第10章 二元一次方程组-2024-2025学年人教版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材）

2024-2025学年人教版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷 第10章 二元一次方程组 试题满分：100分 难度系数：0.35（较难） 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2024秋•市北区期末）《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 解：设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为： ， 故选：． 2．（2分）（2024秋•朝阳区校级期末）关于、的方程组的解是，则的值是　　 A．4 B．9 C．5 D．11 解：把代入关于、的方程组得： ， 把①代入②得：， ， 故选：． 3．（2分）（2024春•上城区校级期中）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为　　 （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：，， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ，故（2）正确； ， ， 当时，则不成立， ， ， 、都是整数， 或或， 或或0或或或， 满足题意的、的值可以为，，，，，，故（3）错误； ，，， ， ， ， ，，对任意有理数、都成立， ，故（4）错误． 综上：正确的有①②． 故选：． 4．（2分）（2024春•西岗区期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意，可列二元一次方程组为　　 A． B． C． D． 解：设有辆车，人数为， 依题意得：． 故选：． 5．（2分）（2024秋•雁塔区校级期中）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去，可以将①②；淇淇说：要消去，可以将①②，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是　　 A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉和淇淇都对 D．嘉嘉和淇淇都不对 解：嘉嘉：将①②，可得，不可以消去， 淇淇：①②，可得，可以消去， 故嘉嘉不对，淇淇对， 故选：． 6．（2分）（2024春•临湘市期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 解：关于，的二元一次方程组， ①②得，， 即：， （1）①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即， ，故①正确， （2）②原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解满足， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，代入方程②得， ， 即； 因此④是正确的， 故选：． 7．（2分）（2021春•滨江区校级期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示．则； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：关于，的二元一次方程组， ①②得， ， 即， ①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即， ，故①正确； ②原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解满足， 因此②不正确； ③方程组， 解得， ， 因此③是正确的； ④方程组， 由方程①得，， 代入方程②得， ， ， 因此④是正确的． 故选：． 8．（2分）（2021春•萧山区期中）已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为　　 A． B． C． D． 解：①②得， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， 解得 所以这个公共解为 故选：． 9．（2分）（2024秋•高新区期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为　　 A． B． C． D． 解：设木长尺，绳子长尺，那么可列方程组为：． 故选：． 10．（2分）（2024春•恩施市校级期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是　　 A． B． C． D． 解：设甲有羊只，乙有羊只． 甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ； 乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．” ． 联立两方程组成方程组． 故选：． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2024秋•鄠邑区期末）已知关于，的方程值与关于，的方程组的解相同，则的值为 　　． 解：解方程组， 得， 把代入方程得， 解得， 把代入方程得， 解得， ． 故答案为：． 12．（2分）（2024春•仙桃校级期中）已知关于，的方程组的解的和是，则　2　． 解：， ①②得：， ， ， 关于，的方程组的解的和是， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 13．（2分）（2024春•章贡区期末）若是方程的一个解，则 　7　． 解：把代入方程，得 ， 所以， 即的值为7． 14．（2分）（2024春•商南县期末）小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡只，兔只，则根据题意可列方程组为 　　． 解：根据题意可列方程组为：． 故答案为：． 15．（2分）（2023秋•太湖县期末）已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　． 解：该方程变形为， 当时，解得， 将代入方程得，， 解得； 当时，解得， 将代入方程得，， 解得， 不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是， 故答案为：． 16．（2分）（2023秋•吉安县期末）某班为了奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲，乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则可根据题意可列方程组为　　． 解：设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则可根据题意可列方程组， 故答案为：． 17．（2分）（2023春•绍兴期中）五羊公共汽车公司的555路车在，两个总站间往返行驶，来回均为每隔分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则　4　分钟． 解：设路车的速度为，小宏的速度为． ， 解得， 代入第2个方程得， 故答案为4． 18．（2分）（2021春•沙坪坝区期末）端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为．为促进销售，将全部粽子包装成、、三种礼盒．礼盒有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒有4个肉粽、2个豆沙粽．则礼盒、礼盒、礼盒的盒数之比为 　　． 解：设该商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为个、个、个，礼盒、礼盒、礼盒的盒数分别为盒、盒、盒． 由题意，可得： 解得： ． 故答案为：． 19．（2分）（2021•九龙坡区校级模拟）某运输公司有核定载重量之比为的甲、乙、丙三种货车，该运输公司接到为武汉运输抗疫的医药物资任务，迅速按照各车型核定载重量将抗疫物资运往武汉，承担本次运输的三种货车数量相同．当这批物资送达武汉后，发现还需要一部分医药物资才能满足需要，于是该运输公司又安排部分甲、乙、丙三种货车进行第二次运输，其中乙型车第二次运送的物资量是还需要运送物资总量的，丙型车两次运送的物资总量是两次运往武汉物资总量的，甲型车两次运输的物资总量与乙型车两次运输的物资总量之比为，则甲型车第一次与第二次运输的物资量之比是　　． 解：设第一次甲种货车运输的总重量为，乙种货车运输的总重量为，丙种货车运输的总重量为，第二次三种货车运输的总重量为，根据题意得， 第二次乙种货车运输的总重量为， 第二次甲种货车运输的总重量为 ， 第二次丙种货车运输的总重量为 ， 于是有：， ， 甲型车第一次与第二次运输的物资量之比： ． 故答案为：． 20．（2分）（2024春•北碚区校级期中）五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的、、三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，、、三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的1.5倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的4倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为 　　． 解：设去年礼盒的售价为元盒，则礼盒的售价为元盒，去年，，三个礼盒的销量分别为盒、盒，盒， 去年的销售额分别为元，元，元． 的售价为元盒，去年的总销售额为元． 今年的售价为元盒，的销量为盒，根据题意得到表格： 去年售价 去年销量 去年销售额 今年售价 今年销量 礼盒与礼盒的销售额之比为， ， 解得：， 今年总的销售额上涨， ． ． ． 解得：． 今年礼盒与礼盒的售价之比为：， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024秋•福田区期末）解方程组： （1）； （2）． 解：（1）， ②①，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为； （2）， ②，得③， ①③，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 方程组的解为． 22．（6分）（2024秋•安宁区校级期末）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 解：（1）由题意，得， ①②，得，解得． 把代入①，得，解得． 这两个方程组的相同解为 （2）把代入得： 解此方程组， 得，， ． 23．（8分）（2023秋•吉州区期末）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：　 　． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值． 解：（1）由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 故答案为：． （2）二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ， 解得， ，． 24．（8分）（2024春•遵义期末）【阅读理解】 我们把四个数，，，排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ，则原方程组的解为 【类比应用】 （1）若二阶行列式，求的值； （2）已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 解：（1）由题意得： ， 解得：； （2）， ， ． 所以方程组的解为． 25．（8分）（2023春•德化县期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了，，三种产品．已知出售1件产品和2件产品共收入900元，出售2件产品和3件产品共收入1600元． （1）求产品和产品的单价； （2）若出售，两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售，两种产品各几件？ （3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件产品，赠送2件产品．某客户欲购买，，三种产品共50件，并要求产品的件数是产品的1.5倍，产品至少10件．企业赠送的产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分产品，若产品单价为100元，求客户支付的总金额． 解：（1）设产品的单价元，产品的单价元， 由题意得，， 解得， 答：产品的单价500元，产品的单价200元； （2）设出售产品件，则出售产品件， 由题意得， 化简得， ，为正整数， 或， 答：出售产品2件，产品7件或出售产品4件，产品2件； （3）设该客户支付的总金额为元，购买产品件，则产品件，产品件， 由题意得： ， ，， ， 为正整数，也是正整数， ， 当时，（元． 答：客户支付的总金额为8500元． 26． （8分）（2022春•广陵区期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求、的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数； （3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 解：（1）． 又，． ，； （2）设灯转动时间为秒， 又， ， ， ， ， ， ； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行． 依题意得 ①当时，， 解得； ②当时，， 解得； ③当时，， 解得（不合题意） 综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 27．（8分）（2024秋•长沙月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 解：设牧场原有草量为，每天生长的草量为，每头牛每天吃草量为，16头牛天吃完草． （1）由题意得： 由②①得 ④ 由③②得 ⑤ 将④代入⑤得，解得 （2）设至多放牧头牛，牧草才永远吃不完，则有，即每天吃的草不能多于生长的草，． 答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛． 28．（8分）（2024春•八公山区校级期末）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出、的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 解：（1）设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， ． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为 ， 则，解得， 则． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． （3）设小长方形的长为，宽为，根据题意得 ， 解得， ． 故答案为：64 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷 第10章 二元一次方程组 试题满分：100分 难度系数：0.35（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2024秋•市北区期末）《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024秋•朝阳区校级期末）关于、的方程组的解是，则的值是　　 A．4 B．9 C．5 D．11 3．（2分）（2024春•上城区校级期中）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为　　 （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2分）（2024春•西岗区期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意，可列二元一次方程组为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024秋•雁塔区校级期中）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去，可以将①②；淇淇说：要消去，可以将①②，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是　　 A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉和淇淇都对 D．嘉嘉和淇淇都不对 6．（2分）（2024春•临湘市期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 7．（2分）（2021春•滨江区校级期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示．则； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（2分）（2021春•萧山区期中）已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为　　 A． B． C． D． 9．（2分）（2024秋•高新区期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2024春•恩施市校级期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2024秋•鄠邑区期末）已知关于，的方程值与关于，的方程组的解相同，则的值为 　　． 12．（2分）（2024春•仙桃校级期中）已知关于，的方程组的解的和是，则　　． 13．（2分）（2024春•章贡区期末）若是方程的一个解，则 　　． 14．（2分）（2024春•商南县期末）小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡只，兔只，则根据题意可列方程组为 　　． 15．（2分）（2023秋•太湖县期末）已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　． 16．（2分）（2023秋•吉安县期末）某班为了奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲，乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则可根据题意可列方程组为　 　． 17．（2分）（2023春•绍兴期中）五羊公共汽车公司的555路车在，两个总站间往返行驶，来回均为每隔分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则　　分钟． 18．（2分）（2021春•沙坪坝区期末）端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为．为促进销售，将全部粽子包装成、、三种礼盒．礼盒有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒有4个肉粽、2个豆沙粽．则礼盒、礼盒、礼盒的盒数之比为 　　． 19．（2分）（2021•九龙坡区校级模拟）某运输公司有核定载重量之比为的甲、乙、丙三种货车，该运输公司接到为武汉运输抗疫的医药物资任务，迅速按照各车型核定载重量将抗疫物资运往武汉，承担本次运输的三种货车数量相同．当这批物资送达武汉后，发现还需要一部分医药物资才能满足需要，于是该运输公司又安排部分甲、乙、丙三种货车进行第二次运输，其中乙型车第二次运送的物资量是还需要运送物资总量的，丙型车两次运送的物资总量是两次运往武汉物资总量的，甲型车两次运输的物资总量与乙型车两次运输的物资总量之比为，则甲型车第一次与第二次运输的物资量之比是　　． 20．（2分）（2024春•北碚区校级期中）五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的、、三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，、、三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的1.5倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的4倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为 　　． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024秋•福田区期末）解方程组： （1）； （2）． 22．（6分）（2024秋•安宁区校级期末）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 23．（8分）（2023秋•吉州区期末）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：　　． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值． 24．（8分）（2024春•遵义期末）【阅读理解】 我们把四个数，，，排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ，则原方程组的解为 【类比应用】 （1）若二阶行列式，求的值； （2）已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 25．（8分）（2023春•德化县期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了，，三种产品．已知出售1件产品和2件产品共收入900元，出售2件产品和3件产品共收入1600元． （1）求产品和产品的单价； （2）若出售，两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售，两种产品各几件？ （3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件产品，赠送2件产品．某客户欲购买，，三种产品共50件，并要求产品的件数是产品的1.5倍，产品至少10件．企业赠送的产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分产品，若产品单价为100元，求客户支付的总金额． 26． （8分）（2022春•广陵区期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求、的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数； （3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 27．（8分）（2024秋•长沙月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 28．（8分）（2024春•八公山区校级期末）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出、的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　　； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$