1.2.3运用乘法公式进行计算和推理（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 题型一 利用乘法公式计算 1．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算． 5．计算：． 6．计算． 7．． 8．用乘法公式计算：． 9．计算． (1)； (2)； (3)． 题型二 利用乘法公式进行简便运算 10．计算题： 11．试确定的值． 题型三 利用乘法公式化简求值 12．先化简，再求值：，其中． 13．先化简，再求值：，其中． 14．先化简，再求值：，其中． 15．先化简，再求值：，其中． 题型四 乘法公式的应用 16．设，则（    ） A． B． C． D．0 17．有三个连续偶数，中间的偶数为，则它们的积为（    ） A． B． C． D． 18．小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 19．某厂原来生产一种边长为a厘米的正方形地砖，现将地砖的一边扩大3厘米，另一边缩短3厘米，改成生产长方形地砖．若材料的成本价为每平方厘米b元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（    ） A．增加了9b元 B．增加了3ab元 C．减少了9b元 D．减少了3ab元 20．如图，某广场是一块长为，宽为的长方形地块，广场中心有一个雕像，现在政府对广场进行改造，计划将雕像四周（阴影部分）进行绿化，已知雕像所占地块是一个边长为的正方形，则绿化的面积是多少平方米？并求出当时的绿化面积． 题型五 乘法公式运算的错解复原问题 21．小红在计算时，解答过程如下： 解： ① ② ③ ④ 小红的解答过程，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 22．已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． 在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； (2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． 题型六 整式乘法的混合运算 23．整式与的差是（    ） A． B． C． D． 24．小明化简的过程如下： 解:…① …② …③ …④ 在化简过程中，他是从第（  ）步开始出错的？ A．① B．② C．③ D．④ 25．计算下列各题 (1)； (2)． 26．有这样一道题：“化简求值：，其中．”小浩同学在解题时错误地把“”抄成了“”，但显示计算的结果也是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？ 27．下列各式从左到右的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 28．现定义运算“”，对于任意有理数，，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 29．下面是某同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)以上解题过程中，第一步需要依据______公式和_____公式进行运算，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程． 30．计算∶ (1) (2) 31．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你展开右边检验这个等式的正确性． (2)利用上面的式子计算：． 32．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； 按照以上的规律，解决下列问题： (1)写出第等式：__________； (2)直接写出你猜想的第个等式，并证明该等式（用含字母的式子表示等式）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 题型一 利用乘法公式计算 1．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式，能熟记公式的特点是解答本题的关键． 根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式法则分别化简各项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 2．下列计算中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的运用平方差公式与完全平方公式进行简便运算是解本题的关键． 【详解】解：①，原计算错误； ②，原计算错误； ③，计算正确； ④，计算正确； ∴正确的为③④，共个， 故选B． 3．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式的结构特征变形即可． 【详解】解： 故选：B． 4．计算． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，连续运用平方差公式求解即可． 【详解】 ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，先前面两个括号利用平方差公式计算，结果再和后面的括号利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 6．计算． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，掌握乘法公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】 ． 7．． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 8．用乘法公式计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算可得，熟记公式是解题的关键． 【详解】解： ． 9．计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可； （）利用平方差公式展开即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型二 利用乘法公式进行简便运算 10．计算题： 【答案】330 【分析】本题主要考查了分数的化简以及完全平方公式，分母部分利用完全平方公式：化简；分子部分观察数字规律，将改写成，再提取公因数进行简便运算； 【详解】 11．试确定的值． 【答案】55 【分析】本题考查了利用平方差公式变形求值，灵活运用平方差公式是解题关键．去括号，然后两两结合用平方差公式变形得到，再计算即可． 【详解】解： ． 题型三 利用乘法公式化简求值 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式混合运算及化简求值，先计算完全平方式，再去括号、合并同类项，最后将代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练的进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，平方差公式进行化简，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式展开，再合并同类项化简，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型四 乘法公式的应用 16．设，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据已知等式得到，再利用平方差公式进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴ = = = = 故选A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式的运用． 17．有三个连续偶数，中间的偶数为，则它们的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出三个连续偶数，求出之积即可． 【详解】解：根据题意得：（2n-2）•2n•（2n+2）=2n（4n2-4）=8n3-8n． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式得出、所对应的值，再进行化简计算即可．掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵展开后得到， ∴， ∵， 又∵展开后得到， ∴， ∴， ∴的值为． 故选：C． 19．某厂原来生产一种边长为a厘米的正方形地砖，现将地砖的一边扩大3厘米，另一边缩短3厘米，改成生产长方形地砖．若材料的成本价为每平方厘米b元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（    ） A．增加了9b元 B．增加了3ab元 C．减少了9b元 D．减少了3ab元 【答案】C 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可做出判断． 【详解】解：根据题意得：a2b-（a+3）（a-3）b=a2b-a2b +9b=9b， 则减少了9b元． 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．如图，某广场是一块长为，宽为的长方形地块，广场中心有一个雕像，现在政府对广场进行改造，计划将雕像四周（阴影部分）进行绿化，已知雕像所占地块是一个边长为的正方形，则绿化的面积是多少平方米？并求出当时的绿化面积． 【答案】绿化的面积是，当时的绿化面积为． 【分析】本题考查了整式的混合运算以及列代数式、求代数式的值，表示出长方形的面积，再表示出正方形的面积，两个面积相减即可得出绿化的面积，再把a，b的值代入即可得出绿化面积，熟记正方形面积和长方形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意，得绿化的面积为 ， 当时， ， 答：绿化的面积是，当时的绿化面积为． 题型五 乘法公式运算的错解复原问题 21．小红在计算时，解答过程如下： 解： ① ② ③ ④ 小红的解答过程，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据整式混合运算法则，进行判断即可． 【详解】解： ， 因此小红的解答过程，开始出错的一步是②，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式，． 22．已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． 在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； (2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． 【答案】(1)①；过程见解析 (2)淇淇说得对， 【分析】此题考查了整式的混合运算和倒数、相反数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． （1）通过计算化简该算式进行判断、求解； （2）分别令a与b互为相反数和互为倒数倒数进行计算、辨别． 【详解】（1）出现错误的是①， ∵ 出现错误的是①， 故答案为：①； （2）淇淇说得对， 当a与b互为相反数时， 多项式 ； 当a与b互为倒数时， 多项式 淇淇说得对． 题型六 整式乘法的混合运算 23．整式与的差是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，列出算式－，再根据整式混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意，得 － ＝n2-1-n2-n =-n-1， 故选：C． 【点睛】本题考查整式混合运算的应用，熟练掌握平方差公式，单项式乘以多项式法则是解题的关键． 24．小明化简的过程如下： 解:…① …② …③ …④ 在化简过程中，他是从第（  ）步开始出错的？ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据整式的混合运算法则即可求出答案． 【详解】 ， 他是从第②步开始出错 故选：B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 25．计算下列各题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并即可求解； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ． 26．有这样一道题：“化简求值：，其中．”小浩同学在解题时错误地把“”抄成了“”，但显示计算的结果也是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的化简，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 去括号，然后合并同类项对原式进行化简，然后根据化简结果进行分析解释． 【详解】解： = = = =， ∵化简后，原式结果为常数，与的取值无关， ∴小浩同学在解题时即便是错误地把“”抄成了“”，显示计算的结果也是正确的． 27．下列各式从左到右的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式．分别根据完全平方公式逐一判断即可得出正确选项．熟记公式是解答本题的关键． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项正确，符合题意； D．互为相反数，故本选项错误，符合题意． 故选：C． 28．现定义运算“”，对于任意有理数，，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则，整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 = = =． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是准确理解新定义并能熟练应用． 29．下面是某同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)以上解题过程中，第一步需要依据______公式和_____公式进行运算，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)平方差，完全平方，一； (2)，解答过程见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）直接根据平方差公式和完全平方公式作答即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式正确化简，再去括号合并同类项即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步需要依据平方差公式和完全平方公式进行运算， ∵， ∴从第一步开始出现错误， 故答案为：平方差，完全平方，一． （2）解：原式 ． 30．计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 31．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你展开右边检验这个等式的正确性． (2)利用上面的式子计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）利用完全平方公式先去括号，然后合并同类项化简即可证明结论； （2）根据（1）所求可得原式，据此计算求解即可． 【详解】（1）证明： ， ∴式子正确； （2）解： ． 32．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； 按照以上的规律，解决下列问题： (1)写出第等式：__________； (2)直接写出你猜想的第个等式，并证明该等式（用含字母的式子表示等式）． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据题目中给出的等式寻找规律得到每一部分的规律总结出整个式子的规律，通过规律即可得到第个等式； （）根据上面得到的规律，将规律数替换成，使之由特殊到一般规律即可； 本题了数与代数式中的规律，读懂题意，找出等量关系以及利用整式的乘法公式进行化简证明是解题的关键． 【详解】（1）由第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 则第个等式：； 故答案为：； （2）由第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 则第个等式：； ； 则第个等式：； 证明：左边， 右边， 左边右边 所以等式成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$