8.1 相交线 课件 2024-2025学年青岛版七年级数学下册

8.1 相交线 第8章相交线与平行线 学习目标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 邻补角、对顶角 对顶角的性质 垂直 垂线的画法及基本事实 垂线段及点到直线的距离 学习目标 知识点 邻补角、对顶角 知1－讲 1 1. 相交线与平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种 （如图8 .1- 1）。 感悟新知 知1－讲 如果两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交 线。这个公共点叫作它们的交点。如图8 .1- 1 ① ，直线a 与直线b 相交，点O 是它们的交点。 在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线。如图 8.1- 1 ②，直线a 与直线b 平行。 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 平行线必须满足三个条件： (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)两条直线。要特别注意“在同一平面内”这一前提。 2. 判断两条线段、射线之间的位置关系就是判断它们所在直线的位置关系。 感悟新知 知1－讲 2. 邻补角和对顶角 如图8 .1-2，任意画两条直线AB，CD 相交于点O，形成了四个角。 ∠ 1 和∠ 2 具有公共顶点O，有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角。如图8 .1- 2 中的∠ 2 和∠ 3 也互为邻补角。 感悟新知 知1－讲 ∠ 1 和∠ 3 具有公共顶点O，并且∠ 1 的两边分别是∠ 3 的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角。如图8 .1- 2 中的∠ 2 和∠ 4 也互为对顶角。 特别提醒：邻补角和对顶角都是成对出现的，指两个角之间的位置关系。一个角的邻补角有两个，对顶角只有一个。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 单独的一个角不能称为邻补角或对顶角 感悟新知 知1－讲 特别解读 对顶角的条件： 1. 两个角有公共顶点； 2. 两个角的两边互为反向延长线。 感悟新知 知1－练 例 1 如图8.1-3，直线a，b，c 相交于一点，下面互为对顶角的一组角是( ) A. ∠ 1 与∠ 2 B. ∠ 1 与∠ 4 C. ∠ 1 与∠ 3 D. ∠ 2 与∠ 3 感悟新知 知1－练 解题秘方：判断两个角是不是对顶角，要紧扣对顶角的定义。 解：∠ 1 与∠ 2 仅一边互为反向延长线，因此不是对顶角；∠ 1 与∠ 4 的两边都不互为反向延长线，因此不是对顶角；∠ 1 与∠ 3 符合对顶角的定义；∠ 2 与∠ 3 的两边都不互为反向延长线，因此不是对顶角。 答案：C 感悟新知 知1－练 解题通法 判断两个角是否互为对顶角，一看它们有没有公共顶点；二看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就是看这两个角是不是两条直线相交所形成的没有公共边的两个角。 感悟新知 知2－讲 知识点 对顶角的性质 2 性质：对顶角相等。 符号语言：如图8 .1-4 ，因为∠ 1 与∠ 2是对顶角， 所以∠ 1= ∠ 2. 感悟新知 知2－讲 性质推导 如图8.1-4，因为∠ 1 与∠ 3 互补，∠ 2与∠ 3 也互补，所以根据同角的补角相等，得∠ 1= ∠ 2。 感悟新知 知2－练 如图8.1-5，已知直线AB，CD，EF 相交于点O， ∠DOE=90°，∠ AOE=36°，求∠ BOC 的度数。 例 2 解题秘方：根据对顶角的性质求角的度数。 感悟新知 知2－练 解：方法一 因为直线AB，CD 相交于点O， 所以根据对顶角相等，得∠ BOC= ∠ AOD。 因为∠ DOE=90°，∠ AOE=36°， 所以∠ AOD= ∠ DOE+ ∠ AOE=126°。 所以∠ BOC=126°。 感悟新知 知2－练 方法二 因为直线AB，CD，EF 相交于点O， 所以根据对顶角相等，得∠COF= ∠DOE，∠BOF=∠AOE。 因为∠ DOE=90°，∠ AOE=36°， 所以∠ COF=90°，∠ BOF=36°。 所以∠ BOC= ∠ COF+ ∠ BOF=126°。 感悟新知 知2－练 解法提醒 在进行计算和说明时，常用“对顶角相等”将要求的角转化成与已知条件相关的角，即用对顶角构建已知条件和待求结论之间的“桥梁”。 感悟新知 知3－讲 知识点 垂直 3 1. 定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。在图8 .1- 6 中，直线AB 与CD 互相垂直，记作 “AB ⊥ CD”或“CD ⊥ AB”，读作“AB 垂直于CD”或“CD 垂直于AB”，它们的交点O 叫作垂足。 感悟新知 知3－讲 特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角。 2. 推理格式 如图8 .1-6，因为∠ AOC=90°（已知）， 所以AB ⊥ CD（垂直的定义）。 反过来：因为AB ⊥ CD（已知）， 所以∠ AOC=90°（垂直的定义）。 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1. 垂直和垂线是两个不同的概念.垂直是两条直线的位置关系，是一种特殊的相交，其特点是夹角为直角；垂线是一条直线。 2. 画一条线段或射线的垂线，都是指画它们所在直线的垂线。 感悟新知 知3－练 如图8.1-7，直线AB，CD相交于点O，OE ⊥ AB 于点 O，且∠ COE=40°，求∠BOD的度数。 例 3 解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质将要求的角向已知角转化。 感悟新知 知3－练 解：方法一 因为OE ⊥ AB， 所以根据垂直的定义，得∠ AOE=90°。 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°-40°=50°。 因为∠ BOD= ∠ AOC， 所以∠ BOD=50°。 感悟新知 知3－练 方法二 因为OE ⊥ AB， 所以根据垂直的定义，得∠ BOE=90°。 根据平角的定义，得∠ COE+ ∠ BOE+ ∠ BOD=180°。 所以∠ BOD=180°-90°-40°=50°。 感悟新知 知3－练 解法提醒 两条直线互相垂直，所夹的四个角都等于90°，为求角的度数提供了四个已知角的度数，为从未知角向已知角的转化创造了条件。 感悟新知 知3－练 将一张长方形纸片按如图8.1-8 所示的方式折叠，EF，EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系。 例 4 解题秘方：利用折叠的性质求出两条直线的夹角，根据夹角是90° 判断两条直线的位置关系。 感悟新知 知3－练 解：因为三角形A′EF 是由三角形AEF 折叠得到的，四边形B′EGC′是由四边形BEGC 折叠得到的， 所以根据折叠的性质，得∠AEF= ∠A′EF，∠BEG=∠B′EG。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 由折叠可知三角形AEF 与三角形A′EF的大小、形状完全相同，四边形BEGC 与四边形B′EGC′的大小、形状完全相同，所以∠AEF= ∠A′EF，∠BEG=∠B′EG。 感悟新知 知3－练 所以∠ A′EF= ∠ AEA′，∠ A′EG= ∠ A′EB。 所以∠ FEG= ∠ A′EF+ ∠ A′EG= ∠ AEA′+ ∠ A′EB= (∠ AEA′+ ∠ A′EB)= ×180°=90°。 所以EF ⊥ EG。 感悟新知 知4－讲 知识点 垂线的画法及基本事实 4 1. 垂线的画法 经过一点（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线的步骤如下： 感悟新知 知4－讲 步骤 内容 图示 一落 让三角板的一条直角边落在已知直线上, 与已知直线重合 过点P 作直线l 的垂线 点P 在直线l 外 点P 在直线l 上 二移 沿已知直线移动三角板，使另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 感悟新知 知4－讲 2. 垂线的基本事实 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 特别提醒：过“一点”，这一点可以在直线上也可以在直线外。 感悟新知 知4－讲 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上。 感悟新知 知4－练 在图8.1-9 中，分别过点P 作AB 的垂线。 例 5 感悟新知 知4－练 解题秘方：利用三角板根据画垂线的步骤进行操作。 解：如图8 .1- 1 0 。 感悟新知 知4－练 解法提醒 画垂线时是画实线，如需要延长线段或反向延长射线时，则要用虚线画出延长线。 感悟新知 知5－讲 知识点 垂线段及点到直线的距离 5 1. 垂线段 (1)定义：过直线外一点作一条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。 如图8 .1-11，点A 是直线l 外的一点， 画AD ⊥ l，垂足为点D，线段AD 叫作 点A 到直线l 的垂线段。 ~~~~ 斜线段有无数条，但垂线段只有一条 感悟新知 知5－讲 (2)基本事实：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 (3)垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系 ①区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段。 ②联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直。 感悟新知 知5－讲 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离。 ~~~~~~~~~~~~~~~ 图示 如图8.1-12。 点P到直线l的距离为 线段PM 的长度。 感悟新知 知5－讲 (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度。 (2)点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 感悟新知 知5－讲 特别提醒 垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量。 感悟新知 知5－练 (1)如图8.1-13，在三角形ABC中，∠ ACB=90°，CD ⊥ AB，垂足为点D。若AC=4 cm，BC=3 cm，AB=5 cm，则点A 到直线BC的距离为______cm， 点B 到直线AC 的距离为______cm， 点C 到直线AB 的距离为______ cm。 例 6 4 3 2. 4 感悟新知 知5－练 (2)点P 为直线m 外一点，A，B，C 为直线m 上的三个点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距离( ) A. 等于4 cm B. 等于2 cm C. 小于2 cm D. 不大于2 cm 感悟新知 知5－练 解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段。 解：(1)根据点到直线的距离的定义可知， 点A 到直线BC 的距离是线段AC 的长，为4 cm 。 点B 到直线AC 的距离是线段BC 的长，为3 cm 。 点C 到直线AB 的距离是线段CD 的长。 因为三角形ABC 的面积= AC·BC= AB·CD， 所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm 。 感悟新知 知5－练 解：(2)点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短的。从已知条件看，PC 是三条线段中最短的，但不一定是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离不大于2 cm 。 答案：D 感悟新知 知5－练 方法点拨 直角三角形中斜边上的高可以用面积法求出，即两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。 感悟新知 知5－练 特别提醒 求点到直线的距离的关键就是找准“垂线段”。注意在给出的线段中最短的那条不一定是垂线段。 感悟新知 相交线 相交线 特例 定义 性质 点到直线的距离 基本事实 画法 基本事实 垂线段 垂线 垂直 对顶角 课堂小结 $$