第一章 三角形的证明（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 三角形的证明（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（　　） A． B． C． D． 3．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．在同一个三角形中，等边对等角 D．如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形 4．如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 5．如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，为边上的高，平分交于点E，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．36 D．30 7．如图，点 是边长为 的等边 内一点，连接 ，且 ，，则 的长是（    ）． A．2 B．1 C． D． 8．如图，在中，平分，过点P作，分别交，的延长线于点M，N，连接，平分．则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①④ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是 ． 10．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 11．如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，交于点于点．若，，则的长为 ． 12．如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点E，垂足为点D，如果，则 ． 13．如图，边长为的等边面积是，点D，E，F分别是边上的一个动点，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，在由边长均为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，求证：是直角三角形． 15．（5分）如图，在中，，求的度数．    16．（5分）如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 17．（5分）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 、 18．（5分）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 19．（5分）如图，在中，，，，，求证：是等腰三角形．    20．（6分）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 21．（6分）如图，在等边中，点D是的中点，，点E是延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 22．（7分）如图，在中，平分，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．（7分）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 24．（7分）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)若点在的角平分线上，求的值； (2)在整个运动中，求出当是等腰三角形时的值． 25．（8分）如图，在中，，是的平分线，以为边向外作等边，与交于点F．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，已知； ①求的度数； ②点G是上一点，连接，，若，求的值． 26．（10分）【问题提出】 （1）如图1，点D是边BC的中点，则 （填“、、”，下同）； 如图2，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，则 ； 【问题探究】 （2）如图3，点D是边上一定点，使用三角板在上作出点E，使得线段将分成面积相等的两部分，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图4，四边形是铁一曲江悦耕园的一块不规则空地，为了丰富悦耕园的农作物，“一米菜园”选修课的同学们决定在这块地里种植两种农作物，打算过点C修一条笔直的通道，以便同学们打理农作物，要求通道两侧种植农作物的面积相等．经测量米，米，，，．若将通道记为，请你画出通道，并求出通道的长． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 2．在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键． 根据直角三角形有一个角是直角，另外两个角互余可判定A选项；根据勾股定理可判定B，C选项；根据直角三角形两锐角互余可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：．∵， ∴， ∴， ∴， ∴不能判定为直角三角形，故不符合题意； ．∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴不能判定是直角三角形，故不符合题意； ．∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故符合题意； ．， ∴不能判定为直角三角形，故不符合题意， 故选：． 3．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．在同一个三角形中，等边对等角 D．如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、写出命题的逆命题 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据命题的题设与结论解答． 交换命题的题设与结论，写出逆命题即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故选：A． 4．如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案．熟知角平分线的性质是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，，， ， ， 故选：． 5．如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，为边上的高，平分交于点E，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．36 D．30 【答案】C 【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高．由角平分线的定义得到，利用含30度角的直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到，再利用三角形内角和定理求出，推出，求出，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．如图，点 是边长为 的等边 内一点，连接 ，且 ，，则 的长是（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．将绕点顺时针旋转，得到，证明是等边三角形，是直角三角形，运用勾股定理进行计算即可． 【详解】，， ， 等边 ， ， 将绕点顺时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 是直角三角形， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选A． 8．如图，在中，平分，过点P作，分别交，的延长线于点M，N，连接，平分．则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①④ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】由平分，，，可得，如图，作于，由，平分，可得，则，证明，则，，，即平分，可判断①的正误；同理，，则，，，即，可判断④的正误；由，，可得，可判断②的正误；由平分，平分，则，，设，，则，，，，可得，可判断③的正误． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 如图，作于， 又∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，即平分，①正确，故符合要求； 同理，， ∴，， ∴，即，④正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是 ． 【答案】/40度 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形等边对等角求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角是，则只能是顶角， ∴它的一个底角是， 故答案为：． 10．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 【答案】14 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴； 故答案为：14． 11．如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，交于点于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，利用“一锐角为的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”，通过等量代换可得． 【详解】解： 与相交于，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， ，， 在中，， 即，解得， ． 故答案为． 12．如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点E，垂足为点D，如果，则 ． 【答案】10 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂直平分线性质，勾股定理，三角形外角定理，连接，利用垂直平分线性质得到，利用三角形外角定理得到，利用勾股定理建立等式求解，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 的垂直平分线交于E，垂足为点D， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：10． 13．如图，边长为的等边面积是，点D，E，F分别是边上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题、等边三角形的性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称最短问题、平行线间的距离最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 作关于的对称点，连接，过作于，则， 的值最小，就是的长， 【详解】解：如图示，作关于的对称点，连接，过作于，则，    ∴，， ∵在等边中，， ∴， ∴ ∵边长为的等边面积是，， ，解得， ， 故当点D，E，F三点一线，并垂直于时， 的最小值是； 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，在由边长均为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．先根据网格利用勾股定理分别求出三角形三条边的平方，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】证明：根据题意得：，，， ， 是直角三角形． 15．（5分）如图，在中，，求的度数．    【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出，再根据三角形的内角和定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， 答：的度数为． 16．（5分）如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 【答案】证明过程见详解． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得即可得证． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ． 17．（5分）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查基本尺规作图-线段的垂直平分线，根据题意在边上求作一点，使，可知是作线段的垂直平分线，由垂直平分线尺规作图按步骤求解即可得到答案，熟记基本尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 18．（5分）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【详解】证明：，， ， 点D在边的垂直平分线上． 19．（5分）如图，在中，，，，，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理，计算的度数，确定即可得证． 本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20．（6分）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析． 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于点，于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为的平分线． 又∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分． 21．（6分）如图，在等边中，点D是的中点，，点E是延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得，由等边对等角得到，再根据，即可解答； （2）根据含的直角三角形的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∴， ， ， 又， ∴； （2）解：，， ， ， ， ∵点D是的中点， ∴ ∴． 22．（7分）如图，在中，平分，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再根据证明，即可得． （2）由角平分线的定义和平行线的性质可得，．在中，可得，则可得．又由角平分线的性质定理可得，由此可得，即可得解． 【详解】（1）证明：平分，，， ，． 又， ． ． （2）解：平分，， ，． ， ，， ， ． 在中，， ， ． 平分，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质、平行线的性质、证明两直角三角形全等、以及“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．（7分）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质， （1）根据题意可证是等腰直角三角形，则，，，再根据，，即可求证； （2）根据（1）的证明可得，是的垂直平分线，所以，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵点为的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下， 如图所示，连接，    由（1）可知，，是等腰直角三角形，， ∴，平分，点是的中点，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 24．（7分）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)若点在的角平分线上，求的值； (2)在整个运动中，求出当是等腰三角形时的值． 【答案】(1) (2)或或4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等： （1）过点P作于点M，如图所示，先利用勾股定理求出，证明，得到，，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点P作于点M，如图所示：    在中，，，， 由勾股定理得：， 点P在的角平分线上， ， ，， 又， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ∴， ∴， ∴若点P在的角平分线上，则t的值为； （2）解：当作为底边时，如图所示：    则，过点P作于M， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得： ∴； 当作为腰时，如图所示：      当，此时； 当时， ， ， ∴， 综上分析可知，t的值为或或4． 25．（8分）如图，在中，，是的平分线，以为边向外作等边，与交于点F．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，已知； ①求的度数； ②点G是上一点，连接，，若，求的值． 【答案】(1)13 (2)①；②10 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出； （2）①根据等腰三角形的性质求出，根据等边三角形的性质求出，求出，最后根据求出结果即可； ②证明是等边三角形，得出，证明，得出，根据直角三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：是的平分线， ， ， ， 在Rt中，， 是等边三角形， ． （2）解：①， ， 是等边三角形， ， ， ， ； ②∵， ， ， 是等边三角形， ， 是的平分线， ， ， ， 即， ， 由①知，， 在和中，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 26．（10分）【问题提出】 （1）如图1，点D是边BC的中点，则 （填“、、”，下同）； 如图2，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，则 ； 【问题探究】 （2）如图3，点D是边上一定点，使用三角板在上作出点E，使得线段将分成面积相等的两部分，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图4，四边形是铁一曲江悦耕园的一块不规则空地，为了丰富悦耕园的农作物，“一米菜园”选修课的同学们决定在这块地里种植两种农作物，打算过点C修一条笔直的通道，以便同学们打理农作物，要求通道两侧种植农作物的面积相等．经测量米，米，，，．若将通道记为，请你画出通道，并求出通道的长． 【答案】（1）； ；（2）见解析；（3）10.5米 【知识点】利用平行线间距离解决问题、根据三角形中线求面积、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用三角形面积公式、线段中点定义、平行线间的距离求解即可； （2）取的中点F，连接，，过A作交于E，连接即可；利用（1）的结论可得，，则可求； （3）连接，过B作的平行线，与的延长线相交于E，连接，由（1）可知，取中点F，连接，由（1）知平分的面积，则，延长，相交于G，过点C作于H，先求出，，利用含的直角三角形性质求出，利用勾股定理求出，含的直角三角形性质得出，利用勾股定理可得，求出，，利用含的直角三角形性质求出，利用勾股定理求出，根据，求出，利用中点定义求出，然后在中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：（1）设中边上的高为h， ∴，， ∵点D是边BC的中点， ∴， ∴， 故答案为：； ∵， ∴直线m上任意一点到直线n的距离为定值， ∴则与的高相等， 又两三角形的低均为， ∴， 故答案为：； （2）如图，取的中点F，连接，，过A作交于E，连接， 则即为所求， 理由：∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段将分成面积相等的两部分； （3）连接，过B作的平行线，与的延长线相交于E，连接， 由（1）知， ∴， 取中点F，连接， 由（1）知：平分的面积， ∴， ∴为所求通道， 延长，相交于G，过点C作于H， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即通道的长为10.5米 【点睛】本题考查了平行线间的距离，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造含的直角三角形是解题的关键． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$