2025年中考数学一轮专题考点突破：等腰三角形的判定

2025年中考数学一轮专题考点突破：等腰三角形的判定 知识点：等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 一．选择题（共15小题） 1．如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．∠B=40°，∠C=80° B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．2∠A=∠B+∠C D．三个角的度数之比是2：2：1 3．如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 4．如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，坐标平面内一点A（3，-2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） ​ A．2 B．3 C．4 D．1 6．有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（　　） A．2cm,2cm,4cm B．3cm,7cm,3cm C．3cm,6cm,6cm D．8cm,4cm,4cm 7．已知△ABC中，AH为边BC上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断△ABC是等腰三角形的是（　　） A．BH=HC B．∠BAH=∠CAH C．∠B=∠HAC D．S△ABH=S△AHC 8．如图，在△ABC中，AB=21cm,AC=12cm,点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4.2秒 9．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作DE∥BC交AB于点E．若AE=10，BE=6，则△ADE的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 11．如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADB+∠ACD=90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．点P为直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的有（　　）个． ①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH． A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在△ABC中，∠A=90°，DA：DC=1：3，BD=CD．E为线段BC上的一点，过点E作EF⊥AB，EG⊥CD．若BC=2，则EF+EG的长为（　　） A．2 B．2 C． D． 15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论：①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③BH=CH；④∠FAG=2∠ACF．正确的是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上两点，且∠BAD=∠DAE=∠EAC．则图中有 ______个等腰三角形． 17．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE=7，CE=8，则AC的长为 ______． 18．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F，G，若FG=2，DE=6，则DB+EC的值为 ______． 19．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG=5，ED=8，则EB+DC的值为 ______． 20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是点D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，点G，点H分别为线段BE，AB上动点，下面四个结论：①∠CAD=2∠ABE；②∠AEF=∠AFE；③AC•AB=AD•BC；④AG+GH＞AD．其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 三．解答题（共7小题） 21．如图，在△ABC中，D，E，G分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形． 22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB于点D，AE与CD交于点F．△CFE是等腰三角形吗？试说明理由． 23．如图，在△ABC中，已知∠1=72°，∠2=36°，∠C=72°． （1）说明△BCD是等腰三角形的理由； （2）找出图中其他的等腰三角形； （3）试一试，你能说明（2）中所找的三角形是等腰三角形的理由吗？ 24．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，∠B=2∠C． （1）求证：AB=AE； （2）作AD⊥BC交BC于点D，若AC=7cm,△ABC的周长为17cm,求△ADC的面积． 25．已知如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E． （1）求证：BD+EC=DE； （2）若AB=15，AC=12，求△ADE的周长． 26．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F．已知∠A=∠BCD． （1）试说明：EF=EC； （2）若∠BEF=115°，求∠ACD的度数． 27．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD． （1）解答下列问题： ①若∠BAC=40°，则∠BDC=______． ②求出∠BDC与∠BAC之间的关系式． （2）求证：△ABD为等腰三角形． （3）当∠EBA的大小满足什么条件时，以A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形？ 2025年中考数学一轮专题考点突破：等腰三角形的判定 (参考答案) 一．选择题（共15小题） 1、D 2、D 3、D 4、C 5、C 6、C 7、C 8、D 9、D 10、D 11、D 12、C 13、C 14、B 15、C  二．填空题（共5小题） 16、6； 17、15； 18、4； 19、13； 20、①②③；  三．解答题（共7小题） 21、证明：如图，连接AG， ∵DE∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C，AD=AE， ∴AB=AC， ∵CG=GB， ∴AG⊥BC， ∴AG⊥DE， ∴AG垂直平分DE， ∴GD=GE， ∴△DGE是等腰三角形． 22、解：△CFE是等腰三角形，理由如下： ∵∠ACB=90°， 在Rt△ACE中，∠CAE+∠CEA=90°， ∵CD⊥AB， 在Rt△AFD中，∠AFD+∠FAD=90°又AE平分∠CAB， ∴∠CAE=∠FAD，∠CFE=∠AFD， ∴∠CFE+∠FAD=90°， ∠CEA+∠CAE=90°， ∴∠CFE=∠CEA， ∴△CFE为等腰三角形． 23、解：（1）∵∠1=72°，∠C=72°， ∴∠1=∠C， ∴△BCD为等腰三角形； （2）图中的△ABD和△ABC均为等腰三角形； （3）∵∠1=72°，∠2=36°， 又∵∠1=∠A+∠2， ∴∠A=∠1-∠2=72°-36°=36°， ∴∠A=∠2， ∴△ABD为等腰三角形； ∵∠A=36°，∠C=72°， ∴∠ABC=180°-（∠A+∠C）=180°-（36°+72°）=72°， ∴∠ABC=∠C， ∴△ABC为等腰三角形． 24、（1）证明：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F， ∴AE=CE， ∴∠CAE=∠ECA， ∴∠AEB=2∠C， ∵∠B=2∠C． ∴∠B=∠AEB， ∴AB=AE； （2）解：∵AC=7cm,△ABC的周长为17cm, ∴AB+BC=17-7=10（cm）， ∵AE=CE， ∴AB+BE+AE=10（cm）， ∵AD⊥BE，AB=AE， ∴BD=DE， ∴AB+BD=DE+AE=DE+CE==5（cm），即CD=5（cm）， 由勾股定理可得：AD====2（cm）． ∴S△ADC==5（cm2）． 25、（1）证明：由角平分线可知：∠ABF=∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB=∠CBF， ∴∠ABF=∠DFB， ∴DF=DB， 同理可得EF=EC， ∴DE=DF+EF=BD+EC，即BD+EC=DE； （2）解：由（1）可知：DF=DB，EF=EC， ∵AB=15，AC=12， ∴△ADE的周长=AD+DB+EC+AE=AB+AC=27． 26、（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵AC∥EF， ∴∠A=∠DFE， ∵∠A=∠BCD， ∴∠DFE=∠BCD， ∵BE=BE， ∴△BEF≌△BEC（AAS）， ∴EF=EC； （2）解：∵△BEF≌△BEC， ∴∠BEC=∠BEF=115°， ∴∠CEF=360°-∠BEC-∠BEF=360°-115°-115°=130°， ∵AC∥EF， ∴∠ACD=180°-∠CEF=180°-130°=50°， ∴∠ACD的度数为50°． 27、（1）解：①∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠ABC=∠ACB=（180°-40°）=70°， ∴∠ACE=110°， ∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA， ∴∠DBC=∠ABC=35°，∠ECD=∠ACE=55°， ∴∠BDC=∠ECD-∠DBC=20°； 故答案为：20°； ②∠BDC=∠BAC． ∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F， ∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE， ∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC， ∴∠BDC=∠BAC． （2）证明：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，如图所示： ∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA， ∴DM=DH，DN=DH， ∴DM=DN， ∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD， ∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠GAD=∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 又∵∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∴△ABD为等腰三角形； （3）解：①AB=AF不可能舍去． ②AF=BF时，∠EBA=72°，理由如下： ∵△ABF是等腰三角形，∠BAF只能为底角， ∴AF=BF， ∴∠BAF=∠ABF=∠ABC， ∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=180°， ∴∠ABC=72°， 即∠EBA=72°；． ③AB=BF时，设∠ABF=∠FBC=x, 则∠ABC=∠ACB=2x, ∠BAF=∠BFA=3x, ∴2x+2x+3x=180°， ∴x=， ∴∠EBA=2x=， 综上所述，满足条件的∠EBA的值为72°或． 学科网（北京）股份有限公司 $$