第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试A卷，北师大版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知与互为余角，则（  ） A． B． C． D． 2．将一副三角板按如图所示摆放，已知的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点、分别在、上，连接、，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． （题4图）（题6图）（题7图） 5．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 6．如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 7．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图．若在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是 ． 10．如图，已知，若，，则的度数为 ．    11．如图，，，若，则的度数为 ． 12．不相等的两角、的两边分别平行，且角比角的2倍多，则角的大小是 ． 13．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，，若，求的度数． 15．（5分）如图，一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯的角度分别为和，量得，要保持两次拐弯前后的路线平行，的度数应为多少？为什么？ 16．（5分）如图，这是一把剪刀示意图，若，求的度数． 17．（5分）如图，l为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A处引到田里去，请在河边l上求作一点P，使水渠最短，作出水渠的示意图． 18．（5分）如图，已知直线，，且，，求的度数． 19．（5分）如图，中， D为边上一点， 过D作，交于E； F为边上一点，连接并延长， 交的延长线于G，． 求证：平分． 20．（6分）如图，直线，连接平分．交AB于点E，过点E作．交CD于点F． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 21．（6分）如图，已知，是的平分线，过点O作． (1)的补角是______，的余角是______； (2)若，求的度数． 22．（7分）如图，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（7分）如图，已知，将两块直角三角尺（）按如下方式进行摆放，恰好满足． (1)求的度数． (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 24．（7分）已知，点E是平面内一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 25．（8分）如图，已知直线，且分别交，于A，B两点，点P在上，分别交，于C，D两点，连接，． (1)试写出，，之间的关系，并说明理由； (2)如果当点P在A，B两点之间运动时，问：，，之间的关系是否发生变化？ (3)如果点P在A，B两点的外侧运动时，试探究，，之间的关系（点P和A，B不重合）． 26．（10分）【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点． 【猜想验证】（1）如图1，转至某刻，，，则____； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯射线到达之前，灯转动几秒时，？ 【实践创新】（3）交相辉映处，饱读长安城，小明设想处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由．    6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知与互为余角，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题主要考查了余角的定义，度数之和为90度的两个角互余，据此可得答案． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， 故选：B． 2．将一副三角板按如图所示摆放，已知的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角，利用同角的余角相等，即可解答，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意可得， ， 故选：C． 3．下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 4．如图，点、分别在、上，连接、，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 运用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的方法进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，不符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，符合题意； 故选：D ． 5．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 【答案】B 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解、平行公理的应用、两直线平行同位角相等 【分析】此题考查了垂线和平行线．熟练掌握平行公理，垂线性质，点到直线的距离、平行线的判定，是解题的关键． 根据平行公理，垂线性质，点到直线的距离、平行线的判定，，逐一判断求解即可． 【详解】解：A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项A不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选项B符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是这点到这条直线的距离， 故选项C不符合题意； D、直线，，在同一平面内，若，，则． 故选项D不符合题意． 故选：B． 6．如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．由已知和邻补角互补易得，则，所以，再根据对顶角相等可得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 7．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 如下图，根据平行线的性质可得，由题意知，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， 由题意知， ， 故选：B． 8．如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作的平行线，即，根据平行线的性质得，，由，得，再由，即可得到． 【详解】如图，分别过点C、D作的平行线，即， 根据平行线的性质得，， ， ， 又， ， 即， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图．若在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短，进行解答即可． 【详解】解：在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 10．如图，已知，若，，则的度数为 ．    【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质可得，再根据，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， 故答案为：． 11．如图，，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．不相等的两角、的两边分别平行，且角比角的2倍多，则角的大小是 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先证明两边分别平行的两个角互补或相等，据此可得，再根据题意得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：如图1所示，， ∴， ∴； 如图2所示，， ∴， ∴； ∵不相等的两角、的两边分别平行， ∴、这两个角互补， ∴， ∵角比角的2倍多， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和角的和差，根据平行线的性质、折叠的性质和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，，若，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由内错角线段，两直线平行得到，再由两直线平行，内错角线段即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（5分）如图，一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯的角度分别为和，量得，要保持两次拐弯前后的路线平行，的度数应为多少？为什么？ 【答案】117°，理由：同旁内角互补，两直线平行 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠BCD的度数． 【详解】解：根据题意得，ABCD，∠ABC=63° ∴∠BCD=180°-∠ABC=117°， ∴要保持两次拐弯前后的路线平行，∠BCD为117°，理由是同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键． 16．（5分）如图，这是一把剪刀示意图，若，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查对顶角、补角，根据对顶角相等、互为补角的两个角和为180度，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以． 17．（5分）如图，l为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A处引到田里去，请在河边l上求作一点P，使水渠最短，作出水渠的示意图． 【答案】见解析 【知识点】垂线段最短、画垂线 【分析】本题考查作垂线，垂线段最短，过点A作于点P，即为所求． 【详解】解：如图，过点A作于点P，即为所求． 18．（5分）如图，已知直线，，且，，求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等等知识，根据平行的性质可得，进而可得，问题随之得解． 【详解】∵，， ∴． ∵，． ∴， ∴． 19．（5分）如图，中， D为边上一点， 过D作，交于E； F为边上一点，连接并延长， 交的延长线于G，． 求证：平分． 【答案】证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等，先由平行线的性质得到，再根据已知条件结合对顶角相等可得，则可证明平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分． 20．（6分）如图，直线，连接平分．交AB于点E，过点E作．交CD于点F． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据得到，结合得到，即可得到答案； （2）根据得到，，根据平分得到，即可得到，即可得到答案． 本题考查平行线的性质，垂线的定义以及角平分线的定义，关键是平行线性质的应用． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2），， ，， 平分， ， ， ， ． 21．（6分）如图，已知，是的平分线，过点O作． (1)的补角是______，的余角是______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；， (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题主要考查补角，余角的定义，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据补角，余角的定义即可得到答案； （2）根据题意得到，再由角平分线的定义以及平行的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据补角，余角的定义，的补角是， 是的平分线， ， 故的余角是和； （2）解：， ． ， ， ， ， ， 是的平分线， ． ， ， ． 22．（7分）如图，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）根据可判定，得到，结合，得到，证明可证； （2）根据平行线的性质，垂直的意义，计算解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，垂直的意义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（7分）如图，已知，将两块直角三角尺（）按如下方式进行摆放，恰好满足． (1)求的度数． (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． （1）先求得，再根据两直线平行、同旁内角互补求得即可求解； （2）由（1）知，可得，可得到结论． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：． 理由：由（1）知， ∵， 所以， 所以． 24．（7分）已知，点E是平面内一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质求角度．熟练掌握平行线的判定与性质，并正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点E作，则，，，根据，计算求解即可； （2）如图2，过点E作，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点E作． 图1 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：如图2，过点E作， 图2 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 25．（8分）如图，已知直线，且分别交，于A，B两点，点P在上，分别交，于C，D两点，连接，． (1)试写出，，之间的关系，并说明理由； (2)如果当点P在A，B两点之间运动时，问：，，之间的关系是否发生变化？ (3)如果点P在A，B两点的外侧运动时，试探究，，之间的关系（点P和A，B不重合）． 【答案】(1)；见解析 (2)，，之间的关系不发生变化，证明见解析 (3)如果点P在A，B（点P和A，B不重合）两点的外侧运动时，，，之间的关系是或 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线定理、平行线的性质，（1）过P作，由，则，根据平行线的性质可得，，即可求解； （2）作，由，则，根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； （2）解：，，之间的关系不发生变化， 仍是； 作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：当P点在A的外侧时，如图2，过P作，交于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当P点在B的外侧时，如图3，过P作，交于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴如果点P在A，B（点P和A，B不重合）两点的外侧运动时，，，之间的关系是或． 26．（10分）【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点． 【猜想验证】（1）如图1，转至某刻，，，则____； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯射线到达之前，灯转动几秒时，？ 【实践创新】（3）交相辉映处，饱读长安城，小明设想处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；（2）45；（3）补全图形见解析，，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念， （1）过点G作，根据平行线的性质得到，然后求出，得到，即可求出； （2）设灯转动几秒时，，根据题意得到，，，，然后求出，然后分点G在左边和点G在右边两种情况，分别根据列方程求解即可； （3）首先根据题意画出图形，然后根据题意表示出，，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点G作，    ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）设灯转动几秒时， ∵灯、灯转动的速度分别是每秒2度、每秒4度 ∴， ∴， ∴当灯射线到达时，秒 ∴ 如图所示，当点G在左边时．    由（1）可得， ∴ 解得，不符合题意，舍去， 如图所示，当点G在右边时．    由（1）可得， ∴ 解得，符合题意， ∴灯转动45秒时，； （3）如图所示，    ∵，分别平分，， ∴， ∴ 由（1）可得，， ∴ ∴． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$