第17章 勾股定理-2024-2025学年人教版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷

2024-2025学年人教版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第17章 勾股定理 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2024秋•惠安县期末）四条线段的长分别为1，，5，9（其中为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则可能取值的个数为　　 A．2 B．3 C．6 D．4 解：过作交的延长线于， 根据题意得：，，， ， ， 是最长边，长为9或， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 故选：． 2．（2分）（2024秋•长宁区期末）如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为30，则小正方形边长为　　 A．2 B． C． D． 解：由题意可知：中间小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为：， 从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，且大正方形面积为30， ， ， ， ． 故选：． 3．（2分）（2024秋•涪城区期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时是的对应点）．则线段的长为　　 A． B． C． D． 解：由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．（2分）（2024秋•南阳期末）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，的面积为　　 A． B． C．或 D．15 解：当时， 过作，交于点， ， ， ， 由勾股定理，， ， 当时， 不满足小于， 此种情况不存在， 故选：． 5．（2分）（2024秋•青羊区校级期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：， 则点表示的数为． 故选：． 6．（2分）（2024春•龙江县期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是　　 A．2.2 B． C． D． 解：在中，，， ． 以点为圆心，为半径与正半轴交点表示的数为． 故选：． 7．（2分）（2024•张家口二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是　　 A． B． C． D． 解：，，， ， 是直角三角形， ，，， ， 是直角三角形， ，，， ， 是直角三角形， ，，， ， 不是直角三角形， 所以，，是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：． 8．（2分）（2023秋•凤城市期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　　． A． B． C．6 D． 解：设绳长为米， 在△中， 米， ，米， ， 根据题意列方程：， 解得：， 绳索的长是． 故选：． 9．（2分）（2024春•武昌区期中）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②，叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为　　 A．31 B．51 C．53 D．63 解：第一代勾股树中正方形有（个， 第二代勾股树中正方形有（个， 第三代勾股树中正方形有（个， 第四代勾股树图形中正方形的个数有（个； 第五代勾股树图形中正方形的个数有（个； 故选：． 10．（2分）（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为　　 A． B． C． D． 解：过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2024秋•平谷区期末）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点对应的数是，，若以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为 　　． 解：由题意可得， ，，， ， ， 以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点， 点表示的数为或， 故答案为：或． 12．（2分）（2024秋•高新区期末）如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽为，当电脑张角为时，顶部边缘处离桌面的距离为，调整电脑的张角，当张角为（点与点为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘处到桌面的距离为，则处与处之间的距离长为 　5　． 解：由题意得：，，，， 在△中，由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， ， 故答案为：5． 13．（2分）（2024秋•于洪区期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　14.5　尺． 解：设秋千的绳索长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 14．（2分）（2023秋•金凤区校级期末）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 　　． 解：，， ， 露出杯口外的长度为． 故答案为：． 15．（2分）（2023秋•成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 　13　米． 解：过作地面，连接， ， 由题意得，米，（米， 由勾股定理得，（米， 故答案为：13． 16．（2分）（2024秋•城关区校级期末）如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有 　①②④　．（填序号） 解：①四边形是正方形， ，． 在和中，， ， ，故①正确； ②过作于， ，， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③根据勾股定理求出， ，， ，， ， ， ，故③错误； ④在上取一点，使，连接， ， ， ． ． ， 是等边三角形． ，， ， ． 在和中，， ， ． ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 17．（2分）（2024春•郫都区期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为 　　． 解：沿方向平移到，作于点，连接． ，，，． ，． ，的最小值为的长． ． ，． ． 故答案为：． 18．（2分）（2023•南岗区模拟）如图，四边形中，，，，，则线段的长为 　　． 解：作交延长线于，延长到，使， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 19．（2分）（2022•雁塔区校级模拟）如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则　　． 解：连接交于点，过点作于点， ，， ，在的垂直平分线上，即垂直平分， ， ，， ， ， ， 四边形的面积，， ， 线段平分四边形的面积， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 20．（2分）（2020秋•香坊区期末）如图，四边形中，对角线，点为上一点，连接交于点，，，，，，则　12　． 解：延长、，交于点，如图： ，， ，， △为等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 在等腰直角△中，，，由勾股定理得： ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 解得：， ， 故答案为：12． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024秋•普宁市期末）如图，△中，的垂直平分线分别交、于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）证明：连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， △是直角三角形，且； （2）解：，， 设，， ， ， 由勾股定理得：， 即， ． 22．（6分）（2024秋•德惠市校级期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 解：（1）在△中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为21.6米； （2）由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线8米． 23．（8分）（2023秋•石狮市期末）如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 解：（1），． ． ， ． ． （2），，， ． ， ． 在和中， ． ． ． ②Ⅰ、点在线段上时，过点作于点． ，为它们共同的高， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． Ⅱ、点在线段的延长线上时，过点作于点． ，为它们共同的高， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 综上，的长为：1或2.6． 24．（8分）（2024春•江门期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上分别找出表示数0的点，表示数3的点，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 　　． （2）应用场景解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 解：（1）在中， ，， 又为圆心，点表示的数小于零， 点表示的数是． 故答案为：； （2）设秋千绳索的长度为 ， 由题意可得 ， 由题意知，四边形为矩形，，，， ，，， 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 25．（8分）（2024春•微山县校级月考）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在△中，如果，，，，那么，，，三者之间的数量关系是 　　． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：，，　　，且 　　　　， ， 整理得， 　　． （3）如图3，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． 解：（1）在△中，如果，则， 故答案为：； （2）证明：，，，且， ， 整理得， ． （3）矩形折叠，使点与点重合，折痕为， ， 设，则， 在△中，由勾股定理得，， 解得， ， ． 26．（8分）（2023秋•隆昌市校级期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？ 解：（1），，， ， 是直角三角形，； （2）海港受台风影响，理由如下： 过点作于点， 是直角三角形， ， ， ， 海港会受台风影响． 27．（8分）（2023秋•沈丘县期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． （1）证明：图2中图形的总面积可以表示为：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积， 即， ，即． （2）解：当，时，， 由图可知，空白部分面积以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 28．（8分）（2023秋•内江期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少约0.03千米； （3）， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第17章 勾股定理 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2024秋•惠安县期末）四条线段的长分别为1，，5，9（其中为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则可能取值的个数为　　 A．2 B．3 C．6 D．4 2．（2分）（2024秋•长宁区期末）如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为30，则小正方形边长为　　 A．2 B． C． D． 3．（2分）（2024秋•涪城区期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时是的对应点）．则线段的长为　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024秋•南阳期末）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，的面积为　　 A． B． C．或 D．15 5．（2分）（2024秋•青羊区校级期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024春•龙江县期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是　　 A．2.2 B． C． D． 7．（2分）（2024•张家口二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2023秋•凤城市期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　　． A． B． C．6 D． 9．（2分）（2024春•武昌区期中）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②，叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为　　 A．31 B．51 C．53 D．63 10．（2分）（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2024秋•平谷区期末）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点对应的数是，，若以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为 　　． 12．（2分）（2024秋•高新区期末）如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽为，当电脑张角为时，顶部边缘处离桌面的距离为，调整电脑的张角，当张角为（点与点为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘处到桌面的距离为，则处与处之间的距离长为 　　． 13．（2分）（2024秋•于洪区期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　　尺． 14．（2分）（2023秋•金凤区校级期末）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 　　． 15．（2分）（2023秋•成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 　　米． 16．（2分）（2024秋•城关区校级期末）如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有 　　．（填序号） 17．（2分）（2024春•郫都区期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为 　　． 18．（2分）（2023•南岗区模拟）如图，四边形中，，，，，则线段的长为 　　． 19．（2分）（2022•雁塔区校级模拟）如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则　　． 20．（2分）（2020秋•香坊区期末）如图，四边形中，对角线，点为上一点，连接交于点，，，，，，则　　． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024秋•普宁市期末）如图，△中，的垂直平分线分别交、于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．（6分）（2024秋•德惠市校级期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 23．（8分）（2023秋•石狮市期末）如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 24．（8分）（2024春•江门期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上分别找出表示数0的点，表示数3的点，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 　　． （2）应用场景解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 25．（8分）（2024春•微山县校级月考）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在△中，如果，，，，那么，，，三者之间的数量关系是 　　． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：，，　　，且 　　　　， ， 整理得， 　　． （3） 如图3，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． 26．（8分）（2023秋•隆昌市校级期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？ 27．（8分）（2023秋•沈丘县期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 28．（8分）（2023秋•内江期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$