第一章 整式的乘除（单元重点综合测试A卷，北师大版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 整式的乘除（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等于（   ） A． B． C．1 D． 2．太阳的半径约为，将数据696000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．的计算结果是(   ) A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（ ） A． B．2 C． D．3 7．若则（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为 ． 10．计算： 11．已知，，求 ． 12．已知代数式是一个完全平方式，则实数a的值为 ． 13．边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：. 15．（5分）用乘法公式计算：． 16．（5分）化简： 17．（5分）已知一个长方形的面积是，它的一边长为，用含a、b的式子表示长方形的另一边长．（需化简） 18．（5分）已知，求和的值． 19．（5分）土星可以近似的看做是球体，它的半径约为，试求土星的体积．（取） 20．（6分）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 21．（6分）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 22．（7分）如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，宽为的小长方形铁片． (1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式） (2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差． 23．（7分）小明发现：三个连续的正整数，中间正整数的平方的3倍与2的和等于这三个正整数的平方和． (1)验证：请把表示成三个连续的正整数的平方和． (2)探究：设小明“发现”中的中间正整数为n，请用含n的式子表示“发现”内容，并说明“发现”中结论的正确性． 24．（7分）图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，请回答以下问题（单位： ） (1)求杯子的容积；（用含的代数式表示） (2)当，时，一共需要多少个这样的杯子． 25．（8分）小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1) (2) 26．（10分）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)观察图②，请你写出之间的等量关系是 ； (2)根据（1）中的等量关系解决如下问题： 若，，求的值； 类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (3)根据图③，写出一个代数恒等式： ； (4)已知，，利用上面的规律求的值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂的计算，根据计算即可求解，掌握负指数幂的计算方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B ． 2．太阳的半径约为，将数据696000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将696000用科学记数法表示为：． 故选：A． 3．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式 【分析】按照单项式与单项式的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，故不正确；     B．，正确； C．与不是同类项，不能合并，故不正确；     D．，故不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式与单项式的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．的计算结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，熟练掌握平方差公式的运算法则是解题的关键； 通过变形将其转化为平方差公式直接解答即可． 【详解】解： ； 故选；D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用幂的乘方的逆运算法则和同底数幂的除法的逆运算法则将化简为，然后代入即可解答． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故选：A． 6．若，则的值为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 根据可得． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．若则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】根据多项式乘以多项式展开，比较系数解答即可． 本题考查了多项式乘以多项式，恒等式的性质，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：D． 8．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查整式乘法的规律，根据杨辉三角图形规律第三项系数为1到指数前一位的整数和求解即可得到答案； 【详解】解：由杨辉三角得， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 由此可知的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为：， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，正确确定的值是解题的关键． 运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，表示形式为，n的取值方法：当原数的绝对值小于1时，把原数变为a，小数点向右移动位数的相反数就是n的值，由此即可求解． 【详解】解： 故答案为： ． 10．计算： 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 根据单项式乘以多项式的运算求解即可． 【详解】解： ． 11．已知，，求 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，通过对完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握幂的运算法则及完全平方公式是解题的关键． 由，可得，，然后将变形为，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， 故答案为：． 12．已知代数式是一个完全平方式，则实数a的值为 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．直接利用完全平方公式求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 13．边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据图列出代数式并掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 由图可知，阴影部分的面积=两个正方形的面积之和-两个三角形的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可得阴影部分的面积= =． 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：. 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查零指数幂，有理数的乘方运算，负整数指数幂． 根据相关法则进行计算即可． 【详解】解： 15．（5分）用乘法公式计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便计算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 16．（5分）化简： 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简以及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的乘除法及加减运算法则是解题的关键．直接利用整式的混合运算法则化简． 【详解】原式 ． 17．（5分）已知一个长方形的面积是，它的一边长为，用含a、b的式子表示长方形的另一边长．（需化简） 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查多项式除以单项式．利用长方形的面积除以边长进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：长方形的另一边长为． 18．（5分）已知，求和的值． 【答案】； 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】利用同底数幂的乘法得到，利用同底数幂的除法得到，代入数值计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴； ∵，， ∴． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．（5分）土星可以近似的看做是球体，它的半径约为，试求土星的体积．（取） 【答案】土星的体积约为立方千米 【知识点】有理数乘法的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数、积的乘方运算 【分析】本题考查了球的体积公式，积的乘方，有理数的乘法的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据球的体积公式计算即可． 【详解】解： 答：土星的体积约为立方千米． 20．（6分）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 21．（6分）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：． 又∵ ，， ． ． （2）解：∵ ，， ． ． 22．（7分）如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，宽为的小长方形铁片． (1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式） (2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分别表示出长方形的面积，剪去铁片的面积，再根据整式的减法运算法则计算即可； （2）根据题意，运用整式的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为，剪去铁片的面积为， ∴， ∴剩余部分（即阴影部分）的面积为； （2）解：． 23．（7分）小明发现：三个连续的正整数，中间正整数的平方的3倍与2的和等于这三个正整数的平方和． (1)验证：请把表示成三个连续的正整数的平方和． (2)探究：设小明“发现”中的中间正整数为n，请用含n的式子表示“发现”内容，并说明“发现”中结论的正确性． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】整式的混合运算 【分析】（1）依据题意，分别计算，进而可以得解； （2）首先写出结论，然后分别计算等式的左边与右边，进而可以得解． 本题主要考查了整式的混合运算，解题时要熟练掌握并准确进行计算． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：由题意，． 上式右边左边． 等式成立． 24．（7分）图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，请回答以下问题（单位： ） (1)求杯子的容积；（用含的代数式表示） (2)当，时，一共需要多少个这样的杯子． 【答案】(1) (2)一共需要个这样的杯子 【知识点】多项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，多项式除以单项式的应用： （1）根据圆柱体积计算公式求解即可； （2）先求出瓶子的容积为，再用瓶子的容积除以杯子的容积即可得到答案． 【详解】（1）解：， 杯子的容积是． （2）解：瓶子的容积为， 当，时， ， 一共需要个这样的杯子． 25．（8分）小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 26．（10分）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)观察图②，请你写出之间的等量关系是 ； (2)根据（1）中的等量关系解决如下问题： 若，，求的值； 类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (3)根据图③，写出一个代数恒等式： ； (4)已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）观察图大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，根据完全平方公式变形即可求解． （3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式． （4）利用上题得出的关系式，进行变换，最终求出答案． 【详解】（1）解：用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：， （2）由题（1）知： ∵，， （3）根据题意得：． （4）由（3）可知， 把，，代入得： ． ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$