数学（新高考Ⅱ卷03）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 3．一组数据的分位数是（    ） A．10 B．12 C．4 D．3 4．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若存在实数，使得对任意，恒有，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线的右支交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式有如下定义：，.则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的解集为 B．若，则函数有2个零点 C．若的值域为，则的取值范围为 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，是底面上一动点（异于点），则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成角的正切值为 B．直线与平面所成角的余弦值的最大值为 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若，则的轨迹是圆的一部分 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 ． 13．一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 ． 14．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在锐角三角形中，分别为内角所对的边，且. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 16．（15分） 某商场为了吸引顾客，举办了一场抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，规定顾客每次消费满500元即可获得一次抽奖机会，每次抽奖从抽奖箱中随机摸出3个球，然后根据摸出的球的颜色获得相应的奖金（单位：元）：若摸出的3个球颜色完全相同，则获得一等奖，奖金100元；若摸出的3个球颜色均不相同，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的3个球中有2个球的颜色相同，则获得三等奖，奖金20元. (1)记随机变量为顾客抽奖一次获得的奖金金额，求的分布列及数学期望（数学期望精确到0.01）； (2)假设每位顾客最多只抽奖一次，现从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，求3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率. 17．（15分） 如图1，直角梯形中，，，，，，为上靠近的三等分点，将沿翻折至，且平面平面，，如图2. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知椭圆，直线与交于点，过椭圆上一点（非顶点）作的切线与直线和分别交于点. (1)若，求取得最小值时椭圆的标准方程； (2)若椭圆的右顶点为，直线与轴交于点，直线与直线交于点，直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列. 19．（17分） 已知函数. (1)若，求函数的单调区间. (2)若有两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）03·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求函数的定义域和值域求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由，得，故. 由，得，故， 则. 故选：B 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】首先求出进而得出，再根据虚部的概念即可得出答案. 【详解】由，得，得，所以，故的虚部为. 故选：B 3．一组数据的分位数是（    ） A．10 B．12 C．4 D．3 【答案】C 【分析】应用百分位数定义求分位数. 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为，共10个数， 所以，则这组数据的分位数为4. 故选：C 4．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用向量数量积的运算律可得，进而求投影向量. 【详解】令，且， 所以，可得， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 5．已知函数，若存在实数，使得对任意，恒有，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦化简函数解析式，根据、余弦函数的对称中心求出的值，利用三角函数的最小正周期公式求出结果. 【详解】由， 由存在实数，使得对任意，恒有， 所以的图象关于点对称， 所以，得，故的最小正周期为. 故选：B 6．已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线的右支交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用表示相关线段长，根据已知及点线距离公式、双曲线定义得到的关系，利用双曲线的离心率公式求出结果. 【详解】如图，不妨令在第一象限，      因为，所以直线的方程为， 又，所以点到直线的距离为. 因为，所以，故. 设双曲线的右焦点为，连接， 由双曲线的定义知，易得， 在中，由余弦定理得，解得. 故双曲线的离心率. 故选：D 7．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令得，应用特殊值及排除法确定正确选项. 【详解】由题设， 令，则，且， 若，则，显然，A排除； 若，则，显然，B排除； 若，则，显然，C排除； 故选：D 8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式有如下定义：，.则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】将已知等式向所求式转化，在的等号两边同时乘以，构造包含平方的等式，利用累加法求解. 【详解】由，得，即， 所以，，，，， 以上各式相加得， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式及对数性质判断A；作差法判断B；特殊值法判断C；构造，利用导数得到判断D. 【详解】A：因为，则，，所以，故，正确. B：由，即， 由，得， 所以，正确. C：令，，则，错误. D：令，则，故时，时， 所以在上递减，在上递增，故， 即，而，所以，正确. 故选：ABD 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的解集为 B．若，则函数有2个零点 C．若的值域为，则的取值范围为 D． 【答案】ACD 【分析】分区间求出不等式的解集，判断A；利用导数研究函数在上的单调性，然后作出函数在上的大致图象及直线，数形结合判断B、C；利用及函数的单调性判断D. 【详解】A：若，当时，由，得， 由，得，故不等式解集为，正确. B：当时，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，且当时，，当时，， 函数的大致图象如图所示， 数形结合知，当时，只有1个零点， 若，则时，没有零点， 所以，函数只有1个零点，错误. C：根据B知，函数在上的值域为， 若的值域为，则在上的值域应包含， 则，得，又，故的取值范围为，正确. D：由题意知， 由于，在上单调递增， 所以，则，正确. 故选：ACD 11．如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，是底面上一动点（异于点），则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成角的正切值为 B．直线与平面所成角的余弦值的最大值为 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若，则的轨迹是圆的一部分 【答案】AC 【分析】由题设知即与所成的角，进而求其正切值判断A；分析结论，问题化为求直线与平面所成角的正切值的最小值，根据已知确定直线与平面所成角的平面角，进而求其正切值最小值，即可得余弦最大值判断B；根据已知得点轨迹以为圆心，为半径的圆的，判断C；利用椭圆的定义判断D. 【详解】A：由题得，故即与所成的角， 如图1，连接，易得，故，正确.    B：直线与平面所成角的余弦值最大时，其所成的角最小，即正切值最小， 所以原问题转化为求直线与平面所成角的正切值的最小值. 由题意知，直线与线段始终有交点， 设该交点为在平面内的射影为，如图2， 连接，则即直线与平面所成的角. 根据正方体的结构特征，知是边长为的正三角形，且三点共线， 为的中心且为线段上靠近点的三等分点， 所以. 因为，所以最大时，即点与点（或）重合时，直线与平面所成角的正切值最小. 连接，则，故，则，错误. C：连接，由平面，且平面，所以， 在中，，所以点轨迹以为圆心，为半径的圆的， 故动点的轨迹长度为，正确. D：由于，且，所以点轨迹以为焦点的椭球面的一部分，错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 ． 【答案】/0.0625 【分析】根据点在抛物线上求出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义及性质求出结果. 【详解】因为点在抛物线上，所以，故抛物线的标准方程为， 由抛物线的定义知，抛物线上的点到其焦点的距离等于到其准线的距离， 因为抛物线准线方程为,所以抛物线上点到焦点距离等于, 因为,所以， 故抛物线上的点到其焦点距离的最小值为. 故答案为： 13．一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答. 【详解】随机抽取一个电子元件，设“抽取的电子元件不合格”，“抽取的电子元件来自生产线”，“抽取的电子元件来自生产线”，则，， ，. 由全概率公式得 故. 故答案为：. 14．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】应用特殊值结合不等式恒成立得的取值范围为，再证明时不等式恒成立，即可得答案. 【详解】由题，当时恒成立，即恒成立， 函数在定义域上为增函数且，故的取值范围为. 下面证明：当时不等式恒成立. 令，只需证恒成立， 因为，所以在上单调递增， 故， 令，则只需证， 易知，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，得证.所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在锐角三角形中，分别为内角所对的边，且. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】1）由题意得，...........................................................（1分） 则由正弦定理得，...........................................................（2分） 由于，所以， 所以，所以...................................................（4分） 由于，所以，得. 又，故....................................................................................................................................（6分） （2）根据，得，，..............................................（7分） 则的周长为 ， .........（9分） 由为锐角三角形，得，所以，.....................................................（10分） 则，，..............................................................................................................（11分） 所以，..............................................................................................................（12分） 故周长的取值范围是.........................................................................................（13分） 16．（15分） 某商场为了吸引顾客，举办了一场抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，规定顾客每次消费满500元即可获得一次抽奖机会，每次抽奖从抽奖箱中随机摸出3个球，然后根据摸出的球的颜色获得相应的奖金（单位：元）：若摸出的3个球颜色完全相同，则获得一等奖，奖金100元；若摸出的3个球颜色均不相同，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的3个球中有2个球的颜色相同，则获得三等奖，奖金20元. (1)记随机变量为顾客抽奖一次获得的奖金金额，求的分布列及数学期望（数学期望精确到0.01）； (2)假设每位顾客最多只抽奖一次，现从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，求3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率. 【解析】（1）由题意可知随机变量的所有可能取值为. ， ， ， 故随机变量的分布列为 100 50 20 ...................................................................................................................................（6分） 随机变量的数学期望........................................（8分） （2）由（1）知若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取1人，则这个人的奖金金额为20元的概率为，奖金金额为50元或100元的概率为，...................................................................................................（11分） 故若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，这3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率为..............................................................................................................................（15分） 17．（15分） 如图1，直角梯形中，，，，，，为上靠近的三等分点，将沿翻折至，且平面平面，，如图2. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）在题图1中，取的中点，连接，则， 因为，，， 所以四边形为正方形，则. 在题图2中，连接，则是以为底边的等腰三角形， 由题知，则，所以，所以，...............................................（2分） 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以..........................................................................（4分） 又，且，，平面，所以平面.........................................（6分） 由于平面，所以................................................................................................................（7分） （2）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，.........................................（8分） 故，，， 由于，所以，则......................................................（9分） 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以................................................................................................（11分） 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以..........................................................................................（13分） 故， 易知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.....................................（15分） 18．（17分） 已知椭圆，直线与交于点，过椭圆上一点（非顶点）作的切线与直线和分别交于点. (1)若，求取得最小值时椭圆的标准方程； (2)若椭圆的右顶点为，直线与轴交于点，直线与直线交于点，直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列. 【解析】（1）由于在椭圆上，所以，..........................................................................（1分） 由，得，..................................................................................................................（3分） 当且仅当，即时，取得最小值.............................................................................（4分） 故取得最小值时椭圆的标准方程为.............................................................................（5分） （2）根据不是椭圆的顶点可知直线的斜率存在且不为0，    设直线为，所以，...............................（6分） 由，得 由于直线与椭圆相切，所以， 即，得，..............................（8分） 所以（*）式可化为，即，得，故.........（9分） 由题，得，所以， 故直线的方程为， 令，得，故. 所以，....................................................................................（11分） 所以直线的方程为， 令，得， 所以.易知， 由于，所以........................................................（13分） 设，故，，，.......................................................（14分） 故，.......................................................（16分） 故成等差数列......................................................................................................（17分） 19．（17分） 已知函数. (1)若，求函数的单调区间. (2)若有两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【解析】（1）当时且，则..................................（1分） 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，............................................................................................（2分） 故，即，则在上单调递增，.................................................（3分）故的单调递增区间是，无单调递减区间...................................................................................（4分） （2）（i）由题意知， 令，则有两个零点.................................................（5分），令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，.............................................................（6分） 要使有两个零点，则，即...............................................（7分） 因为，，且， 满足，，.............................................................（8分） 故在上存在，在上存在，使得， 所以的取值范围是..............................................................（9分） （ii）由（i）知，， 得①，②，.............................................................（10分） ②①得，则， 所以③..............................................................（11分） ①②得④， 由③和④得..............................................................（12分） 要证，需证， 需证， 需证， 即证，.............................................................（13分） 令，则，则需证，......................................（14分） 令，则需证. 因为，令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减............（15分） 所以，...........（16分） 令， （对于，有，易知时，时， 所以在上递增，在上递减，则， 所以不等式，当且仅当时取等号）， 因为， 所以单调递减，所以， 所以，故得证...........................................................（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）03·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 B B A B D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD ACD AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 0.0625 14.(0,e 16 13.月 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【解析】1)由题意得(a一c)sinC=csin(B-C,…(们分) 则由正弦定理得(sinA4-sinC)sinC=sinCsin(B-C), （2分） 由于sinC≠0，所以sinA-sinC=sin(B-C), 所以sin(B+C)-sinC=sin(B-C),所以cosBsinC-sinC=-cosBsinC…(4分) 由于snC0,所以2eosB=1,得co8=号 又seo 故B=T (6分) 3 sind sinB"sincasind2sinb (2)根据a b c=asinc 2sinc (7分) sinA sinA sinA sinA 则ABC的周长为a+方+c=2+2sinB+simC)= sinA 1/7 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2+5+2sinC-2+ 3+2sin4+ 3 =2+V5+sin4+V5cos4=3+ 50+cos1=3+5 sinA A,.(9分) tan sinA sinA sinA 2 0<A< 由ABC为锐角三角形，得 0<C=2-A< 所以Ae ππ 6'2 (10分) 3 则号（沿》m2-5, (11分) 所以3+√5<a+b+c<6+2V5, (12分) 故ABC周长的取值范围是3+√5,6+2√5 (13分) 16.(15分) 【解析】(1)由题意可知随机变量X的所有可能取值为100,50,20 P(X=100)=4× 57' P(x=50)-CicCiC_ C20 57 P(X=20= 2C2CC_10 C 19 故随机变量X的分布列为 X 100 50 20 2 5 10 57 57 19 (6分) 随机变量X的数学期望E(=10×号+50： 25+20×10=2050≈35.9644m7 (8分) 57 1957 奖金 (2)由(1)知若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取1人，则这个人的奖金金额为20元的概率为0， 金额为50元或100元的概率为 9 (11分) 故若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，这3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率为 (15分) 17.(15分) 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】(1)在题图1中，取BC的中点M,连接EM,则BM=CM=2, 因为CM∥ED,CM=DE=DC,ED⊥DC, A D M 所以四边形EDCM为正方形，则EM⊥BC 在题图2中，连接BE,则aBCE是以BC为底边的等腰三角形， 由题知CE=2√2，则BE=2√，所以BE2+EC2=BC2,所以BE上EC, (2分) 因为平面PEC⊥平面ABCE,平面PEC∩平而ABCE=EC,BEC平面ABCE, 所以BE⊥平面PEC,又CPc平面PEC,所以BE⊥CP. (4分) 又CP⊥PE,且PEOBE=E,PE,BEC平面BPE,所以CP⊥平面BPE4.(6分) 由于EFC平面BPE,所以CP1EF.(7分》 (2)如图，以E为坐标原点，EB,EC所在直线分别为x,y轴，过点E与平面ABCE垂直的直线为z轴建立 空间直角坐标系， c(2V.c).r(.J.V).2.o). (8分) 黄m=5-.-.-0250,a-怎90 时师-酒，所5乐g9马 (9分) 3/7 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 mEF=0 4222 x+- 3 =0 设平面FEC的法向量为m=x,y,z,测 即3 3 mEC=0 2W2y=0 令x=1,则z=-4,所以m=(1,0,-4 (11分) 4222 EF=0 -a+ -b+ c=0 3 设平面FEA的法向量为i=a,b,c,则 ,即 3 3 EA=0 2a、 2 令a=1,则b=1,C=-5,所以i=(1,l,-5）…(们3分) 故c0sm,万=m:i=2175 mm17×2751 易知二面角4-EF-C为钝二面角，所以二面角4-EF-C的余弦值为_7 (15分) 51 18.(17分) 【解折】1)由于P(-2,在椭圆E上，所以子+-， (1分) a+京22.2 由1=4+1、 后得b24， (3分) 当且仅当名6，即a=22.b=2时，b取得最小值 (4分) 故b取得最小值时椭圆E的标准方程为。十上=1 (5分) 82 (2)根据P不是椭圆的顶点可知直线BC的斜率存在且不为O, 设直线BC为y=kx+m(k≠0，m≠0)，所以Ba,ka+m,Cb。m,-b (6分) y=kx+m 由侣若-85+r+24-=o 由于直线BC与椭圆E相切，所以△=0， 即4ak2m2-4a2(b2+a2k2)m2-b2）=0,得m2=a2k2+b2,…(8分) 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以()式可化为mr+2amr+0R=0,即(mr+a)2=0,得x=-ak,故 a'k b2 、m’m (9分) b2 由题，得M(a,0),所以kpw=m一=- b2 a(ak+m)' 171 b2 故直线PM的方程为y=一 (x-a), a(ak+m b2 令x=0,得y= ,故N0, ak+m ak+m b 所以kN三 ak+m=(ka+m)2-b2 ka+m- 三2k… (11分) a(ak+m) 所以直线BN的方程为y=2k(x-a+ka+m, 令y=-b,得n=b-a-m+a=a-m-b】 2k 2k, 所以0色6易知4a-。 由于x4+x。-2x。=a+b-m.a-m-b=0,所以x,+e=2xn (13分) 设N0,小，故k=+b,k,=+b,点=+ -xc -XD -XA (14分) ,1+12=-+-8--2x2=-+-2n=0. 故石+天高+b+b+6 (16分) 1+b 111 故行系店成等差数列 …(17分) 19.(17分) 【解析】(1)当a=二时f(x=2x2-xlnr+1且xe(0,+o）,则f'x=4x-nr-1…(1分) 2 令m(x=4r-lnx-1,则mx=4-1.4-, XX 当x时，<0，单调遥减， 当x存切时，m少0，m到单调递增， (2分) 故m≥m目)h4>0,即八>0，则f在(0+)上单调遥增， (3分) 故f(x)的单调递增区间是(0，+e）,无单调递减区间… (4分) 5/7 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2)①由题意知到=2x-r+士+2a-小 令g到=2x-nx++2a-1x>0,则g到有两个零点，(x<x…(5分） 1 g=2-1-2-x=2x+,令g=0,得x=1, x x2 x2 当xe(0,)时，g'(x<0,gx单调递减， 当re(1,+o)时，g'(x>0,g(x单调递增， 故gxn=g0=2a+2,…(6分) 要使gx有两个零点，则2a+2<0,即a<-1…(7分) 因为8e=-2x+-1>0.8-20-2a--20+2a1>-2a-2a-+a1=a>0,且 -2a e2a<1<-2a, 满足ge2）g(1<0,g1g-2a<0，… (8分) 故在(e,上存在x,在(l,-2上存在x,使得g)=gx)=0, 所以☑的取值范围是（一0，一4…(9分） (i)由(i)知0<，<1<x,gx)=gx)=0, 得2x+}-lx+2a-1=00.2x+1-lns+2a-1=0②. (10分) X ②-0得2(g-x--(x,-lnx)=0,则1=2-，-n XX: x2- 所以上+=5+=2天+x小-t五n点③(1分) X2-X X ①+②得2x+++1-s+lnx)=2-4a0. X X2 由③和④得2-4a=4天+小-+五n多-(h,+）（12分) x2-x1 要证x+5<2-和，需证2-4a>3x+, 3 需证4x+x-t点n点-x+nx>3+, X2-X X1 需证x+>+5n点+lnr+ln此， x2- 6/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1+5 >+受+m (13分) 令=套则1.则圈证+5>+2+m-名+2， (14分) t-1 令-s-++,名0>0<<小，周程证e0 因为=2-+2-+，令到=0，得= 2 x 当x0,品)时、>0,4到单调递塔，当x气品时，<0，单调莲减15分) t-1 …(16分) 令0=--小-h,名>. (对于y=nx-x+1,有y=-1,易知0<x<1时y>0,x>1时y<0, 所以y=nx-x+1在(0，)上递增，在(L,+o)上递减，则y2ln1-1+1=0, 所以不等式nx≤x-1,当且仅当x=1时取等号)， 因为国=，品名品品1品0， 所以k(单调递减，所以k)<0, 所以≤气k0,放x+620得证 (17分) 717 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）03·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）03·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 3．一组数据的分位数是（    ） A．10 B．12 C．4 D．3 4．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若存在实数，使得对任意，恒有，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线的右支交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式有如下定义：，.则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的解集为 B．若，则函数有2个零点 C．若的值域为，则的取值范围为 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，是底面上一动点（异于点），则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成角的正切值为 B．直线与平面所成角的余弦值的最大值为 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若，则的轨迹是圆的一部分 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 ． 13．一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 ． 14．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在锐角三角形中，分别为内角所对的边，且. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 16．（15分） 某商场为了吸引顾客，举办了一场抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，规定顾客每次消费满500元即可获得一次抽奖机会，每次抽奖从抽奖箱中随机摸出3个球，然后根据摸出的球的颜色获得相应的奖金（单位：元）：若摸出的3个球颜色完全相同，则获得一等奖，奖金100元；若摸出的3个球颜色均不相同，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的3个球中有2个球的颜色相同，则获得三等奖，奖金20元. (1)记随机变量为顾客抽奖一次获得的奖金金额，求的分布列及数学期望（数学期望精确到0.01）； (2)假设每位顾客最多只抽奖一次，现从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，求3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率. 17．（15分） 如图1，直角梯形中，，，，，，为上靠近的三等分点，将沿翻折至，且平面平面，，如图2. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知椭圆，直线与交于点，过椭圆上一点（非顶点）作的切线与直线和分别交于点. (1)若，求取得最小值时椭圆的标准方程； (2)若椭圆的右顶点为，直线与轴交于点，直线与直线交于点，直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列. 19．（17分） 已知函数. (1)若，求函数的单调区间. (2)若有两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$