浙江省金华十校2024-2025学年高三上学期期末调研考试数学试卷

金华十校2024—2025学年第一学期期末调研考试 高三数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上. 2.选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 选择题部分(共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|2<x²<10},B={-2,-1,0,1,2,3},则A∩B=( ▲ ) A. {-2,2,3} B. {2,3} C. {2} D. {3} 2. 设z=1+i,则 A. i B. - i C. 2-i D. 2+i 3. 命题“∀x∈R,x+1<0”的否定是( ▲ ) A. ∀x∈R,x+1≥0 B. ∃x∈R,x+1≥0 C. ∀x∈R,x+1>0 D. ∃x∈R,x+1>0 4.以边长为1 的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为(▲) A.π/3 B. π C. 2π D. 4π 5. 已知向量a=(cosθ,sinθ)与向量b=(-1,1)垂直,则|a-b|=( ▲ ) A. 1 D. 2 6.函数 的部分图象是(▲) 十校高三数学试题卷一1 (共4页) 7.甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为p，乙先走的情况下，甲胜的概率为 则甲获胜的概率是(▲) 8.已知函数 且a≠1)在(0,1)上有唯一零点,则a的范围为( ▲ ) B. 2≤a<e D. a≥e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量X~B(5,p),且 则( ▲ ) 10. 已知A ,B 为椭圆 的右顶点和上顶点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，圆T的圆心T在第一象限，且与y轴相切于点B，直线AB与圆T的另一个交点为D，直线OT(O为坐标原点)垂直于直线AB，记椭圆的离心率为e，则(▲) A. 若 且 PF₁⊥F₁F₂,则 B. 若 则∠F₁PF₂最大值为60° C. OD 是圆T的切线 D.若D为线段AB的中点，则 11. 已知定义域是 R的函数f(x)不恒为0,满足f(x+y)=f(x)f(y)-f(k-x)f(k-y),且f(-k)=f(k)则( ▲ ) A. f(k)=0 B. f(0)=1 C. x=k 是函数f(x)的一条对称轴 D. f(k)+f(2k)+f(3k)+…+f(2025k)=0 非选择题部分(共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角θ的终边经过点 P(1,1),则sinθ·cosθ= ▲ . 13. 若直线 mx-y+2m-6=0是曲线 的切线，则m的值可以是 ▲ .(写出一个值即可) 十校高三数学试题卷—2 (共4页) 14.已知球O的半径等于4，O₁，O₂是球O的某内接圆柱的上下底面圆心， ,PQ 是球O的直径(点 O₁在PO上,点 O₂在OQ上),M为OP的中点,若四边形ABCD 是圆 O₁的内接矩形,AE,BF是圆柱的母线,且平面MCD⊥平面 MEF,则AB= ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分13分)函数f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的的部分图象如图，且经过点 (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为(a,b,c若 ,求f(A)的值. 16.(本题满分15分)在斜三棱柱 中， 且 (1)证明:CB⊥BB₁; (2)若AB=AC=2,求直线AB₁与平面CBB₁C₁所成角的正弦值. 17.(本题满分15分)已知双曲线 的一个焦点是( ，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点M为y轴上一点，点A 是双曲线的右顶点，点P是双曲线上异于顶点的一点，若△MAP是正三角形，求点 M 的坐标. 十校高三数学试题卷—3 (共4页) 18.(本题满分17分)已知数列 是等比数列，满足 且 成等差数列，数列 满足 记数列 的前n项和为 (1)求(an; (2)求数列 的前n项和； (3)记 若 恒成立，求k的值. 19.(本题满分17分)设集合. 若集合A 中元素 xn)与 满足 则称β为α在集合A 中的“友好元”.对于整数k，若A 存在一个子集B满足：(i)集合B中元素个数为k；(ii)∀α∈B，在集合B中都至少有n-1个“友好元”，则称k 是“好数”. (1)当n=4且 时，直接写出α在集合A 中的“友好元”β； (2)当 时，求证： 是“好数”； (3)当 时，若整数 满足 且对 均有 求证： 是“好数”. 十校高三数学试题卷—4 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $$金华十校2024-2025学年第一学期期末调研考试 高三数学试题卷参考答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AB ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分共15分 12 13.11或6（写出其中一个） 14.43 2 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 151)因为)=m@r+9图像经过r行月 所以4红-5-得周期T=2元，由2红=2元得侧=13分 332 又f得-1得背+p=2+ke2又因为0<<x, 所以p=石所以f)=simx+ 6 6分 (2)因为f(=f(B),又0<A+B<元，所以A+B=2元 3 又a=2,b=3,由余弦定理可得c=√a2+b-2 abcos C-√7 .8分 在△ABC中，易求得cosA=2 √3 ，11分 十校高三数学调研参考答案及评分标准1（共4页） 所以f(A)=smA+-5x5,2x15万 6√万2√7214 13分 16.(1)证明(1)连结AB,AB-AA,∠AAB=60,△ABA是等边三角形 取A4的中点M,CM⊥AA,BM⊥AA,六A4⊥平面CB，3分 六AA⊥CB,又A4∥BB,CB⊥BB6分 (2)取CB的中点P,CB的中点2，AP⊥CB,PQ⊥CB,∴CB⊥平面AP2,.8分 过A做PO的垂线，垂足是，可得AA'⊥平面CBB,C,连结A'B', 所以∠AB就是线面角.…11分 易得A4=√2，AB=2W5, 所以∠A84就是线面角，sm∠ABr4-5 .15分 AB 6 17.(1)因为渐近线方程是y=±二x,所以a=2b,又c=√3，所以a=2,b=1 x 故双曲线方程为 -y2=1… .4分 x (2)设直线AP的方程为x=y+2,联立 -y2=1 可得(t-4)y2+4=0 x=y+2 解得点P纵坐标为y,= 4t 4- .7分 设线段AP的中点为N,则点N的坐标为 82t 4-2'4- ,设点M(0,m), 少 则由WLAP得4P" 8=-t,21-m(4二P)=-8所以=4行①10分 4-t日 19得-可化荷得=± 4-2 4- 13分 10x4 代入O可得m=±5=10N5,所以点M0.105)或M0,-10 4、16 .15分 18.(1)数列{a,}是等比数列，设首项是a,公比是4， 十校高三数学调研参考答案及评分标准2（共4页） 由Gq=a4,(aq+aq)=2(qq+a)解得a=q=2,an=2”4分 (2)由于ab+a,b+a,b,+…+ab.=(2n-7)-2"+14① 则a4+4,b+ab++ab.1=(21-9)2"+14,n≥2② 由①-②得ab.=(21-5)2”,n≥2 当n=1时，ab=-5.4+14=-6,满足上式，因此ab=(21-5)·2,所以b=21-5.6分 点。2”5接下去求么=2”-5的前n项和，记2=2”5的前n项和是8 a2 2+ ① 2 拉+ 2 ② …8分 、+1)-2”-2,整理得：S=-1-20-1】 2 2 10分 (3)C,=9+4川，4+4.02斗，要求c,的最大项可以设函数f国=-2 -,x>0 4+42+42+4 2+4 则f)=-22”-2n2+2n2+8 (2+4) 12分 令g(x)=21-x.2n2+2Hn2+8 则p(x)=2n20+2n2-n2x),分析可得p(3)>0,p(4)<0,3a∈(3,4)，使得p(回=0 所以p(x)在(0，a单调递增，(a,+)单调递减，p()=64-160ln2+64ln2+8=72-96h2>0, p(⑥=128-384n2+128.n2+8=136-256n2<0,3x。e(5,6,使得g(x)=0 当xe(0,2)时，∫(x)<0,当xe(2,x)时，f"(x)>0,xe(x,+)时，f"(x)<0 因此f(x)在x∈(0,2)单调递减，在x∈(2，)，单调递增，在x∈(x。,+∞)，单调递减.15分 只要比较0⑧o的大小@-后0-号京间- 684 所以第五项是最大项，k=5.,17分 19.(1）B=(0.01,0)或B=(1.110)或B=(1,0.0,0)或B=(（1,011).4分 此时A={aa=(:,,xo),xe{01}，显然A中的每一个元素都恰有10个“友好元” 十校高三数学调研参考答案及评分标准3（共4页） 设U={(0.0,4…,4）4∈{0，}，B=C(W),此时1B2-26分 对B中的任意元素b=(亿，b,,么。)，在集合U中至多存在一个u=(0.0,4,,4。)满足 1b-0|+|b-0+|b-4+b。-4。=1,从而b=(b,b,b。)在集合B中至少有9个 “友好元”，所以20-28是“好数.….. ….9分 (3)①当n=2024时，集合A={aa=(xx2…,x4),x∈{01}中的每个元素均有2024个 “友好元” 设B,={aa=(0,0,,0,4,a,,a)其中a∈{0，l}i=lb2,d}则B中含 有24个元素 设aa=气丛从00无其中eai2,d则 B含有24个元素，i∈{红2，，t-1} .12分 此时令C=A-(BUB,UUB) .13分 对于c=(C,c,C4)∈C,我们有： ②c在每一个B中至多有一个“友好元” 设么=(3，)，b,=(片，y)∈B,且均是c的“友好元”由于cEB,从 而c与不同的元素在前2024-d位且后d位相同.又因为b,b,的前2024-d位相同，后 d位至少一位不相同，因此G-y+c-y,+c4-y上215分 ③c不能在B。和B。.中均有“友好元” 由于对于1≤i<j≤t,B中的元素第2024-d1+1,2024-dH+2,…2024-d,都是1， 而B中2024-d1+1,2024-d1+2,…2024-d都是0，且d,-d≥3，从而b和b 之间至少有3位元素不同，所以不存在b∈B。,b2∈B。,且均是c的友好元” 从而c在C中至少有2023个“友好元”，所以2224-(24+2+…+2)是“好数”...17分 十校高三数学调研参考答案及评分标准4（共4页）