保持不变；当电场力做负功，电荷的电势能增加，动能减小，二者之和保持不变。类比可知，在合并过程中，中子星受到的引力做了正功，则该中子星系统的引力势能将减小，由于引力势能和动能之和保持不变，则中子星的动能将增加，线速度将增大，同时由于运动半径的减小，所以运动的周期T将减小。 （3）a．根据引力场强度的定义及万有引力提供向心力可得，整理得 由上式可知，引力场强度g的大小与银心质量成正比，与到银心的距离平方成反比。表达式只能作为一个替换的计算式使用，不能用于定性分析引力场强度g的变化性质，因为它没有表达出引力场强度g的产生原因。 b．根据引力势能与动能之和保持不变可知，如果将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零， 则从无穷远处运动到当前位置则有，其中为图像下方面积， 则。 5．（2023西城二模）建立物理模型是解决实际问题的重要方法。 （1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。 a、卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动，可视做匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小v。 b、在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ、卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段，卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分（如图2所示）。这样，在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为，在远地点D的速度为，远地点D到地心的距离为r。根据开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）可知，请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。 （2）在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为和，木星和地球的半径分别为和R，且。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时，。】 【答案】（1）a、；b、见解析；（2） 【解析】（1）a、卫星在近地轨道Ⅰ上的运行时，根据万有引力提供向心力，有 解得卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小为 b、设卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行，近地点和远地点的等效圆周运动的半径分别为和，根据牛顿第二定律可得，卫星在近地点时，卫星在远地点时 由椭圆的对称性可知，联立以上各式可得 （2）设木星质量为，地球质量为，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为的物体，地球在木星引力作用下向木星靠近，根据牛顿第二定律，有 物体在木星引力和地球引力作用下，有，其中， 当时，地球将被撕裂，可得，整理得 因为，所以很小，，代入得 推得“洛希极限”的表达式为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$