8.2 平行线及其判定 课件 2024-2025学年青岛版七年级数学下册

8.2 平行线及其判定 第8章相交线与平行线 学习目标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 平行线的定义 平行线的画法 平行线基本事实 利用同位角判定两直线平行 利用内错角判定两直线平行 利用同旁内角判定两直线平行 垂直于同一条直线的两条直线平行 学习目标 知识点 平行线的定义 知1－讲 1 1. 定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫作平行线。 特别提醒：平行线定义的三要素： (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线。 2. 表示方法：用“∥”表示平行，如图8 .2-1， 记作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，读作“AB 平行于CD” 或“CD 平行于AB”。 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系：(1)相交；(2)平行。 2. 重合的直线视为一条直线，不属于相交或平行中任何一种位置关系。 感悟新知 知1－练 例 1 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1)不相交的两条直线是平行线； (2)在同一平面内，两条不相交的线段是平行线。 解题秘方：根据平行线的定义进行辨析。 感悟新知 知1－练 解：(1)不正确。理由：它缺少了“在同一平面内”这一条件。(2)不正确。理由：定义中是两条不相交的“直线”，而不是“线段”，线段不相交不代表线段所在的直线不相交。 感悟新知 知1－练 特别解读 1. 此题运用定义法。要注意平行线定义的三要素。 2. 两条线段或射线不相交，不代表线段或射线所在的直线不相交。 感悟新知 知2－讲 知识点 平行线的画法 2 1. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落：把三角板的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺； 三移：把三角板沿着直尺移动使其经过已知点； 四画：沿三角板的一边画直线。 此直线即为已知直线的平行线。 感悟新知 知2－讲 2. 图示（如图8 . 2 - 2） 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 经过直线上一点不能作该直线的平行线。 2. 画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线。 3. 借助三角板画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行。 感悟新知 知2－练 读下列语句，并画出图形。 直线AB，CD是两条直线，P 是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P 与AB平行，直线MN经过点P 与CD垂直。 例 2 解题秘方：按照题目要求，结合垂线和平行线的画法进行画图。 感悟新知 知2－练 解：分情况讨论，当直线AB，CD 相交时，如图8 .2- 3 ①， 当直线AB，CD 平行时，如图8 .2- 3 ②。 感悟新知 知2－练 方法提醒 根据题目要求画图时，要注意画出的图形要符合题目要求，若题目中没有交待清楚的，要考虑各种情况，如本题中直线AB，CD 之间没有指明位置关系，所以画图时这两条直线可以平行也可以相交。 感悟新知 知3－讲 知识点 平行线基本事实 3 1. 平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 特别提醒：平行线基本事实Ⅰ的前提是“过直线外一点”，若点在该直线上，则不可能有平行线。 2. 平行于同一条直线的两条直线平行。 表达方式：如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b。 感悟新知 知3－讲 特别解读 “ 有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性。 感悟新知 知3－练 如图8.2-4，直线a∥b，b∥c，直线d 与a 相交于点M。 (1)试判断直线a，c 的位置关系，并说明理由； (2)判断直线c 与d 的位置关系，并说明理由。 例 3 感悟新知 知3－练 解题秘方：根据平行线基本事实Ⅰ判定两条直线的位置关系。 解：(1)因为a ∥ b，b ∥ c，所以a ∥ c。 理由：平行于同一条直线的两条直线平行。 (2)因为直线a，d 都过点M，且a ∥ c，所以d 与c 相交。 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 感悟新知 知3－练 方法点拨 判定两条直线平行的方法： 1. 若涉及相交问题，则用平行线的定义判定； 2. 若涉及三条直线的位置关系，则常用“平行于同一条直线的两条直线平行”判定。 感悟新知 知4－讲 知识点 利用同位角判定两直线平行 4 如图8 .2- 5 ，直线AB，CD 被直线EF 所截，形成了八个小 于平角的角，简称“三线八角”。 1. 定义：如图8 .2-5，∠ 1 与∠ 5 都在直线 AB，CD 的同侧，并且都在直线EF 的 同旁，具有这种位置关系的一对角叫作 同位角。 ~~~~ 同位角的顶点不是公共的 感悟新知 知4－讲 图8.2- 5 中，∠ 2 与∠ 6，∠ 3 与∠ 7， ∠ 4 与∠ 8 也是同位角。 特别提醒： (1)同位角指的是两个角之间的位置关系， 不是大小关系； (2)在“三线八角”中，有4 对同位角。 感悟新知 知4－讲 特别解读 1. 同位角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线。 2. “同”表示“相同”，“位”表示“位置”。“同位角”可理解为“相同位置的两个角”，即如果一个角在左上方，那么它的同位角也应在左上方。以此类推，同位角的位置关系具有“同上、同左”“同上、同右”“同下、同左”“同下、同右”的特征。 感悟新知 知4－讲 2. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同旁，在两 条被截直线的侧 形如字母 “F”(或 倒置、反置、旋转) 3. 平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。 感悟新知 知4－讲 特别解读：(1)构成同位角的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等时，这两条直线才平行。 (2)“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的(数量)关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行)。它是构建起角的数量关系与直线的位置关系的桥梁。 感悟新知 知4－讲 4. 数学表达式：如图8. 2-6， 因为∠ 1= ∠ 2 (已知)， 所以a∥b(同位角相等，两直线平行)。 感悟新知 知4－讲 方法总结 1. 根据直线的位置关系判定两直线平行： (1)同一平面内不相交的两条直线平行。 (2)平行于同一条直线的两条直线平行。 2. 根据角的数量关系判定两直线平行：同位角相等，两直线平行。 感悟新知 知4－练 如图8.2-7 所示的四个图形中，∠ 1 和∠ 2 不是同位 角的是( ) 例 4 感悟新知 知4－练 解题秘方：根据同位角的位置特征进行识别。 解：根据同位角的定义，找出“三线”之后再看是否为“F”形即可判定。选项B 中的∠ 1 与∠ 2 由四条直线构成，分别为PA，PC，QB，QD，不满足“三线”的条件，故选项B 中的∠ 1 与∠ 2 不是同位角；A，C，D 三个选项中的∠ 1，∠ 2 均满足同位角的条件。故选B。 答案：B 感悟新知 知4－练 方法点拨 判断两个角是不是同位角，首先要看这两个角是不是两条直线被第三条直线所截形成的，即是不是“三线八角”中的两个角；其次看这两个角是不是具有不同的顶点；最后看这两个角的位置特征是否满足同位角的位置特征：三线成“F”形。 感悟新知 知4－练 如图8.2-8，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，∠ 1+ ∠ 2=180°，AB 与CD平行吗？请说明理由。 例 5 解题秘方：找出一对同位角，通过已知条件说明这对同位角相等来说明两条直线平行。 感悟新知 解：AB ∥ CD。理由如下： 因为∠ 1+ ∠ 2=180°（已知）， ∠ 2+ ∠ 3=180°（邻补角的定义）， 所以∠ 1= ∠ 3（同角的补角相等）。 所以AB ∥ CD（同位角相等，两直线平行）。 知4－练 感悟新知 知4－练 方法点拨 判断两条直线是否平行，当题中涉及角的关系时，可通过找出这两条直线被第三条直线所截得的一对同位角，并利用相关角的条件判断其是否相等，如果相等，那么这两条直线平行。 感悟新知 知5－讲 知识点 利用内错角判定两直线平行 5 1. 定义 如图8.2-9，∠3 与∠5 都在直线AB，CD 之间，并且分别在直线EF 的两旁，具有这种 位置关系的一对角叫作内错角。图8.2- 9 中， ∠4 与∠6 也是内错角。 特别提醒：(1)内错角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；(2)在“三线八角”中，有2 对内错角。 感悟新知 知5－讲 特别解读 1. 内错角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线。 2. “内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为交错，即位于第三条直线的两侧.内错角的位置关系具有“同内、异侧”的特征。 感悟新知 知5－讲 2. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 内错角 在截线两侧，在两 条被截直线之间 形如字母“Z”(或 倒置、反置、旋转) 3. 平行线判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行。 感悟新知 知5－讲 特别解读： (1)“ 内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的。 (2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得的内错角，再说明这两条直线平行。 感悟新知 知5－讲 4. 数学表达式 如图8 .2- 1 0 ，因为∠ 1= ∠ 2（已知）， 所以a ∥ b（内错角相等，两直线平行）。 感悟新知 知5－讲 特别解读 构成内错角的两条被截直线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截直线才平行。 感悟新知 知5－练 如图8.2-11，试找出图中与∠2是同位角、内错角的角。 例 6 解题秘方：根据同位角及内错角的位置特征进行识别。 感悟新知 解：在直线AF，AG 被直线DE 所截的这个基本图形中，可以看出∠ 6 和∠ 2 处于“同一个位置”，因此∠ 2 的同位角为∠ 6。根据内错角的位置特征可知∠ 2 和∠ 8 是一对内错角。 故∠ 2 的同位角为∠ 6，∠ 2 的内错角为∠ 8。 知5－练 感悟新知 知5－练 方法点拨：判断两个角是不是内错角，首先应该把这两个角放在同一个“三线八角”的基本图形中，其次看这两个角是否各有一条边在同一直线上，若有，这条直线就是截线，而这两个角各剩下的一条边所在的直线就是两条被截的直线，最后看这两个角的位置特征是否满足内错角的特征：三线成“Z”形。 感悟新知 知5－练 方法点拨 寻找已知角的同位角、内错角时，先要寻找基本图形，即弄清哪条直线是截线，哪两条直线是被截直线，然后利用同位角、内错角的位置特征去寻找符合该特征的角。 感悟新知 知5－练 如图8.2-12，在三角形ABE中已知∠ADE=60°，DF平 分∠ADE，∠ 1=30°，试说明：DF∥BE。 例 7 解题秘方：先找出DF 和BE 这两条直线被另一条直线所截形成的一对内错角，然后利用条件说明这对内错角相等，再说明这两条被截直线平行。 感悟新知 解：因为DF 平分∠ ADE（已知）， 所以∠ EDF= ∠ ADE（角平分线的定义）。 又因为∠ ADE=60°（已知）， 所以∠ EDF=30°。 又因为∠ 1=30°（已知）， 所以∠ EDF= ∠ 1。 所以DF ∥ BE（内错角相等，两直线平行）。 知5－练 感悟新知 知5－练 方法点拨 要判定两直线平行可以通过说明同位角相等或内错角相等来实现，至于到底选用同位角还是选用内错角，要看具体的题目，要尽可能与已知条件联系。 感悟新知 知6－讲 知识点 利用同旁内角判定两直线平行 6 1. 定义：如图8.2-13，∠ 3 与∠ 6 都在直线AB， CD 之间，并且都在直线EF 的同旁，具有 这种位置关系的一对角叫作同旁内角。 图8.2-13中，∠ 4 与∠ 5也是同旁内角。 特别提醒：(1)同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；(2)在“三线八角”中，有2 对同旁内角。 感悟新知 知6－讲 特别解读 1. 同旁内角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线。 2. “同旁”即在第三条直线的同一旁，“内”表示夹在两直线之间，同旁内角的位置关系具有“同内、同侧”的特征。 感悟新知 知6－讲 2. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同旁内角 在截线同侧,在两条被截直线之间 形如字母“U”（或 倒置、反置、旋转） 3. 平行线判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 感悟新知 知6－讲 特别解读：利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等。 4. 数学表达式 如图8.2- 14 ，因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)， 所以a ∥ b (同旁内角互补，两直线平行)。 感悟新知 知6－讲 方法点拨 用数量关系判定两直线平行的方法： 在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立，则利用对顶角、邻补角等相关知识，可得到另两个结论也成立。 感悟新知 知6－练 如图8.2-15，∠ B 与图中哪些角是同旁内角？分别 指出它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同旁内角？ 例 8 解题秘方：先找出∠B 的两边，然后按照同旁内角的位置关系找出另一条直线，再确定另一个角。 感悟新知 解：∠ B 与∠ EAB 是直线DE，BC 被直线AB 所截形成的同旁内角；∠ B 与∠ CAB 是直线AC，BC被直线AB 所截形成的同旁内角；∠ B 与∠ ACB 是直线AB，AC 被直线BC 所截形成的同旁内角；∠ B 与∠ BFE 是直线AB，EF被直线BC 所截形成的同旁内角。 知6－练 感悟新知 知6－练 方法点拨 “三线八角”由三条直线构成，其中两个角（同位角、内错角或同旁内角）共线的一条边所在的直线是截线，两个角不共线的另一条边所在的两条直线是被截直线。 感悟新知 知6－练 如图8.2-16，直线AE，CD 相交于点O，如果∠A=110°，∠ 1=70°，就可以说明AB ∥CD，这是为什么？ 例 9 解题秘方：找出AB，CD 这两条直线被直线AE 所截形成的同旁内角，利用两个角之间的数量关系来说明这两条直线平行。 感悟新知 解：因为∠ 1= ∠ AOD，∠1= 70°， 所以∠ AOD= 7 0°。 又因为∠ A=110°， 所以∠ A+ ∠ AOD=180°。 所以AB ∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）。 知6－练 感悟新知 知6－练 方法点拨 1. 本题运用了数形结合思想。平行线的判定是由角之间的数量关系到直线的位置关系的判定。 2. 说明两直线平行时，一般都要结合对顶角、邻补角等知识来说明。 感悟新知 知7－讲 知识点 垂直于同一条直线的两条直线平行 7 1. 判定方法：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 简称：在同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线平行。 数学表达式：如图8.2- 17 ，直线a，b，c 在同一平面内。因为a ⊥ b，a ⊥ c，所以b ∥ c。 感悟新知 知7－讲 2. 拓展：a，b，c 为同一平面内的三条不重合的直线，在下列结论中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c. 以其中任意两个结论为条件，总能推出第三个结论成立，即如果a ⊥ b，a ⊥ c，那么b ∥ c；如果a ⊥ b，b ∥ c，那么a ⊥ c；如果a ⊥ c，b ∥ c，那么a ⊥ b。 感悟新知 知7－讲 特别解读 三条直线“在同一平面内”是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立。 感悟新知 知7－练 如图8.2-18，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1=∠2. (1)请说明AB ∥CD的理由； (2)试问BM与DN是否平行？ 请说明理由。 例 10 解题秘方：根据平行的几种判定方法的模型，从图中找出符合判定的条件，选用合适的方法进行说明。 感悟新知 解：(1)因为AB ⊥ EF，CD ⊥ EF， 所以AB ∥ CD（在同一平面内，垂直于同一条直线的两 条直线平行）。 (2) BM ∥ DN. 理由如下： 因为AB ⊥ EF，CD ⊥ EF， 所以∠ ABE= ∠ CDE=90°。 知7－练 感悟新知 又因为∠ 1= ∠ 2， 所以∠ ABE—∠ 1= ∠ CDE —∠ 2（等式的性质）， 即∠ MBE= ∠ NDE。 所以BM ∥ DN（同位角相等，两直线平行）。 知7－练 感悟新知 知7－练 方法归纳 判定两条直线平行的方法： 1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线； 2. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； 感悟新知 知7－练 3. 同位角相等，两直线平行； 4. 内错角相等，两直线平行； 5. 同旁内角互补，两直线平行； 6. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。 感悟新知 平行线及其判定 平 行 线 关键点 画法 判定 平行线基本事实 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 课堂小结 $$