广西百色市普通高中2024-2025学年高二上学期期末教学质量调研测试数学试题

可 2024年秋季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试 高二数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答素标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的： 1.若直线1的倾斜角α=5 6 ,则直线1的斜率为() B.-5 C. D.5 3 2.双曲线9x2-16y2=144的虚半轴长为() A.16 B.8 C.4 D.3 3.如图，三棱锥O-ABC中，OA=a,O=b,O元=c,点N为BC中点，点M满足 OM=,则=（) A.a-6-8 B.-1415,1- -a+-b+-c 2 33 32 2 12÷1 -a--b+-c 2 D. 332 4.等差数列{an}的前n项和为S,其中S,=7,则a+a5的值是（) A.2 B.-2 C.2或-2 D.4 5.已知直线1的方向向量为n=(1,0,1),且1过点M(1,-1,-1),则点N(1,1,1) 到直线1的距离为() A.1 B.2 c.6 D.6 高二数学第1页共4页 6.已知圆0：x2+y2-2x=0和圆02：x2+y2+2x-4y+1=0,则() A.圆O与圆O,相切 B.两圆公共弦所在直线的方程为x一y+1=0 C.两圆的公切线段长为3 D.有且仅有一个点P,使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 7.设O为坐标原点，直线y=-√3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物 C交于M,N两点，1为抛物C的准线，则() A.p=3 B.IMV 3 C.以线段MF为直径的圆与y轴相切 D.△OMN为等腰三角形 8.已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an-2,若1a.≥21og2an+3对任意正整数n 恒成立，则实数1的取值范围是() A好 B.2号 c.> 2 D资 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的进项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知椭圆4x2+3y2=12,则下列正确的是（) A.焦点在x轴 B.焦点在y轴 C.焦距是2√7 D.焦距是2 10.如图，已知正方体ABCD-AB,CD的边长为2，E、F、G、H分别为CC1、BC、 CD、BB的中点，则下列结论正确的是() D A.BG⊥EF B B.AH∥平面AEF E C.异面直线4H与EF所成角的余弦值为 H D 5 D.点B到平面AEF的距离为2 B 11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，， 其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称 为“斐波那契数列.记斐波那契数列为{an},其前n项和为S。,则() A.a2=34 B.S2=32 C.a1+a2+a4+a6+…+a2024=a2025 D.a+a+a++aon azogdzo 高二数学第2页共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.己知空间向量a=(1,1,0),i=(-1,0,2),c=(1,2,2),且ka+b与c互 相平行，则实数k的值为 1 13.已知数列{an}的通项公式an= m+Vn+,则凡：等于 14.已知离心率为g的椭圆C:+ a2 b2 =1(a1>b>0)和离心率为e,的双曲线 x2 y2 a5b好 =1(a2>0,b2>0)有公共的焦点，其中F为左焦点，P是C与C2在第- 象限的公共点，线段PF的垂直平分线经过坐标原点，则2+e的最小值为」 四、解答题：本大题共5小题，共7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.(13分)已知直线l:(a+1)x-2y-1=0,直线l2:(2a-1)x-(a-2)y+1=0. (1)若Z∥12，求实数a的值： (2)若⊥12，求实数a的值。 16.(15分)已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0. (1)若直线1经过点A(-1,-3),且与圆C相切，求直线1的方程： (2)设点D(3,2),点E在圆C上，M为线段DE的中点，求M的轨迹方程， 高二数学第3页共4页 据田日全赶 理4第车有销自保 17.(15分)如图，在四棱锥A-BCDE中，AB=AC=CD=2BE=4,BE∥CD,CD⊥CB, AB⊥AC,平面ABC⊥平面BCDE,O为BC中点， (1)求证：AO⊥平面BCDE: (2)求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值； (3)问：线段AC上是否存在一点2，使O2∥平面ADE？ 如果存在，求织的值：如果不存在，请说明理由。 AC 18.17分)如图，已知椭圆C:二+发=1(a>b>0)上的点到其左焦点的最大距离和最小 距离分别为2V5+V)和2(5-v2),斜率为-3的直线1与椭圆C相交于M,N两点， 且1不经过点P(3,1), (1)求椭圆C的方程： (2)若MW=0,求直线1的方程； (3)当直线PM,PN与x轴均不垂直时，设直线PM 的斜率为k,直线PN的斜率为飞2，求证：kk2为定值. 19.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sm=am, 则称{an}是“H数列”. (1)已知数列{an}是等差数列，且a=0,求证：数列{an}是“H数列”： (2)若数列{an}的首项a1=1,且anh-2an=0,n∈N',证明：数列{an}不是“H 数列”： (3)设{a}是等差数列，其首项a=l,公差d<0若{an}是“H数列”，求d的值.。 高二数学第4页共4页 理4有车有销自样2024年秋季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试 高二数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 A 5 6 7 8 A D A C D C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.213.314.3+22 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.(13分) 解：(1)由4/川，则(a+1)×[-(a-2]+2(2a-1)=0,即a2-5a=0, 所以a=0或a=5, …(4分) 当a=0,:x-2y-1=0,12:x-2y-1=0,两线重合，不合题设；…(6分) 当a=5,:6x-2y-1=0,12:9x-3y+1=0,符合题设：(8分) 综上，a=5 。(9分) (2)由人⊥12，则(a+1)(2a-1)+2(a-2)=0,即2a2+3a-5=0, 所以(2a+5a-D=0,即a=- 三或a=1.…(13分) 16.(15分) (1)圆C的标准方程为：(x-2)2+(y-3)2=9 Q(-1-2)2+(-3-3)2=45>9,∴.点A(-1,-3)在圆外， 1 故过点A且与圆C相切的直线有2条，…(2分) ①当直线1的斜率不存在时，1：x=-1, 圆心C(2,3)到直线1的距离d=2-(-1)=3=r .直线1与圆C相切… (4分) ②当直线1的斜率存在时，可设直线：y+3=k(x+1),即-y+k-3=0.…(5分) 圆心C到直线的距离d2k-3+k-3斗k-可 2+1V2+1 由题意d=, B-=3,解得k= Vk2+1 …(7分) 此时1-y星-0，即1：3-4y-9=0 终上所述，直线1的方程为x=-1或3x-4y-9=0 (9分) (2)设E(x,y),M(x,y),因为M为DE的中点， (10分) +3 所以 2 2=xx=2x-3 +2 %=2y-2…… （12分) -=y [2 Q点B在圆C上(3。-2+(y。-3}=9,即(2x-5)2+(2y-5分2=9，…(14分) 为点M的轨迹方程（们5分） 17.(15分) 解：(1)因为AB=AC,O为BC中点，则AO⊥BC,(1分) 且平面ABC⊥平面BCDB,平面ABCI平面BCDE=BC,BCC平面ABC, 所以AO⊥平面BCDB.(3分) (2)以C为坐标原点，CB,CD分别为x,V轴，平行于AO的直线为=轴，建立空间直角坐标系， 则A220,22,E(4W2,2,0,D(0,4.0),0(22,0,0,(4分) 可得AE=(2N22,-2W2.ED=（-42.2,0) 设平国0的法胡=低小两品2+2。 令x=1,则y=2W2,:=3,可得元=(1,2V23)(8分) 由题意可知：平面ABC的法向量元=(0,1,0)： 2 则os阮=额=品-号9分) 所以平面ABC与平面ADB夹角的余弦值为 .(10分) 2 (3)线段AC上是否存在一点2，使OQ/1平面ADB. 设(a,0,a),(11分) 则00=(a-22,0,a), 若OQ11平面ADE,则001元， 可得00：元=a-2V2+3a=0,解得a= 2 即c0=(停，0，，cA=(2W2,0,2V2)可知C0=cA,(14分) 所以存在点Q,使O011平面ADB,此时49=三.（15分) 18.(17分) D解：由椭圆C:善后=1止的点到共左焦点的最大矩离和最小距离分别为25+月和25-V同。 [a+c=25+2 结合椭圆的几何性质，得 a-c=25-2 …（2分） a=2W5 解 c=22' 则b=√-c2=2, ,(4分) 故椭圆C的方程为广+ 124 =1… …(5分) 1 (2)解：设直线1的方程为y=-三x+m,M(,y),N(x,”2) 1 V=--x十 3 由 消去y,整理得4x2-6m+9m2-36=0.…（7分) +41 由△=(6m°-14(m2-4>0,得-45m<45 << (8分) 3 2，,=9m2-36 则书+5，- …(9分) 4 -写G+-4= 0.6-3m=0, 2 …（10分) 解得m=2或m=-2。(11分) 当m=2时，直线1的方程为y=-三x+2,此时直线/过点P(6,):…(12分) 31 1 当m=-2时，直线1的方程为y=-二x-2,满足题目条件 3 所以直线1的方程为y=-二X-2… (13分) 3 (3)证明：因为直线PM,PN均不与x轴垂直， 所以直线1：y=-。x+m不经过点(3,1)和(3,1)，则m≠0且m≠2，…(14分) 由(2)可知，k,=二当- +m-3+m-.5--+6- x-3x2-3 (3-3)(-3) x2-3(+x)+9 。936-m-+m-少3加-6m 9m-36-3.3m+9 9m2-18m3 为定值.…（们7分） 4 2 19.(17分) (1)因为4=0，设公差为d.所以s=nn-)d 2 令m=0-卫1，则meN,这时S=a,(2分) 2 即对任意正自然数儿，存在正自然数m,使得S.=an,所以，数列{a}是“H数列…(4分) (2)因为数列{a}的an1-2an=0,n∈NW,所以a1=2an…(5分) 所以{a}是以1为首项，2为公比的等比数列…(6分) 所以a=2”-1,Sn=2”-1…（8分） 假设数列{a,}是“H数列”，则对任意正整数n,总存在正整数m,使得S,=a, 当m=1时，有2”-1=1，则1=1；…(9分) 当m之2时，有2-1=2m1,左边为奇数，右边为偶数，该方程无解…(11分) 所以对任意正整数，不存在正整数m,使得S。=a。,所以数列{a}不是“H数列…(12分) (3)依题意，a,=1+m-1)d,3=n+m-)d. 。（13分) 2 若{a}是“H数列'，则对任意的neN,都存在keN使得a=Sn, 即1+k-1）d=n+m,12,所以k="+2-》+1,(15分) 2 d 2 又因为k∈N:eN,所以对任意的neN,"e乙，且d<0,则d=17分 2 4