第17章 勾股定理（思维导图+知识梳理+易错点拨+22大考点讲练+优选真题难度分层练 共86题）-2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末培优知识讲练

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第17章 勾股定理 （思维导图+知识梳理+易错点拨+22大考点讲练+优选真题难度分层练 共86题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：勾股定理 3 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 4 易错考点点拨汇总 4 易错知识点01：直角边与斜边未明确导致漏解 4 易错知识点02：勾股定理逆定理的误用 4 易错知识点03：直角三角形存在性问题中的分类讨论 5 易错知识点04：三角形形状不明确导致漏解 5 易错知识点05：勾股数的隐含条件忽略 5 易错知识点06：互逆命题的理解错误 5 易错知识点07：实际应用中的建模错误 5 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：勾股定理 6 重点考点讲练01：勾股树(数)问题 6 重点考点讲练02：勾股定理与网格问题 7 重点考点讲练03：勾股定理与折叠问题 8 重点考点讲练04：利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 9 重点考点讲练05：利用勾股定理证明线段平方关系 10 重点考点讲练06：用勾股定理构造图形解决问题 11 重点考点讲练07：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 12 重点考点讲练08：求旗杆高度(勾股定理的应用) 13 重点考点讲练09：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 15 重点考点讲练10：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 16 重点考点讲练11：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 17 重点考点讲练12：解决航海问题(勾股定理的应用) 18 重点考点讲练13：求河宽(勾股定理的应用) 19 重点考点讲练14：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 20 重点考点讲练15：判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 21 重点考点讲练16：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 22 重点考点讲练17：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 24 重点考点讲练18：求最短路径(勾股定理的应用) 25 期末考向二：勾股定理的逆定理 26 重点考点讲练19：判断三边能否构成直角三角形 26 重点考点讲练20：图形上与已知两点构成直角三角形的点 27 重点考点讲练21：勾股定理逆定理的实际应用 29 重点考点讲练22：勾股定理逆定理的拓展问题 30 优选真题难度分层练 32 中档题—夯实基础能力 32 压轴题—强化解题技能 35 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 易错知识点01：直角边与斜边未明确导致漏解 易错表现：看到题目中的数值直接套用勾股数，忽略斜边可能存在的两种情况。 示例： 题目给出直角三角形三边为6、8、x，若未明确直角边和斜边，需分两种讨论： 当8为直角边时，斜边x=10； 当8为斜边时，另一条直角边x=√(8²-6²)=2√7。 解决方法：始终先判断最长边是否为斜边，再分类讨论。 易错知识点02：勾股定理逆定理的误用 易错表现：混淆勾股定理（已知直角三角形求三边关系）与逆定理（已知三边关系判断是否为直角三角形）。 示例： 若三角形三边为2.5、6、6.5，需验证是否满足a²+b²=c²（如2.5²+6²=6.5²），满足则为直角三角形。 注意：勾股数必须是正整数，如3、4、5或5、12、13等，非整数组合需严格验证。 易错知识点03：直角三角形存在性问题中的分类讨论 易错场景：涉及动点或未知角时，未考虑所有可能的直角位置。 示例： 如图，Rt△ABC中，AB=8，BC=6，动点D在AC上运动，当△CBD为直角三角形时： 若∠CDB=90°，需用面积法求BD=4.8，再得CD=3.6； 若∠CBD=90°，则D与A重合，CD=10。 关键：画出所有可能的垂直关系，逐一分析。 易错知识点04：三角形形状不明确导致漏解 易错表现：未考虑三角形可能是锐角或钝角三角形。 示例： 等腰△ABC中，AB=AC=5，面积为10，求BC。需分两种情况： 锐角三角形：高在内部，BC=2√(5²-(10×2/5)²)=2√2； 钝角三角形：高在外部，BC=2√(5²+(10×2/5)²)=2√2。 易错知识点05：勾股数的隐含条件忽略 易错点：认为满足a²+b²=c²的任意数都是勾股数。 纠正：勾股数特指满足该等式的正整数组合（如3、4、5），非整数或负数的组合需明确说明应用场景 易错知识点06：互逆命题的理解错误 易错表现：混淆原命题与逆命题的逻辑关系。 示例： 原命题“若△ABC是直角三角形，则a²+b²=c²”成立，但其逆命题需验证三边是否满足该等式。 注意：逆命题不一定为真，需独立证明。 易错知识点07：实际应用中的建模错误 易错场景：无法将实际问题转化为直角三角形模型。 示例： 求长方体对角线长，需展开为空间直角三角形的斜边（√(长²+宽²+高²)），而非仅用底面直角边计算。 期末考向一：勾股定理 重点考点讲练01：勾股树(数)问题 【母题精讲】（21-22八年级下·安徽滁州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（    ） A．17 B．34 C．77 D．86 【训练1】（21-22八年级下·重庆忠县·期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练2】（21-22八年级下·湖北恩施·期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 重点考点讲练02：勾股定理与网格问题 【母题精讲】（23-24八年级下·四川广安·期末）如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【训练1】（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【训练2】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上． (1)的长为____________，的长为____________． (2)在正方形网格中，画出以为公共边与全等的所有三角形． 重点考点讲练03：勾股定理与折叠问题 【母题精讲】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【训练1】（21-22八年级上·江苏镇江·期末）如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N． (1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 【训练2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 重点考点讲练04：利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【母题精讲】（21-22八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（20-21八年级下·河南平顶山·期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE垂直平分AB交AB于点E，交AC于点D，则AD的长是 ． 【训练2】（20-21八年级下·福建龙岩·期末）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）． 重点考点讲练05：利用勾股定理证明线段平方关系 【母题精讲】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点是的中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点转转时（点不与，重合），以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【训练2】（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 重点考点讲练06：用勾股定理构造图形解决问题 【母题精讲】（22-23八年级上·山西运城·期末）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球． 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？     【训练1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部，是否会落在与它的底部A距离5m的快车道上？ 【训练2】（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，在中，，高，则边长为 ． 重点考点讲练07：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【训练1】（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了，木板顶端向下滑动了，求出的距离和这块木板的长度． 【训练2】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为．    (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度． (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移吗？通过计算说明你的结论． 重点考点讲练08：求旗杆高度(勾股定理的应用) 【母题精讲】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部 B的距离（结果保留小数点后一位）． 【训练1】（22-23八年级下·北京东城·期末）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【训练2】（22-23八年级下·四川广安·期末）一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？ 重点考点讲练09：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【母题精讲】（22-23八年级上·广东·阶段练习）如图，有两根直杆隔河相对，杆高30m，杆高20m，两杆相距为50m，两杆顶各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，以同样的速度同时飞下来夺鱼，两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．两杆底部距鱼的距离，各是多少？ 【训练1】（22-23八年级上·江苏·周测）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【训练2】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．    重点考点讲练10：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米． 【训练1】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根 处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 【训练2】（21-22八年级下·陕西安康·期末）一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为6.5，点在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离． 重点考点讲练11：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺． 【训练1】（21-22八年级下·河北保定·期末）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．图中 尺；水的深度是 尺；这根芦苇的长度是 尺．    【训练2】（21-22八年级下·陕西渭南·期末）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长． 重点考点讲练12：解决航海问题(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【训练1】（22-23八年级下·山西大同·阶段练习）如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．    【训练2】（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．    重点考点讲练13：求河宽(勾股定理的应用) 【母题精讲】（20-21八年级下·安徽·期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1．732，结果精确到1米）？ 【训练1】（2021·四川成都·一模）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位） 【训练2】（22-23八年级·甘肃武威·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 重点考点讲练14：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【母题精讲】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【训练1】（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长. 【训练2】（21-22八年级上·全国·单元测试）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（    ）    A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm 重点考点讲练15：判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【母题精讲】（20-21八年级上·山东济南·阶段练习）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米． （1）求BC间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．    【训练1】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测仪正前方50米的处，过了6秒后，测得小汽车的位置与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由. 【训练2】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 重点考点讲练16：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【母题精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【训练1】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 【训练2】（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为 ，A，B两岛的距离为． (1)求出B，C两岛的距离； (2)在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 重点考点讲练17：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【训练1】（22-23八年级上·全国·单元测试）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？    【训练2】（22-23八年级下·山西朔州·期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．    重点考点讲练18：求最短路径(勾股定理的应用) 【母题精讲】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一个圆柱体的高为，底面周长为．一只蚂蚁在点处，它要吃到点处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行 cm． 【训练1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【训练2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 期末考向二：勾股定理的逆定理 重点考点讲练19：判断三边能否构成直角三角形 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江·期末）若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【训练1】（22-23八年级上·重庆·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【训练2】（21-22八年级下·四川达州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 重点考点讲练20：图形上与已知两点构成直角三角形的点 【母题精讲】（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【训练1】（20-21八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【训练2】（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 重点考点讲练21：勾股定理逆定理的实际应用 【母题精讲】（24-25八年级上·全国·期末）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【训练1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【训练2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 重点考点讲练22：勾股定理逆定理的拓展问题 【母题精讲】（20-21八年级上·广东揭阳·期中）如已知：如图，四边形中，，，且．试求的度数． 【训练1】（22-23八年级下·广西贵港·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若 ，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是______三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，，且这个三角形是直角三角形，求的值． 【训练2】（22-23八年级下·江苏南京·期末）在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，我们把三个顶点都是格点的三角形称为格点三角形．按要求完成下列问题：    （1）在图①中，以AB为边画一个格点三角形，使其为等腰三角形； （2）在图②中，以AB为边画一个格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3； （3）如图③，若以AB为边的格点三角形的面积为3，则这个三角形的周长为 ． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．144 D．194 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ． 5．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是1，且．以为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点，则点表示的数是 ． 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 7．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 9．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（　　） A． B． C． D．3 13．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，点E为边上的点，且，点E关于边的对称点为点F，连接，则的长为（   ） A． B．5 C． D． 14．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点F，如果，那么线段的长为 ． 15．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 16．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）作图题． (1)如图1，在的方格纸中，线段的两个端分别落在格点上，请只用直尺在图1中画一条与线段相交的线段，要求P、Q两点在格点上，同时满足且． (2)已知如图2所示，直线与线段，点B在L上，点A在外，请用直尺和圆规在直线L上找出满足条件的所有点C（共4个，可表示为、），使得为等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为上一点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 19．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在中，平分交于点，过点作交于点，并延长到点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第17章 勾股定理 （思维导图+知识梳理+易错点拨+22大考点讲练+优选真题难度分层练 共86题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：勾股定理 3 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 4 易错考点点拨汇总 4 易错知识点01：直角边与斜边未明确导致漏解 4 易错知识点02：勾股定理逆定理的误用 4 易错知识点03：直角三角形存在性问题中的分类讨论 5 易错知识点04：三角形形状不明确导致漏解 5 易错知识点05：勾股数的隐含条件忽略 5 易错知识点06：互逆命题的理解错误 5 易错知识点07：实际应用中的建模错误 5 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：勾股定理 6 重点考点讲练01：勾股树(数)问题 6 重点考点讲练02：勾股定理与网格问题 8 重点考点讲练03：勾股定理与折叠问题 11 重点考点讲练04：利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 14 重点考点讲练05：利用勾股定理证明线段平方关系 16 重点考点讲练06：用勾股定理构造图形解决问题 20 重点考点讲练07：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 21 重点考点讲练08：求旗杆高度(勾股定理的应用) 24 重点考点讲练09：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 26 重点考点讲练10：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 28 重点考点讲练11：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 30 重点考点讲练12：解决航海问题(勾股定理的应用) 32 重点考点讲练13：求河宽(勾股定理的应用) 34 重点考点讲练14：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 36 重点考点讲练15：判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 38 重点考点讲练16：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 40 重点考点讲练17：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 44 重点考点讲练18：求最短路径(勾股定理的应用) 47 期末考向二：勾股定理的逆定理 50 重点考点讲练19：判断三边能否构成直角三角形 50 重点考点讲练20：图形上与已知两点构成直角三角形的点 52 重点考点讲练21：勾股定理逆定理的实际应用 56 重点考点讲练22：勾股定理逆定理的拓展问题 59 优选真题难度分层练 62 中档题—夯实基础能力 62 压轴题—强化解题技能 68 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点梳理02：勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点梳理03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 易错知识点01：直角边与斜边未明确导致漏解 易错表现：看到题目中的数值直接套用勾股数，忽略斜边可能存在的两种情况。 示例： 题目给出直角三角形三边为6、8、x，若未明确直角边和斜边，需分两种讨论： 当8为直角边时，斜边x=10； 当8为斜边时，另一条直角边x=√(8²-6²)=2√7。 解决方法：始终先判断最长边是否为斜边，再分类讨论。 易错知识点02：勾股定理逆定理的误用 易错表现：混淆勾股定理（已知直角三角形求三边关系）与逆定理（已知三边关系判断是否为直角三角形）。 示例： 若三角形三边为2.5、6、6.5，需验证是否满足a²+b²=c²（如2.5²+6²=6.5²），满足则为直角三角形。 注意：勾股数必须是正整数，如3、4、5或5、12、13等，非整数组合需严格验证。 易错知识点03：直角三角形存在性问题中的分类讨论 易错场景：涉及动点或未知角时，未考虑所有可能的直角位置。 示例： 如图，Rt△ABC中，AB=8，BC=6，动点D在AC上运动，当△CBD为直角三角形时： 若∠CDB=90°，需用面积法求BD=4.8，再得CD=3.6； 若∠CBD=90°，则D与A重合，CD=10。 关键：画出所有可能的垂直关系，逐一分析。 易错知识点04：三角形形状不明确导致漏解 易错表现：未考虑三角形可能是锐角或钝角三角形。 示例： 等腰△ABC中，AB=AC=5，面积为10，求BC。需分两种情况： 锐角三角形：高在内部，BC=2√(5²-(10×2/5)²)=2√2； 钝角三角形：高在外部，BC=2√(5²+(10×2/5)²)=2√2。 易错知识点05：勾股数的隐含条件忽略 易错点：认为满足a²+b²=c²的任意数都是勾股数。 纠正：勾股数特指满足该等式的正整数组合（如3、4、5），非整数或负数的组合需明确说明应用场景 易错知识点06：互逆命题的理解错误 易错表现：混淆原命题与逆命题的逻辑关系。 示例： 原命题“若△ABC是直角三角形，则a²+b²=c²”成立，但其逆命题需验证三边是否满足该等式。 注意：逆命题不一定为真，需独立证明。 易错知识点07：实际应用中的建模错误 易错场景：无法将实际问题转化为直角三角形模型。 示例： 求长方体对角线长，需展开为空间直角三角形的斜边（√(长²+宽²+高²)），而非仅用底面直角边计算。 期末考向一：勾股定理 重点考点讲练01：勾股树(数)问题 【母题精讲】（21-22八年级下·安徽滁州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（    ） A．17 B．34 C．77 D．86 【答案】C 【思路点拨】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【规范解答】解：如下图： 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2， S1＝42+62，S2＝32+42， 于是S3＝S1+S2， 即可得S3＝16+36+9+16＝77． 故选：C． 【训练1】（21-22八年级下·重庆忠县·期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【规范解答】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意； ④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数）， ∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． 故选：C． 【训练2】（21-22八年级下·湖北恩施·期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到S2022的值． 【规范解答】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形， 则CE=DE，， ∴， 即， 同理可得：，， ∴． 故答案为：． 重点考点讲练02：勾股定理与网格问题 【母题精讲】（23-24八年级下·四川广安·期末）如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【答案】(1)见解析 (2)客运中心离坐标原点更远，理由见解析 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的应用以及基础的计算能力，找到原点是解题的关键． （1）根据县政府和四川省武胜中学校的坐标确定出原点的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）根据各地点在坐标中的位置，判断出离原点最近的点和最远的点． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：沿口古镇的坐标为，客运中心的坐标为， ∴沿口古镇到坐标原点的距离为， 客运中心到坐标原点的距离为． ∴， ∴客运中心离坐标原点更远． 【训练1】（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【思路点拨】此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握用勾股定理解直角三角形和三线合一的性质是解决此题的关键． 如解图中的、D，连接，根据勾股定理即可求出和，然后根据三线合一即可求出，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外一个点，然后同理可找出、、、，从而得出结论． 【规范解答】解：设如下图所示中的两个格点为、D，连接 根据勾股定理可得 ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴此时点即为所求， 过点作的平行线，交如图所示的格点于，根据平行线之间的距离处处相等，此时也符合题意； 同理可得：， ∴点即为所求，过点作的平行线，交如图所示的格点于、，根据平行线之间的距离处处相等，此时、、也符合题意． 满足条件的点C共有6个， 故选：C． 【训练2】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上． (1)的长为____________，的长为____________． (2)在正方形网格中，画出以为公共边与全等的所有三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路点拨】此题考查了勾股定理求线段长度，作轴对称图形， （1）根据勾股定理计算可得线段长度； （2）根据轴对称作图即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为；． （2）如图，，，即为所求． ． 重点考点讲练03：勾股定理与折叠问题 【母题精讲】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【规范解答】解： ，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 【训练1】（21-22八年级上·江苏镇江·期末）如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N． (1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，尺规作图—作垂线： （1）由于点C在折痕上，那么，以点C为圆心，长为半径画弧交于M，再由垂直平分，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求； （2）连接，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，则，设，则．在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，点N和点M即为所求； 以点C为圆心，长为半径画弧交于M，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求； （2）解：如上图所示，连接， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【训练2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 重点考点讲练04：利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【母题精讲】（21-22八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据题意可知，的面积为 ，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【规范解答】解： 中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【训练1】（20-21八年级下·河南平顶山·期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE垂直平分AB交AB于点E，交AC于点D，则AD的长是 ． 【答案】 【思路点拨】在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC的长，再根据垂直平分线的性质解得AE＝，∠AED＝90°，继而在中，根据勾股定理解题． 【规范解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得：AC＝， 连接BD， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝，AD=BD，∠AED＝90°， 设 在中， ， ， 解得： 故答案为：． 【训练2】（20-21八年级下·福建龙岩·期末）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）． 【答案】为米 【思路点拨】连接CD，在中应用勾股定理得到，再联立即可求解． 【规范解答】解：连接CD， ∵∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米， ∴AC＝12米， 在中，， 即， ∵， ∴， 解得． 重点考点讲练05：利用勾股定理证明线段平方关系 【母题精讲】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点是的中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点转转时（点不与，重合），以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定得出，即可判断①②③④都正确. 【规范解答】∵中，，，      ∵点是的中点， 在 和中 ∴①正确，②正确.      ∴③正确. ∵Rt中， ∴④正确. 综上，正确的有4个， 故选：D 【训练1】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】（1）先证明，再证明，问题即可得证； （2）根据，，，可得；再证明是等边三角形，即有，，进而有，在中，有：，结合，，问题得证． 【规范解答】（1）证明：为等边三角形， ∴，． ∴． 又∵平分， ∴． ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴； （2）∵在（1）中已证明． ∴；， ∵，，， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，有：， ∵，， ∴． 【训练2】（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【答案】29 【思路点拨】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【规范解答】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 重点考点讲练06：用勾股定理构造图形解决问题 【母题精讲】（22-23八年级上·山西运城·期末）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球． 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？     【答案】 【思路点拨】由题意可知，若设，则， ，这样在中，利用勾股定理就可建立一个关于“”的方程，解方程即可求得结果． 【规范解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即， 设，则， ， ∵， ∴由勾股定理可知， 又∵， ， ∴， 解方程得出． 答：机器人行走的路程是． 【训练1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部，是否会落在与它的底部A距离5m的快车道上？ 【答案】倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 【思路点拨】先根据线段的和差求出的长度，再由勾股定理求出的长度，与5进行大小比较即可． 【规范解答】解：根据题意，m，m， 则m， ∴m， 又因为， ∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 【训练2】（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，在中，，高，则边长为 ． 【答案】7或5 【思路点拨】根据题意画出符合条件的图形，分别考虑当高AD在内部和外部的情况，再用勾股定理求解． 【规范解答】 如图：当AD在△ABC内部时， ∵，， ∴，， ∴BC=6+1=7； 如图：当AD在△ABC外部时， ∵，， ∴，， ∴BC=6-1=5； 故答案为：7或5 重点考点讲练07：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米． 【思路点拨】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 【训练1】（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了，木板顶端向下滑动了，求出的距离和这块木板的长度． 【答案】，． 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【规范解答】解：由题意，得，，，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，， ∴， 答：的距离是，这块木板的长度是． 【训练2】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为．    (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度． (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移吗？通过计算说明你的结论． 【答案】(1)此时梯子的顶端A距地面的高度为 (2)梯子底端B外移距离不是，理由见解析 【思路点拨】（1）利用勾股定理直接求得的值； （2）先求出的值，再利用勾股定理求出的值与比较即可． 【规范解答】（1）解：，，， 此时梯子的顶端A距地面的高度为； （2）由图可知梯子的顶端A沿墙下滑后， ，， ， ， 因此梯子底端B外移距离不是． 重点考点讲练08：求旗杆高度(勾股定理的应用) 【母题精讲】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部 B的距离（结果保留小数点后一位）． 【答案】4.9米 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．根据电线杆与地面垂直，利用勾股定理求得的长即可． 【规范解答】解：由题意得：电线杆与地面垂直， 故地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离为：（米）． 答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9米． 【训练1】（22-23八年级下·北京东城·期末）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，然后根据勾股定理求解即可； （2）首先得到米，米，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解∶如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， 故旗杆的高度为米； （2）解：由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， ∴ 米， ∴ 米． 故绳结离地面米高． 【训练2】（22-23八年级下·四川广安·期末）一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？ 【答案】旗杆在离地面的6米处折断 【思路点拨】根据题意，，，结合，代入计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：由题意旗杆折断后构成的直角三角形为， 根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为6米， 故旗杆在离地面的6米处折断． 重点考点讲练09：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【母题精讲】（22-23八年级上·广东·阶段练习）如图，有两根直杆隔河相对，杆高30m，杆高20m，两杆相距为50m，两杆顶各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，以同样的速度同时飞下来夺鱼，两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．两杆底部距鱼的距离，各是多少？ 【答案】两杆底部距鱼的距离，分别是30m和20m． 【思路点拨】根据题意结合勾股定理得出，进而得出答案． 【规范解答】解：由题意可得：， 则， 故， 解得：， 则， 答：两杆底部距鱼的距离，分别是30m和20m． 【训练1】（22-23八年级上·江苏·周测）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【思路点拨】过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【规范解答】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 【训练2】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．    【答案】13 【思路点拨】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【规范解答】如图所示，    AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5， 在直角三角形AEC中， AC＝＝＝13． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 重点考点讲练10：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米． 【答案】18 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【规范解答】解：如图所示： ∵是直角三角形， ∴， ∴大树的高度， 故答案为：18． 【训练1】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根 处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【规范解答】解：， ， ，， ， ， ， 这棵树原来的总高度为：． 【训练2】（21-22八年级下·陕西安康·期末）一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为6.5，点在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离． 【答案】大树顶端着地处到小轿车的距离为0.5 【思路点拨】根据题意已知，，然后根据勾股定理求得，即可获得答案． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∴． ∴大树顶端着地处到小轿车的距离为0.5． 重点考点讲练11：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，设水池里水的深度为尺，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【规范解答】解：设水池里水的深度为尺，则芦苇的长度为尺， 由题意可得，， 解得， ∴水池里水的深度为尺， 故答案为：． 【训练1】（21-22八年级下·河北保定·期末）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．图中 尺；水的深度是 尺；这根芦苇的长度是 尺．    【答案】 1 12 13 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，找到解题需要的，设水深为x尺，表示斜边的长，根据勾股定理计算即可． 【规范解答】解：由题意可得：尺， 设水深为x尺，芦苇尺，尺 中，由勾股定理：， 解得：， 所以， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 故答案为：1，12，13． 【训练2】（21-22八年级下·陕西渭南·期末）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长． 【答案】湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ． 【思路点拨】设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，再根据勾股定理求出h的值即可． 【规范解答】解∶设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm， 在Rt△BOC中， ∵OB=h dm， BC= ( h+1) dm， CO=3dm， ∴32+h2= (h+1)2， 解得h=4， ∴h+1=5． 答∶湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ． 重点考点讲练12：解决航海问题(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】D 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，由题意可得，的长，再利用勾股定理求出的长，根据速度路程时间可得答案．熟练掌握方向角的定义、勾股定理是解答本题的关键． 【规范解答】解：设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A， 由题意得，，(海里)，(海里)， 由勾股定理得，OA(海里)， ∴乙轮船的平均速度为2(海里/时)． 故选：D． 【训练1】（22-23八年级下·山西大同·阶段练习）如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．    【答案】25 【思路点拨】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【规范解答】解：连接如图，    ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 在中，（海里），（海里）， 根据勾股定理得（海里）． 故答案为：25． 【训练2】（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．    【答案】无触礁危险．理由见解析 【思路点拨】过点A作垂直于的延长线于点D，由题意得到，在根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【规范解答】解：无触礁危险．过点A作垂直于的延长线于点D    结合题意可知，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 继续前行无触礁危险 重点考点讲练13：求河宽(勾股定理的应用) 【母题精讲】（20-21八年级下·安徽·期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1．732，结果精确到1米）？ 【答案】另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上 【思路点拨】由∠ABD＝120°可求出，可证∠AED＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BE＝BD，从而求得BE的长度，在Rt△BDE中，根据姑姑定力，即可求得答案． 【规范解答】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°， ∴∠AED＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°， ∴BE＝BD＝200m， ∴DE＝＝200≈346（m）， 答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上． 【训练1】（2021·四川成都·一模）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位） 【答案】长约为． 【思路点拨】如图，先利用直角三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【规范解答】如图，过点作于点， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 答：长约为． 【训练2】（22-23八年级·甘肃武威·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 【答案】该河的宽度BC为120米 【思路点拨】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离． 【规范解答】根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米， 设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2， 即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120． 答：该河的宽度BC为120米． 重点考点讲练14：求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【母题精讲】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】612 【思路点拨】先由勾股定理求出BC的长为12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案． 【规范解答】如图，∵∠C=90，AB=13m，AC=5m， ∴BC==12m， ∴（元）． 故填：612. 【训练1】（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长. 【答案】14 【思路点拨】根据平移的性质，地毯的长度实际是所有台阶的长加上台阶的高，因此结合题目的条件可得出答案． 【规范解答】根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高， 则红地毯至少要6+=6+8=14米． 故答案为14． 【训练2】（21-22八年级上·全国·单元测试）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（    ）    A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm 【答案】B 【思路点拨】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【规范解答】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，    则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x=25． 故选B． 重点考点讲练15：判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【母题精讲】（20-21八年级上·山东济南·阶段练习）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米． （1）求BC间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．    【答案】（1）120米；（2）超速，理由见解析 【思路点拨】（1）根据勾股定理求出BC的长； （2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案． 【规范解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边， 根据勾股定理得：BC=120（m）； （2）这辆小汽车超速了． 理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s， 20m/s=72km/h， 72＞70， ∴这辆小汽车超速了． 【训练1】（19-20八年级上·全国·单元测试）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测仪正前方50米的处，过了6秒后，测得小汽车的位置与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由. 【答案】小汽车超速了,理由见解析 【思路点拨】先根据勾股定理得到BC=120米，再求出其速度即可得出答案. 【规范解答】由题意可知：米，米. 在中，是斜边，由勾股定理可得： ，即， 解得：米千米， ∵6秒小时， ∴速度为：（千米/时）. ∵72千米/时千米/时， ∴该小汽车超速了. 【训练2】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2)该车没有超速，理由见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【规范解答】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 重点考点讲练16：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【母题精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【答案】(1)会受到这次台风的影响 (2)12小时 (3)级 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． （1）过点A作于点D，利用角所对边是斜边一半，求得，然后与200比较即可解答； （2）以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，再运用勾股定理计算弦长，然后根据行程问题解答即可； （3） 先求出距台风中心最近距离，计算风力级别． 【规范解答】（1）解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下： 如图1，过点A作于点D， 在中，千米， ∴千米， ∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为：（千米）， ∵160千米千米， ∴A城市会受到这次台风的影响． （2）解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米， ∴台风影响该市持续的路程为：， ∴台风影响该市的持续时间（小时）． （3）解：∵千米， ∴（级）， ∴（级）， ∴该城市受到这次台风最大风力为级． 【训练1】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 【答案】(1)米 (2)没有危险不需要封锁，理由见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理的实际应用、等面积法求线段长，根据题意，数形结合，利用勾股定理及等面积法求出线段长即可得到答案，熟练掌握勾股定理及等面积法是解决问题的关键． （1）根据题意，数形结合，利用勾股定理求解即可得到答案； （2）过点作，如图所示，利用等面积法求出，根据题意比较即可得到答案． 【规范解答】（1）解： 处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且， ， 答：两村的距离为米； （2）解：没有危险不需要封锁， 理由如下： 过点作，如图所示： 利用面积相等得到，即，解得， 爆破点 周围半径750米范围内不得进入，， 在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁． 【训练2】（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为 ，A，B两岛的距离为． (1)求出B，C两岛的距离； (2)在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，在中，利用勾股定理可求出，，再在中，利用勾股定理即可求出，从而解决问题； （2）由，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间． 【规范解答】（1）解：过点C作于点D， 由题意可得：， ， ， 在中， ， 由勾股定理得：， ， 解得： 在中， ， 由勾股定理得：， 答：B，C两岛的距离为； （2）解：会受影响， 以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风影响岛屿C持续时间为． 重点考点讲练17：选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【母题精讲】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【思路点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 【训练1】（22-23八年级上·全国·单元测试）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？    【答案】 【思路点拨】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解． 【规范解答】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等， 则千米； ∵，， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， 答：图书室E应建在距A点千米处，才能使它到两所学校的距离相等． 【训练2】（22-23八年级下·山西朔州·期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．    【答案】1km 【思路点拨】设，则．再根据勾股定理列出关于x的等式，解出x的值，即得解． 【规范解答】解：由题意，设，则． ∵在中，， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴，即， 解得：． 答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等． 重点考点讲练18：求最短路径(勾股定理的应用) 【母题精讲】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一个圆柱体的高为，底面周长为．一只蚂蚁在点处，它要吃到点处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行 cm． 【答案】25 【思路点拨】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．将圆柱的侧面展开，根据“两点之间，线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，将圆柱的侧面展开， 连接，根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：， 由勾股定理得：， 故答案为：25． 【训练1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 【训练2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【规范解答】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 期末考向二：勾股定理的逆定理 重点考点讲练19：判断三边能否构成直角三角形 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江·期末）若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，先对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理，即可求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【规范解答】解：， ， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 【训练1】（22-23八年级上·重庆·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【规范解答】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 【训练2】（21-22八年级下·四川达州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形 【思路点拨】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 重点考点讲练20：图形上与已知两点构成直角三角形的点 【母题精讲】（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【规范解答】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【训练1】（20-21八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【思路点拨】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【规范解答】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【训练2】（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【思路点拨】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【规范解答】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 重点考点讲练21：勾股定理逆定理的实际应用 【母题精讲】（24-25八年级上·全国·期末）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)小时 【思路点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间 【规范解答】（1）解：海港受台风影响， 理由：，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （2）解：当 时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， (小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【训练1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)平方米 (2)线段的长度为米 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 （2）解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 【训练2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 【答案】(1)，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【思路点拨】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【规范解答】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 重点考点讲练22：勾股定理逆定理的拓展问题 【母题精讲】（20-21八年级上·广东揭阳·期中）如已知：如图，四边形中，，，且．试求的度数． 【答案】135° 【思路点拨】连接AC，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，即可求得． 【规范解答】解：如图，连接AC ∵， ∴，∠BAC=45° 又∵，， ∴△ACD为直角三角形 ∴∠CAD=90° ∴=135° 【训练1】（22-23八年级下·广西贵港·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若 ，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是______三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，，且这个三角形是直角三角形，求的值． 【答案】（1）锐角；（2）的值为13或． 【思路点拨】（1）判断最大数的平方与两个较小数平方和的大小即可； （2）分当最长边为时和当最长边为12时两种情况求解即可． 【规范解答】（1）92=81，72+82=113， ∵81<113， ∴该三角形是锐角三角形． 故答案为：锐角； （2）当最长边为时， ； 当最长边为12时， ， ∴的值为13或． 【训练2】（22-23八年级下·江苏南京·期末）在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，我们把三个顶点都是格点的三角形称为格点三角形．按要求完成下列问题：    （1）在图①中，以AB为边画一个格点三角形，使其为等腰三角形； （2）在图②中，以AB为边画一个格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3； （3）如图③，若以AB为边的格点三角形的面积为3，则这个三角形的周长为 ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3），或 【思路点拨】（1）利用网格在图①中，以AB为边画格点三角形，使其为等腰三角形即可； （2）利用网格在图②中，以AB为边画格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3即可； （3）利用网格在图③中，以AB为边的格点三角形的面积为3，即可求出这个三角形的周长． 【规范解答】（1）如图①所示：△ABC1、△ABC2、△ABC3、△ABC4即为所求； （2）如图②所示：△ABC1、△ABC2 即为所求；两个三角形为钝角三角形且周长为6＋3；    （3）如图③所示：以AB为边的格点三角形的面积为3， 则这个三角形的周长为：3＋＋2、4＋2或3＋＋2． 故答案为：3＋＋2、4＋2或3＋＋2． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：A、，， ，故A不符合题意； B、，， ，故B符合题意； C、， ， ，故C不符合题意； D、 ， ，不能判定为直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．144 D．194 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【规范解答】解：字母B所代表的正方形的面积， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据折叠的性质可证，得，设，则，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠，点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：D ． 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理．连接，则，在中，由勾股定理得求出即可得出答案． 【规范解答】连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： 5．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是1，且．以为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等即可得出结论． 【规范解答】解：∵数轴上点所表示的数分别是和， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴点所表示的数是． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 【答案】 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理；先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解． 【规范解答】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是掌握相关知识．先在中，求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【规范解答】证明： ，，， ， ，， ， ， 是直角三角形． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用， 先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可． 【规范解答】解：根据题意可知， 设，则，根据勾股定理得 ， 解得． 所以折断处离地面的高度是4尺． 9．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形的性质． （1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长． 【规范解答】（1）解：，，； （2）解：由勾股定理知：，，． 所以，的周长为； 10．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可． 【规范解答】如图所示，连接， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴（）． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理，过点A作于，根据等腰三角形的性质求出，再确定的取值范围，再根据勾股定理求出，再根据可得最小值与最大值，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，过点A作于， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，，， 则， ∴在中，， 当点与点重合时，的最小值为， 当点与点或点重合时，有最大值为， ∴的长可能是， 故选：C． 12．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可． 【规范解答】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 设， ， ， 在中，，即， 解得：（负值舍去）， 则，， ， ， 故选：B． 13．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，点E为边上的点，且，点E关于边的对称点为点F，连接，则的长为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式的混合运算．利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得的长，利用面积法求得，，，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：连接，，作于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵点E关于边的对称点为点F， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点F，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】设，则，，由折叠可得，进而可得，则，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，由含度角的直角三角形可得，由勾股定理可得，即，解得或（不符合题意，故舍去），则，，由线段的和差关系可得，，由此即可求出的长． 【规范解答】解：如图， 设，则，， 由折叠可得：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 【答案】 10 6 【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解； （2）由条件易证 ，得到，所以，即可求解． 【规范解答】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 16．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作于，于，由等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的性质定理可得，，从而得出、均为等腰直角三角形，证明，得出，进而得出，由等面积法结合等腰直角三角形的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，作于，于， ， ∵在中，，于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴、均为等腰直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）作图题． (1)如图1，在的方格纸中，线段的两个端分别落在格点上，请只用直尺在图1中画一条与线段相交的线段，要求P、Q两点在格点上，同时满足且． (2)已知如图2所示，直线与线段，点B在L上，点A在外，请用直尺和圆规在直线L上找出满足条件的所有点C（共4个，可表示为、），使得为等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理、尺规作图—作垂线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据网格特点结合勾股定理作图即可得解； （2）以点为圆心，线段为半径画弧交直线于、，则、为等腰三角形；以点为圆心，线段为半径画弧交直线于，则为等腰三角形；作线段的垂直平分线交直线于，则为等腰三角形． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求， ， 由勾股定理可得：， 由网格特点可得：； （2）解：如图，、即为所求 ． 18．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为上一点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）勾股定理逆定理直接证明即可； （2）设，则，在中，由勾股定理得，解得，则，即可求解周长． 【规范解答】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， 即 ∴是直角三角形，； （2）解：设，则， 由（1），得， ∴， 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ∴． ∴的周长为． 19．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在中，平分交于点，过点作交于点，并延长到点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，得，运用证明，即可作答． （2）结合得，再运用勾股定理列式得，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ， ， 平分 ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 设，则， ，， 则， ， ， ． 20．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）的长为；（3）的长为． 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． （1）根据等边三角形的性质，进而通过证明； （2）先证明，再通过勾股定理即可得解； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，则，进而证明，再通过勾股定理即可得解． 【规范解答】解：（1） 和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ； （2） ， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， 的长为； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示， ， 则， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即D、P、E在同一条直线上， ， 在中， ， 的长为：． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$