精品解析：江苏省G4联盟(苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学)2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

2024—2025学年度第一学期12月阶段调研 高三数学试卷 2024.12 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必要条件 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 江苏省不仅经济发达，旅游资源也极其丰富.现有甲、乙、丙三位游客慕名来江苏旅游，准备从拙政园、瘦西湖、中华麋鹿园、环球恐龙园等四个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三个人中恰有两人选择同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（ ） A. 3.25 B. 3.4 C. 3.7 D. 3.85 7. 若，为锐角，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 将图象上点的横坐标变为原来的，得到的函数在上递减 10. 数列、的通项公式分别为、，它们的公共项按从小到大排列组成数列，数列、、的前项之和分别为、、，则（ ） A. B. C. 数列的第项最小 D. 数列是递减数列 11. 已知点P在圆：上，直线与圆的一个交点为A，与x轴交于B，圆O在A处的切线交x轴于C，则（ ） A. 点C的横坐标为4 B. 的一个可能值 C. ，外接圆的圆心距最小值为2 D. 若A在y轴上的射影为H，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置. 12. 若，，且，则的最大值为______. 13. 中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 14. 已知，函数，对于任意实数、方程有且只有一个实数根，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围为_________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角、、的对边分别为、、，且. （1）求； （2）若边上的高为，且，求. 16. 如图，已知四边形为等腰梯形，且，，.E为CD中点，将沿BE 翻折到，使 （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 17. 动点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知是与轴的交点，且在左边，点是轨迹上一点且在第一象限，直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程. 18. 在2和14之间插入3n个数构成一个等差数列，该数列的公差为，（>0）且所有项的和为，在1和4之间插入2n个数构成一个等比数列，其所有项的积为. （1）求； （2）不等式，对任意的恒成立，求数的最小值； （3）设，求数列的前32项和. 19. 已知函数 （1）若函数单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数有3个零点 ①求实数a的取值范围； ②求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期12月阶段调研 高三数学试卷 2024.12 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有，利用集合的基本关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 2. 已知非零复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，代入题干等式，即可得出的值. 【详解】设，则， 因为，则，则，故. 故选：A. 3. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义求出的值，结合充分步必要条件的定义即可得解. 【详解】若函数为奇函数，则， 故，整理可得，故，解得， 当时，，由，解得， 此时，函数的定义域为关于原点对称， 且，故函数为奇函数，符合题意； 当时，，对任意的，， 此时，函数的定义域为关于原点对称， 且，故函数为奇函数，符合题意. 综上，若函数为奇函数，则， 所以“”是函数“为奇函数”的充分不必要条件. 故选：C. 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项. 【详解】由的展开式的通项为， 令，得，则， 即在的展开式中，常数项为. 故选：A 5. 江苏省不仅经济发达，旅游资源也极其丰富.现有甲、乙、丙三位游客慕名来江苏旅游，准备从拙政园、瘦西湖、中华麋鹿园、环球恐龙园等四个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三个人中恰有两人选择同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算出位游客分别从四个景点中随机选择一个的总的情况，再计算出恰有两个人选择同一景点的情况，根据古典概型有概率为,即可求解. 【详解】三位游客分别从四个景点中随机选择一个，共有种情况； 恰有两人选择同一景点的情况，可以先从三位游客中选择同一个景点，有4种选择，最后剩下的游客有3种选择， 所以恰有两人选择同一景点的总情况为：种， 所以恰有两人选择同一景点的概率为 故选：C. 6. 已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（ ） A. 3.25 B. 3.4 C. 3.7 D. 3.85 【答案】D 【解析】 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得. 【详解】， 增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：， 新的经验回归方程为：， 则当时，， 故选：D. 7. 若，为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简条件求得，利用同角关系求得，最后利用两角和的正弦公式化简计算即可. 【详解】由得， 所以，即， 即， 所以，所以， 又为锐角，所以， 所以. 故选：B 8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 将图象上点的横坐标变为原来的，得到的函数在上递减 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用辅助角化简，再利用正弦函数的周期公式求得，进而得到，直接利用代入检验法可判断AB，利用三角函数的变换规则，结合正弦函数的单调性可判断CD，从而得解. 【详解】因为，， 又的最小正周期为，所以，则， 所以， 对于A，因为， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位长度， 可得到的图象，故C正确； 对于D，将图象上点的横坐标变为原来的，得到的图象， 对于，有， 而在上先减后增， 则在上也先减后增，故D错误. 故选：AC. 10. 数列、的通项公式分别为、，它们的公共项按从小到大排列组成数列，数列、、的前项之和分别为、、，则（ ） A. B. C. 数列的第项最小 D. 数列是递减数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可判断AB选项；利用数列的单调性可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由题意知，数列、均为等差数列，且，， ，， 因此，，A错； 对于B选项，数列的各项分别为：、、、、、、、、、、， 数列的各项分别为：、、、、、、、、、、、， 则这两个数列构成的公共项组成的数列为、、、、、， 可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，， 所以，，故，B对； 对于C选项，， 令，因为，解得， 令，因为，解得， 且， 所以，当且时，数列单调递减， 因此，数列的第项最小，C对； 对于D选项，令，则， 所以，， 即，所以，数列是递减数列，D对. 故选：BCD. 11. 已知点P在圆：上，直线与圆的一个交点为A，与x轴交于B，圆O在A处的切线交x轴于C，则（ ） A. 点C的横坐标为4 B. 的一个可能值 C. ，外接圆的圆心距最小值为2 D. 若A在y轴上的射影为H，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，求出圆O在A处的切线方程即可求解；对于，设点，，由，设，结合基本不等式求解即可；对于，分别求出线段的中垂线方程和线段的中垂线方程，可得，外接圆的圆心距，设，结合基本不等式求解即可；对于，因为∽，可得，根据即可求解. 【详解】对于，因为，由对称行可取， 则圆O在A处的切线为，当时，，故正确； 对于，设点，则， ， 因为，设， 则， 当且仅当时等号成立，所以，则， 所以不可能取到，故错误； 对于，设点，，则， 线段的中垂线方程为， ，的中点为， 则线段的中垂线方程为， 当时，的外接圆圆心为， 当时，的外接圆圆心为， 所以，外接圆的圆心距为， 设，则， 当且仅当时，等号成立，所以正确； 对于，因为∽，即， 所以， 所以， 当点位于线段与圆交点处，三点共线时取最小值，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：求三角形外接圆圆心的方法：一是几何法，三角形两边垂直平分线的交点即为圆的圆心；二是待定系数法，通过设圆的一般方程和标准方程，代入点的坐标. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置. 12. 若，，且，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由对数的运算性质结合换底公式可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，，且， 即， 所以，， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 13. 中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积. 【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题设有，故， 故两个直三棱柱的表面积和为， 两者有公共侧面，其面积为， 而四棱锥的侧面积为， 故几何体的表面积为， 故答案为：. 14. 已知，函数，对于任意实数、方程有且只有一个实数根，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性和值域可求，数形结合后可求参数的取值范围. 【详解】因为对于任意实数都只有一个实数根， 故为单调函数且其值域为，而当时，， 该函数在上为增函数，故为上的增函数， 故，故， 故， 当时，， 当，，故在上的值域为，故符合； 在平面直角坐标系中画出的图象， 当直线与的图象相切时， 令，故即， 当直线过原点时，， 若直线与函数的图象有3个不同交点时，结合图像可得, 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于函数交点个数问题，可根据函数的解析式的特点和图象变换刻画函数的图象，通过变化动直线刻画关系后可得参数的取值范围. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角、、的对边分别为、、，且. （1）求； （2）若边上的高为，且，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解法一：由已知条件结合正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 解法二：由已知条件结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合已知条件可得出关于的方程，即可解得的值. 【小问1详解】 解法一：由及正弦定理得， 所以， 即，即， 因为、，则， 所以，所以； 解法二：由及余弦定理得， 所以，即，所以， 又，所以. 【小问2详解】 记边上的高为，则， 由（1）得，所以， 所以由余弦定理可得， 所以，所以，所以或（舍），故. 16. 如图，已知四边形为等腰梯形，且，，.E为CD中点，将沿BE 翻折到，使 （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在等腰梯形中，，则，，由为中点， ，得，则四边形为平行四边形，， ，又，则为等边三角形，即为等边三角形， 取中点，连接，于是， AI    由，，得为正三角形，， 则，又，于是，即， 而，且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得均为正三角形，取中点，利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用面面角的向量求法求解夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量是，则，取，得， 设平面的法向量是，则，取，得， 则， 所以平面和面夹角的余弦值为. 17. 动点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知是与轴的交点，且在左边，点是轨迹上一点且在第一象限，直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可知所求轨迹为椭圆，由椭圆定义可得轨迹方程； （2）利用面积倍数关系可整理得到； 方法一：利用相似比可求得点坐标，进而得到直线方程； 方法二：设直线方程，与椭圆方程联立可求得点纵坐标，由可构造方程求得值，进而得到直线方程. 【小问1详解】 由圆方程知：圆心，半径， 线段的垂直平分线交于点，， 又， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，记椭圆的长轴长、短轴长和焦距分别为， 则，，，，， 动点的轨迹的方程为：. 【小问2详解】 方法一：由（1）知：，， 在第一象限，， ， 又，， ，整理可得：， ，即，，， ， 直线的方程为：. 方法二：由（1）知：，， 在第一象限，， ， 又，， ，整理可得：； 设直线的方程为：， 由得：，， ，又， ，解得：（舍）或， 直线的方程为：，即. 18. 在2和14之间插入3n个数构成一个等差数列，该数列的公差为，（>0）且所有项的和为，在1和4之间插入2n个数构成一个等比数列，其所有项的积为. （1）求； （2）不等式，对任意的恒成立，求数的最小值； （3）设，求数列的前32项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式与等比数列的性质即可求得等比数列所有项的积. （2）令，把恒成立问题转化为函数的最值即可. （3）先求出公差，得，所以，公式展开得，最后利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 令， 当为偶数时，且， 当，即； 当，即 所以偶数项中最大项为，最小项为． 当为奇数时，， 当；当． ， 当，即； 当，即 所以奇数项中最大项为，最小项为． 于是数列中最大项为，最小项为． 所以实数的最小值为． 【小问3详解】 因为，所以． 因为，所以， 即． 于是 ． 19. 已知函数 （1）若函数单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数有3个零点 ①求实数a的取值范围； ②求证： 【答案】（1） （2）①； ②当时，， 设，由题设可得故有3个零点， 而， 设， ，，， 故在有且只有两个实数根， 且当时，即； 当时，即； 当时，即； 故在上为增函数，在上为减函数， 而，故， ， ， 故函数有3个零点时且， 而，故， 因为，故， 故成立. 【解析】 【分析】（1）由题设有，再次利用导数可求参数的取值范围； （2）设，则的3个不同零点即为的三个不同的零点，利用导数讨论前者的单调性后结合零点存在定理和解析式的特征可得，，由基本不等式可知成立. 【小问1详解】 因为函数单调递增， 所以对任意恒成立． 设， 因为， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 于是解得. 【小问2详解】 ①由（1）可得， ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $