1.1.5 多项式的乘法（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

1.1.5 多项式的乘法 题型一 计算单项式乘多项式及求值 1．把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．先化简后求值：，其中． 题型二 单项式乘多项式的应用 4．如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 5．我国在西昌卫星发射中心成功将“天通一号”发射升空，某校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型截面图：下面为等腰梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)请用含a，b的式子表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 题型三 利用单项式乘多项式求字母的值 6．若恒成立，求的值． 7．若的展开式中不含项，求a的值． 8．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 题型四 计算多项式乘多项式及化简求值 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．化简求值：，其中，． 题型五 （x+a）(x+b)型多项式乘法 11．若，则代数式的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 12．观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 题型六 已知多项式的乘积不含某项求字母的值 13．如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 14．若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 题型七 多项式乘多项式与图形的面积 15．一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（        ） A． B． C． D． 16．如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 17．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 题型八 多项式乘法中的规律性问题 18．观察下列各式： ①； ②； ③； ④ 请回答下列问题： (1)总结公式：______； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值； (3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值． 19．观察下列各式，回答问题： ①； ②； ③； …… (1) ； (2)按此规律，第n个等式是：                                    ； (3)的值的末位数字是 ． 题型九 整式乘法混合运算 20．代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 21．计算 (1)； (2)． 22．已知，，．求： (1) (2) 23．对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 24．已知，化简代数式：并求出它的值． 25．李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 26．已知，． (1)求证：代数式的值与的取值无关； (2)若，求的值． 27．先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 28．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 29．[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.5 多项式的乘法 题型一 计算单项式乘多项式及求值 1．把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算，是单项式与多项式相乘，可以根据乘法分配律进行计算． 【详解】解：把代数式变形为所运用的根据是分配律， 故选：C． 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．利用单项式乘多项式的计算方法：先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算，逐一计算即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 3．先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式及合并同类项，熟练掌握单项式乘以多项式及合并同类项是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项，得到，再将代入计算，即得答案． 【详解】 ， 当时，原式． 题型二 单项式乘多项式的应用 4．如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项： （）根据进行计算即可； （）把代入求值即可． 【详解】（1） ； （2）解：当时， ． 5．我国在西昌卫星发射中心成功将“天通一号”发射升空，某校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型截面图：下面为等腰梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)请用含a，b的式子表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2)这个截面的面积为 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，单项式乘以单项式运算的应用，解题的关键是正确列出算式． （1）根据梯形、长方形和三角形的面积公式列式计算即可； （2）直接把，代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时，． 答：这个截面的面积为． 题型三 利用单项式乘多项式求字母的值 6．若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 7．若的展开式中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为0，即可得出答案． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ， 解得：． 【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 8．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 题型四 计算多项式乘多项式及化简求值 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多项式乘法，合并同类项的运算法则，理解运算法则是解答关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后再合并同类项来求解； （2）根据多项式乘多项式的运算法则来求解； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后再合并同类项来求解； （4）根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后再合并同类项来求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 10．化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型五 （x+a）(x+b)型多项式乘法 11．若，则代数式的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12．观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 题型六 已知多项式的乘积不含某项求字母的值 13．如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项的问题，先列式求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项，得到一次项的系数为，据此即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴． 14．若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 题型七 多项式乘多项式与图形的面积 15．一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的面积，整式的乘法运算，根据大矩形的面积的求法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、利用“长宽”，即可求出大矩形的面积为：，原选项不符合题意； 、根据大正方形面积两个矩形面积之和：，原选项不符合题意； 、不能表示大矩形的面积，原选项符合题意； 、根据大正方形面积四个矩形面积之和：，原选项不符合题意； 故选：． 16．如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 【答案】(1) (2)81 【分析】本题主要考查整式乘除的应用，熟练掌握整式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据题意表示出面积，再进行化简即可； （2）代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴草坪总面积为平方米． （2）解：当，时，原式， ∴草坪总面积为81平方米． 17．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)50 【分析】（1）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （2）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （3）根据（2）的等式代入解答即可． 本题考查了公式与几何图形的关系，熟练掌握公式的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，整体大长方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （2）解：根据题意，整体大正方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴． 题型八 多项式乘法中的规律性问题 18．观察下列各式： ①； ②； ③； ④ 请回答下列问题： (1)总结公式：______； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值； (3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值． 【答案】(1)； (2)m的值为6或； (3)n的值为22或8或或 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据已知算式的规律可得出答案； （2）根据（1）中的规律得，，再根据a，b，m均为整数，①，；②，；③，；④，，据此可得m的值； （3）根据中的规律得，，，再根据a，b，m，n均为整数，且得①，；②，；③，；④，，据此可得n的值． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 以此类推，， 故答案为： （2）解：， 由（1）得：，， ，b，m均为整数， 有以下四种情况： ①，；②，；③，；④，， ①当，时，， ②当，时，， ③当，时，， ④当，时，， 综上所述：m的值为6或 （3）解：，， ，，， 又，b，m，n均为整数，且， 有以下四种情况： ①，；②，；③，；④，， ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，， 综上所述：n的值为22或8或或 19．观察下列各式，回答问题： ①； ②； ③； …… (1) ； (2)按此规律，第n个等式是：                                    ； (3)的值的末位数字是 ． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】本题考查等式和数字的规律探索， （1）观察已知的3个等式，即可确定出所求式子的结果； （2）观察一系列等式得到一般性规律，即可确定出所求式子的结果； （3）先根据（2）得出的规律求出它的值，再根据末位数字的循环规律即可得解； 解题的关键是根据已知式子确定一般规律． 【详解】（1）解：依题意，得： ， 故答案为：； （2）∵， ， ， ， …… 再结合（1）的结论，得： 第n个等式是：（为正整数）， 故答案为：（为正整数）； （3）解： ， ∵，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， …… ∴结果的末位数学有一个循环的规律，即，，，这四个数字依次循环， ∵， ∴的末位数字是， ∴的值的末位数字是． 故答案为：． 题型九 整式乘法混合运算 20．代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则先展开，再合并，由此即可求解． 【详解】解： ， ∴结果只与有关， 故选：B ． 21．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．已知，，．求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键． （1）代入代数式，去括号，然后合并同类项，即可求解； （2）代入代数式，利用多项式乘多项式去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是自定义下的整式的加减乘除混合运算，以及解方程组，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列式，然后再计算乘法，后算加减即可； （2）根据题意列出方程组，再解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为：． 24．已知，化简代数式：并求出它的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法和加减法，化简求值，幂的乘方的逆用，熟练掌握知识点是解题的关键．先逆用幂的乘方求出，再利用整式的乘法和加减法的运算法则化简，最后代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 原式 ， 当， 原式 25．李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【答案】小聪说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式的乘法和合并同类项，根据题意将代数式展开，将同类项合并即可知小聪说的有道理． 【详解】解：小聪说得有道理． 则此题的结果与a、b无关． 故小聪说得有道理． 26．已知，． (1)求证：代数式的值与的取值无关； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查整式的乘法以及化简求值． （1）将代数式化简即可求解； （2）计算，进而将字母的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：证明： ∴代数式的值与的取值无关 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ 27．先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 28．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 29．[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$