精品解析：山东省青岛市城阳区实验高级中学2024-2025学年高二上学期12月质量监测数学试题

2024-2025高二质量监测数学试题 2024.12 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交点坐标以及直线的方向向量可求得结果. 【详解】已知直线经过两条直线的交点， 则，解得，故交点坐标为， 因为的一个方向向量为， 所以直线方程为，即， 故选：C. 2. 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由该双曲线焦点坐标在轴上可得，再利用焦点坐标与方程的关系计算即可得解. 【详解】由该双曲线的一个焦点坐标为，则， 由可得， 即有，解得. 故选：B. 3. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式基本量计算出，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】由于，故，所以． 故选：C 4. 椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据为正三角形得到点必在轴上，即可求出，再根据，即可求出点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率. 【详解】解：为正三角形 点必在轴上，且， ， 又， ， 又点在椭圆上， ， 化简得， 解得：， 又， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 5. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 6. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程写出其离心率，结合已知有双曲线的离心率为3，再由双曲线离心率求法求得，即可得渐近线. 【详解】由，知椭圆离心率，故双曲线的离心率为3， 所以，可得，故渐近线为. 故选：A 7. 设直线与椭圆的交点为，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求交点A,B得，再求与直线平行且与椭圆相切的直线方程，最后根据两直线距离判定点的个数. 【详解】由题意知，直线恰好经过椭圆的两个顶点，， 故， 若的面积为， 则（为边上的高）， 所以． 联立与椭圆方程， 得． 令， 得， 即当直线平移到直线或时， 与椭圆相切， 它们与直线的距离或， 当，所以有个点符合要求； 当，没有满足题意的点； 所以一共有个点符合要求． 故选：B. 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及两平行直线距离公式，考查基本分析求解能力，属于中档题. 8. 在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来，利用代换，方程没有变化，可知双纽线关于轴，轴，原点对称，再利用它与联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利用原点到的距离正好是,可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断. 【详解】①设到定点的距离之积为4， 可得.，整理得， 即曲线的方程为， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，用同时代换，方程没变，可知曲线关于原点对称， 图象如图所示： 所以①不正确，②正确； ③联立方程组，可得，即，所以， 所以直线与曲线只有一个交点，所以③正确. ④原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，则， 即曲线上存在点与原点重合时，满足，所以④正确. 故选:C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．错选不得分，漏选得部分分． 9. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点坐标，再依次判断四个选项的焦点坐标和顶点坐标，得到答案. 【详解】中令得，令得， 故与两坐标轴的交点坐标为， A选项，的两焦点坐标为，又为一个顶点，A正确； B选项，的两焦点坐标为，B错误； C选项，的两焦点坐标为，且为一个顶点，C正确； D选项，的两焦点坐标为，D错误. 故选：AC 10. 已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 若直线l与圆C相切，则 D. 当时，取y轴上一点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，看出关于的多项式恒等于0即可判断；对于B，把圆心坐标代入已知直线即可判断；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可判断；对于D，找对称点，转换为将军饮马模型即可求解. 【详解】解：对于A，直线l：k，即， 令，则，解得，， 所以直线|恒过定点，故A正确; 对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心， 所以，解得，故B错误; 对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1， 即，解得，故C正确; 对于D，当时，直线，点关于直线l的对称点， 则有，解得，即， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作圆的切线，直线：与平行，则实数__________，与间的距离为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】依题意设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出，即可求出直线、的方程，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】由题意知直线的斜率， 则设直线的方程为，即． 由与圆相切，得，解得， 所以的方程为，的方程为，则两直线间的距离为． 故答案为：； 13. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式，运算求解. 【详解】∵点在圆的外部，则，解得：且， ∴实数的取值范围是 故答案为：. 14. 已知椭圆，若斜率为1的动直线交椭圆于两点，记线段的中点为，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设为，，，联立方程得到，进而得到，即，消去得到点的轨迹方程，注意中点在椭圆内，求得的范围即可． 【详解】设直线的方程为，联立，得， 令，即， 设，，则， 所以，故，因为， 所以，则消去可得点的轨迹方程为. 故答案为：. 四、解答题：本小题共5小题，共77分． 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值. 【小问1详解】 依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 16. 如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. （1）设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）存在， （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设.结合，得，利用，计算得出结果； （2）利用空间向量法计算平面与平面所成角的余弦值； 【小问1详解】 存在点，且当时，. 由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 所以可求得 所以所以. 因为点在线段上，所以可设. 因为，所以点， 所以， 假设存在点，使得，则， 所以，解得，即所以， 所以存在点，且当时，. 【小问2详解】 由（1）得 所以，，，=. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面与平面所成的角为， 则=， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知O为坐标原点，，平面内一点，满足．设的轨迹为曲线，直线与曲线相交于M、N两点，且． （1）求曲线C的方程； （2）若直线l过点A，求直线l的方程； （3）若直线，都过点A，它们互相垂直且分别交曲线C于E，F，G，H四点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）； （2）或； （3）15. 【解析】 【分析】（1）设，利用两点间距离公式列式化简即得. （2）利用圆的性质求出点到直线的距离，再按斜率存在与否分类求解. （3）利用圆的性质求得，再求出四边形面积关系，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 设，由，得 化简得：，即， 所以曲线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线是以为圆心，为半径的圆， 由，得点到直线的距离， 点到直线的距离为1，因此直线的方程可以是； 当的斜率存在时，设的方程为，即， 由，解得，直线：， 所以直线l的方程或. 【小问3详解】 取线段的中点，当与点都不重合时，， 而，则四边形为矩形，， 当之一与点重合时，成立，因此， 而，， 则， 四边形的面积，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最大值15. 18. 设、、…、、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列． （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）将直线的倾斜角记为，则有， . 设的圆心为，则由题意得，得，同理， 因为圆与圆相互外切，所以， 从而，将代入，解得， 故为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）设的圆心为，则由题意得，得，同理，再根据两圆外切可得，从而可得，进而可证明； （2）根据等比数列的通项公式可得，从而，再结合错位相减法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，，故，从而， 记①， 则②， ①－②，得 ， . 19. 在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为. （1）求，的方程： （2）设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明； （3）过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值. 【答案】（1）， （2）只有一个公共点，证明： 根据题意，联立方程得 又因为，所以，， 所以，变形为，解得. 所以，方程组只有一解 所以，直线与椭圆只有一个公共点. （3） 证明：设， 由（2）知，直线与椭圆只有一个公共点. 所以，直线是过点的椭圆的切线方程. 所以，直线方程为，点在直线上，故 直线方程为，点在直线上，故 所以，直线的方程为，即. 由得 由得 所以 又点到直线的距离 又 所以，所围三角形面积为定值. 【解析】 【分析】（1）由题知双曲线焦点在轴上，椭圆焦点在轴上，再设出方程，待定系数求解即可； （2）联立方程，结合解方程判断即可； （3）设，，进而结合（2）中的结论得直线的方程为，再与双曲线的渐近线联立，求解，计算点到直线的距离，进而计算面积即可. 【小问1详解】 解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上， 设双曲线方程为， 因为的一条渐近线为 所以，，解得， 所以双曲线方程为 又因为椭圆的短轴长为2， 所以椭圆焦点在轴上， 设椭圆方程为， 所以，，.即椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合（1）中的结论，得到过点，的切线方程，进而得直线的方程，再与双曲线的渐近线联立放求解得，，再计算面积即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025高二质量监测数学试题 2024.12 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 6. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设直线与椭圆的交点为，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．错选不得分，漏选得部分分． 9. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 若直线l与圆C相切，则 D. 当时，取y轴上一点，则的最小值为 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作圆的切线，直线：与平行，则实数__________，与间的距离为__________． 13. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是__________． 14. 已知椭圆，若斜率为1的动直线交椭圆于两点，记线段的中点为，则点的轨迹方程为______. 四、解答题：本小题共5小题，共77分． 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 16. 如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. （1）设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知O为坐标原点，，平面内一点，满足．设的轨迹为曲线，直线与曲线相交于M、N两点，且． （1）求曲线C的方程； （2）若直线l过点A，求直线l的方程； （3）若直线，都过点A，它们互相垂直且分别交曲线C于E，F，G，H四点，求四边形面积的最大值． 18. 设、、…、、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列． （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为. （1）求，的方程： （2）设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明； （3）过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $