16.1相交线【进阶优等生系列】 2024-2025学年沪教版（五四制） 七年级数学第二学期

【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 16.1相交线 目录 1、 【进门测试】共5题； 2、 【知识精讲】共10个知识点； 3、 【典例解析】共8例题； 4、 【拓展进阶】共8题； 5、 【温故知新】共30题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是对顶角的图形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断． 【解答】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角．满足条件的只有第三个图形． 故选：B． 【点评】本题主要考查对顶角的定义，理解定义是关键． 2．如图，直线AB与直线CD交于点O，OE平分∠AOC，已知∠AOD＝100°，那么∠EOB＝　140　度． 【分析】根据角平分线的定义和对顶角的性质解答即可． 【解答】解：∵∠AOD＝100°，OE平分∠AOC， ∴∠COE＝∠AOC＝40°， ∵∠BOC＝∠AOD＝100°， ∴∠EOB＝∠BOC+∠COE＝100°+40°＝140°，故答案为：140． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义和对顶角的性质，熟练掌握相关的定义和性质是解答本题的关键． 3．如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF过点O，若∠1＝50°，∠2＝　40　度． 【分析】根据垂直定义可得∠COB＝90°，从而求出∠COF的度数，然后根据对顶角相等即可解答． 【解答】解：∵AB⊥CD， ∴∠COB＝90°， ∵∠1＝50°， ∴∠COF＝∠COB﹣∠1＝40°， ∴∠2＝∠COF＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 4．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，则下列说法中，错误的是（　　） A．点B到AC的距离是线段BC的长 B．点B到AD的距离是线段BD的长 C．点C到AD的距离是线段CD的长 D．点C到AB的距离是线段AC的长 【分析】利用点到直线的距离定义判断即可． 【解答】解：A、点B到AC的距离是线段AB的长，故A选项错误，符合题意； B、点B到AD的距离是线段BD的长，故B选项正确，不符合题意； C、点C到AD的距离是线段CD的长，故C选项正确，不符合题意； D、点C到AB的距离是线段AC的长，故D选项正确，不符合题意，故选：A． 【点评】本题考查的是点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长． 5．下列图形中，∠1和∠2是同位角的图有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【解答】解：根据同位角定义可得第二、三个是同位角，第一、四个不是同位角，即同位角有2个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了同位角，解题的关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、相交线 1.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 2.同位角（F型）：在截线的同旁, 又分别在直线的相同一侧的位置。 3.内错角（Z型）：在截线的两旁, 又分别在直线之间。 4.同旁内角（U型）：在截线的同旁, 又分别在直线之间。 5. 两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。 6.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 。 7.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线 。它们的交点叫垂足。 8.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。 9.垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 10.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 【基础概念】 一．相交线 1．如果4条直线两两相交，最多有　6　个交点，最少有　1　个交点． 【分析】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点． 【解答】解：n条直线相交，最多有n（n﹣1）个交点． 当n＝4时，， 即如果4条直线两两相交，最多有6个交点，最少有1个交点． 故答案为：6、1． 【点评】此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 二．对顶角、邻补角 2．如图：直线AB、CD、EF相交于点O，且∠AOC＝33°，∠AOE＝142°，直线CD与直线EF夹角的大小为 　109°或71°　． 【分析】利用角的和与差，计算∠COE＝∠AOE﹣∠AOC即可．还要注意两种情况． 【解答】解：∵∠AOC＝33°，∠AOE＝142°， ∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝142°﹣33°＝109°， ∵∠COE+∠DOE＝180°， ∴∠DOE＝180°﹣109°＝71° ∴夹角∠COE＝109°或∠DOE＝71°． 故答案为：109°或71°． 【点评】本题考查的是角的和与差，解题的关键是计算准确． 三．垂线 3．如图，直线AC与直线DE相交于点O，若∠BOC＝35°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝　55　度． 【分析】由垂直的定义可求得∠COE，再利用对顶角可求得答案． 【解答】解： ∵BO⊥DE， ∴∠BOE＝90°， ∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°， ∴∠AOD＝∠COE＝55°， 故答案为：55． 【点评】本题主要考查垂的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得∠COE是解题的关键． 四．垂线段最短 4．如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是　垂线段最短　． 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答． 【解答】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短． 五．点到直线的距离 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点A到直线CD的距离是线段 　AD　的长． 【分析】根据点到直线的距离，即可解答． 【解答】解：∵CD⊥AB，垂足为点D， ∴点A到直线CD的距离是线段AD的长， 故答案为：AD． 【点评】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离． 六．同位角、内错角、同旁内角 6．如图所示，图中同位角共有（　　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【分析】根据两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角进行判断即可． 【解答】解：如图： 由同位角的定义可知： ∠B和∠FAH，∠B和∠ECG，∠BCG和∠MDG，∠ECG和∠HDG，∠BAM和∠CDM，∠BAH和∠CDH，∠MAF和∠MDG，∠FAH和∠GDH都是同位角，共有8对． 故选：C． 【点评】本题主要考查了同位角的定义．解答此题时要结合图形和同位角的定义进行解答． 7．两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．150° B．30° C．30°或150° D．无法确定 【分析】两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立． 【解答】解：因为两条直线的位置关系不明确，所以无法判断∠1和∠2大小关系， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，注意性质定理的条件是两直线平行．解题的关键是正确理解平行线的性质． 8．如图，与∠A构成同位角的是 　∠ECD，∠ECF　． 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【解答】解：与∠A构成同位角的是∠ECD，∠ECF， 故答案为：∠ECD，∠ECF． 【点评】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N． （1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数； （2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为　 　（直接写出答案）． 【答案】（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3） 【分析】 （1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解； （2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解； （3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解． 【解析】 解：（1）∵+（β﹣60）2＝0， ∴α＝30，β＝60， ∵AB∥CD， ∴∠AMN＝∠MND＝60°， ∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°， ∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°； （2）∠DEF+2∠CDF＝150°． 理由如下：过点E作直线EH∥AB， ∵DF平分∠CDE， ∴设∠CDF＝∠EDF＝x°； ∵EH∥AB， ∴∠DEH＝∠EDC＝2x°， ∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°； ∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF， 即∠DEF+2∠CDF＝150°； （3）如图3，设MQ与CD交于点E， ∵MQ平分∠BMT，QC平分∠DCP， ∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ， ∵AB∥CD， ∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND， ∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ， ∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ， ∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD， ∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB， ∴∠CPM＝2∠Q， ∴∠Q与∠CPM的比值为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 2．问题情境：如图1，ABCD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：如图2，过P作PEAB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度； （2）如图3，ADBC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 【答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β 【分析】 （1）过P作PEAB，通过平行线性质求∠APC即可； （2）过P作PEAD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【解析】 解：（1）过点P作PEAB， ∵ABCD， ∴PEABCD， ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°， ∵∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∴∠APE=50°，∠CPE=60°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°． 故答案为110°； （2）∠CPD=∠α+∠β， 理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E， ∵ADBC， ∴ADPEBC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α， 理由是：如图4，过P作PEAD交CD于E， ∵ADBC， ∴ADPEBC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE =∠β-∠α； 当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β， 理由是：如图5，过P作PEAD交CD于E， ∵ADBC， ∴ADPEBC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE -∠CPE =∠α-∠β． 【点睛】 本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，分类讨论是解题的关键． 3．（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”） （2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由． （3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．                【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】 （1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点在m上移动到何位置，总有与同底等高，因此它们的面积相等； （2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案； （3）连结，过点作的平行线，连结或，则或即为所修直路． 【解析】 （1）∵与有共同的边AB， 又∵， ∴与的高相等，即与同底等高， ∴=， 故答案为：=； （2）方法一： 连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下： 在梯形ABCD中,， 则与同底等高， ∴， ∴， 即， 又由可知与同底等高， ∴， ∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变； 方法二 连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下： 在梯形ABCD中,， 则与同底等高， ∴， ∴， 即， 又由可知与同底等高， ∴， ∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变； （3）方法一 连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路． 将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下： ∵，则与同底等高， ∴，则， 即， 又由可知与同底等高， ∴， ∴满足修路方案； 方法二： 连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路． 将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下： ∵，则与同底等高， ∴，则， 即， 又由可知与同底等高， ∴， ∴满足修路方案． 【点睛】 本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形． 4．如图（a）五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地示意图，经过多年开垦荒地，现已经变成图（b）所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分解小路，即图（b）中折线CDE还保留着.张大爷想过E点修一条直路EF，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.（不计分解小路与直路的占地面积）请你用有关知识，按张大爷的修路要求在图（b）中画出相应的图形（请务必保留作图痕迹）. 【答案】见解析. 【分析】 要求面积不变且要经过点E，我们可以假设这一直线已经作出，观察可以发现，实际上是将△EDC进行等积变换，此时只要连接EC，利用尺规作图过点D作EC的平行线，交EN于点F，交CM于点G，再连接EG，利用两平行线间的距离处处相等，可得S△ECG=S△ECD，问题即得解决. 【解析】 解：画法如图1所示（连接EC，以ED为一边作∠EDF=∠DEC）． 图1                                                       图2 如图2，连接EG，由作图知∠EDF=∠DEC，所以DF∥EC，设直线DF交EN于点F，交CM于点G，则线段EG即为所求直路的位置. 理由如下：如图2， ∵EC∥FG， ∴D和G点到EC的距离相等（平行线间的距离处处相等）， 又∵EC为公共边， ∴S△ECG=S△ECD（同底等高的两三角形面积相等）， ∴S五边形AEDCB= S四边形ABCE+S△ECD=S四边形ABCE+ S△ECG，S五边形EDCMN=S四边形EGMN． 即EF为直路的位置，可以保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多. 【点睛】 本题考查尺规作图、平行线间的距离和等积变换，解题的关键是连接EC，作∠EDF=∠DEC，亦即FG∥EC，再连接EG，利用等积变换作出相等面积来彼此替换以保持总面积不变． 5．如图所示，已知射线.点E、F在射线CB上，且满足，OE平分 （1）求的度数； （2）若平行移动AB，那么的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由. 【答案】（1）40°；（2）的值不变，比值为;（3）∠OEC=∠OBA=60°. 【分析】 （1）根据OB平分∠AOF，OE平分∠COF，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA，从而得出答案； （2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，再根据∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，即可得出∠OBC：∠OFC的值为1：2． （3）设∠AOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可． 【解析】 （1）∵CB∥OA ∴∠C+∠COA=180° ∵∠C=100° ∴∠COA=180°-∠C=80° ∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF ∴∠FOB+∠EOF=（∠AOF+∠COF）=∠COA=40°; ∴∠EOB=40°; （2）∠OBC：∠OFC的值不发生变化 ∵CB∥OA ∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA ∵∠FOB=∠AOB ∴∠FOA=2∠BOA ∴∠OFC=2∠OBC ∴∠OBC：∠OFC=1：2 （3）当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA． 设∠AOB=x， ∵CB∥AO， ∴∠CBO=∠AOB=x， ∵CB∥OA，AB∥OC， ∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180° ∴∠OAB=∠C=100°． ∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°， ∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x， ∴x+40°=80°-x， ∴x=20°， ∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°． 【点睛】 本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 6．已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图，直接写出和之间的数量关系． (2)如图，过点B作于点D，求证：． (3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，解方程得到，继而得出，． (1) 如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； (2) 如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． (3) 如图3，过点B作， ∵BF平分，BE平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴ ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． 7．请回答下列各题． (1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F． (2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？ (3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝______度（请直接写出答案）． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° (3)70或290 【分析】 （1）由 可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，从而可以证明结论成立； （2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数为60°，由对顶角相等可得； （3）分两种情况讨论，即∠AGQ是钝角与∠AGQ是锐角时． (1) 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BCD．（两直线平行内错角相等）， 同理可证，∠F＝∠DCF． ∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF， ∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代换） (2) 解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，， ∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°． 故答案为：60°． (3) 如图3中，当点Q在直线GH的右侧时， ∵AB∥CD∥EF， ∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°， 即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°， ∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°， 当点Q在直线GH的左侧时，由（1）的结论可得： ． 故答案为：70或290． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质是解题关键． 8．已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析 (2) (3)，45 【分析】 （1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论； （2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论； （3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案 (1) 解：如图①，过点作， ， （如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ． ， ． ． ， ． ． (2) 解：如图②，过点作， ． ， ． ． ， ． ． ． 故答案为：． (3) 解：如图③，过点作， ， ， ． ， ， ． ． ， 由（2）已得：， ； 平分， ． 平分， ． ， 故答案为：，45． 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 10．（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明． （2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？ （3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则　　度（请直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290 【分析】 （1）由可得，，，则； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得； （3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况． 【解析】 解：（1）如图1，， ，， ， ． （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； （3）如图，当为钝角时， 由（1）中结论可知，， ； 当为锐角时，如图， 由（1）中结论可知，， 即， 综上，或． 故答案为：70或290． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 能力提升练 1．下列语句正确的个数是（　　） （1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意直接根据平行公理及平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确； 平面内，平行具有传递性，故（3）正确； 同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确， ∴正确的有（1）、（3）、（4）， 故选：C． 【点睛】本题考查平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握理解平行线公理及判定定理是解题的关键． 2．将一直角三角板与一条两边平等的纸条如图所示放置，对于下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝90°，其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，平角等于180°对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4＋∠5＝180°，故①②正确，④错误； ∵三角板是直角三角板， ∴∠2＋∠4＝180°﹣90°＝90°，故③正确； 综上所述，正确的个数是3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键． 3．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】利用两个三角形的内角和都为180°，结合相等的角即可求解． 【详解】∵AB⊥BD，AC⊥CD， ∴∠B＝∠C＝90°， 又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝∠A＝50°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180°，熟记三角形的内角和公式是解题的关键． 4．如图，在下列条件中，能判定AD//BC的是（  ） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180° 【答案】A 【详解】根据平行线的判定方法逐项分析即可解答． 【解答】解：A. ∵∠1＝∠2，∴AD//BC，符合题意； B. ∵∠3＝∠4，∴AB//CD，故不符合题意； C. 由∠ABC＝∠ADC不能判定任何直线平行，故不符合题意；     D. ∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB//CD，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了行线的判定方法，①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键． 5．下列说法正确的是（    ） A．有公共顶点的两个角是邻补角 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．在所有联结两点的线段中，垂线段最短 D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义，平行线的定义，点到直线，垂线段最短，平行线的判定和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．有公共顶点的两个角不一定是邻补角，故本选项错误，不符合题意； B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误，不符合题意； C．从直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故本选项错误，不符合题意； D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，故同旁内角互补，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了邻补角、平行线、垂线段的性质以及平行线的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 6．如图，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，则图中与∠CBD相等的角除了∠CDB外还有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及角的等量代换进行判断即可得出结果． 【详解】解：如图，设MN交BD于点O． ∵AD∥BC，CD∥AB， ∴∠CBD＝∠ADB，∠ABD＝∠CDB， ∵∠CBD＝∠CDB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB， ∵CD∥MN， ∴∠CDB＝∠MOD， ∴∠MOD＝∠BON＝∠CBD， ∴与∠CBD相等的角有4个（除了∠CDB外）． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的基本性质，属于中考常考题型． 7．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断． 【详解】解：A、∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2，本选项说法正确； B、∵AD与AB不平行， ∴∠2≠∠3，本选项说法错误； C、∵AD与CB不一定平行， ∴∠3≠∠4，本选项说法错误； D、∵CD与CB不平行， ∴∠1≠∠5，本选项说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键． 8．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】根据垂直的定义即可解答． 【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确； 淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键． 9．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB， 小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．” 小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．” 小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．” 小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．” 他们四人中，有（   ）个人的说法是正确的． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由EF⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质和判定即可得出答案． 【详解】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD//EF， （1）若∠CDG＝∠BFE， ∵∠BCD＝∠BFE， ∴∠BCD＝∠CDG， ∴DG//BC， ∴∠AGD＝∠ACB． （2）若∠AGD＝∠ACB， ∴DG//BC， ∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE， ∴∠CDG＝∠BFE． （3）由题意知，EF//DC， ∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB， 如下图， ①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE， 即∠AGD一定大于∠BFE； ②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时， 如图，设DG∥BC， 当点G′在点G的上方时， ∵∠AG′D＞AGD， 由①知，∠AG′D一定大于∠BFE； 当点G″在点G的下方时， 见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE， 综上，∠AGD不一定大于∠BFE； （4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB； 综上知：正确的说法有两个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定． 10．如图，已知点O在直线上，是直角，，那么的度数为______ 【答案】##54度 【分析】首先根据条件求出的度数，再结合即可求出． 【详解】解：是直角 故答案为 【点睛】本题考查了角的计算，找到角度之间的关系是解题关键． 11．如图所示，已知，∶∶∶∶，则______． 【答案】##120度 【分析】由条件可得，可表示出，再结合，∶∶∶∶可得求解的度数，进而可求得的度数． 【详解】解：， ， ， 由，：：：：，可设，，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等两直线平行，②内错角相等两直线平行，③同旁内角互补两直线平行，④，． 12．如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______． 【答案】65 【分析】根据题意可得，然后利用平行线的性质可得，进行计算即可解答． 【详解】解：比大， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知，则______度． 【答案】77 【分析】利用平行线的性质求解∠5，利用对折与平角的性质可得答案． 【详解】如图， ， ∴∠1=∠5=26°，， 由折叠的性质可得：∠3=∠4=（180°-∠5）÷2=77°， ∴∠2=77°． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 14．如图，直线，，为直角，则的度数为_________． 【答案】 【分析】作EF，可知，，根据补角的性质即可求出． 【详解】解：作EF，如图所示， ∵， ∴EF， ∴，， ∵为直角， 即：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质求角度，此类题型做出中间辅助线是解题的关键． 15．如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，则∠EDC＝____． 【答案】29°##29度 【分析】先利用角平分线的定义求得∠BCD，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】∵CD平分∠ACB，∠ACB＝58°， ∴∠BCD＝∠ACB＝29°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝29°． 故答案为：29°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 16．如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是_____________． 【答案】∠1+∠2＝90°或互余 【分析】根据平行线的性质可得∠2＝∠CDE，根据垂直的定义可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠CDE． ∵EF⊥BD， ∴∠FED＝90°． ∴∠1+∠FDE＝90°． ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：∠1+∠2＝90°或互余． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 17．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____． 【答案】60°##60度 【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案． 【详解】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°， ∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F， ∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°， 过点B作BMAD，过点F作FNAD，如图所示： ∵ADCE， ∴ADFNBMCE， ∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°， ∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°， ∵∠F的余角等于2∠B的补角， ∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y）， 解得：x＝30， ∴∠BAH＝60°． 故答案为：60° 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用． 18．如图，已知于点，于点，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（ ）． 同理． 所以（ ）． 即． 因为（已知）， 所以（ ）． 所以（ ）． 【答案】垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行 【分析】根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 同理． 所以（等量代换）， 即． 因为（已知）， 所以（等式的性质， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行 【点睛】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 19．请在下列横线上注明理由． 如图，已知，垂足为M，，，求证：． 证明：∵，（已知） ∴．（______） ∴．（______） 又∵，（已知） ∴．（______） ∴．（______） ∴．（______） ∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴．（______） ∴．（______） 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定和性质定理解答即可． 【详解】证明：∵，（已知） ∴．（同旁内角互补，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴．（等量代换） ∴．（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴．（等量代换） ∴．（垂直定义） 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理并进行推理论证是解题的关键． 20．已知直线AB和CD相交于点O，，OF平分，，求的度数． 【答案】22° 【分析】直接利用角平分线的定义得出∠AOE的度数，进而得出∠BOE的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确利用角平分线的定义分析是解题关键． 21．如图，直线DE经过点A，DEBC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度数． 【答案】∠DAB＝42°，∠CAD＝123° 【分析】由平行线的性质可得∠DAB＝∠B，∠C+∠CAD＝180°可求得答案． 【详解】∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠B＝42°，∠CAD+∠C＝180°， ∴∠CAD＝180°﹣∠C＝180°﹣57°＝123°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补． 22．如图，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，请说明BF∥EG的理由．（请写出每一步的依据） 【答案】理由见解析 【分析】根据平行线的判定和性质进行证明即可． 【详解】解：∵∠ABE+∠CEB＝180°（已知）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠ABE＝∠BED（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2， ∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（等式的基本性质）， ∴∠FBE＝∠BEG（等量代换）， ∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题关键． 23．老师出了如下的题： （1）首先，要求你按图1回答以下问题 ①若∠DEC+∠ACB＝180°，可以得到哪两条线段平行？ ②在①的结论下，如果∠1＝∠2，又能得到哪两条线段平行，请说明． 解：（1）①               ． ②          ． （2）接着，老师另画了一个图2 ①要求你在图2中按下面的语言继续画图：（画图工具和方法不限）过A点画AD⊥BC于D，过D点画DEAB交AC于E，在线段AB上任取一点F，以F为顶点，FB为一边，画∠BFG＝∠ADE，∠BFG的另一边FG与线段BC交于点G． ②请你按照①中画图时给出的条件，完整证明：FG⊥BC． 【答案】（1）①DEBC，②DCFG；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）①∠DEC+∠ACB＝180°可以证明DE∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）； ②由DE∥BC可得∠1＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∠1＝∠2，那么∠2＝∠DCB，所以DC∥FG（同位角相等，两线平行）． （2）图2中，DE∥AB可得∠ADE＝∠DAB，又已作∠BFG＝∠ADE，则∠DAB＝∠BFG，所以AD∥FG，又AD⊥BC，所以FG⊥BC． 【详解】证明：（1）①DE∥BC， ②可得DC∥FG， 说明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠3． 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴DC∥FG． （2）证明：如下图所示： ∵DE∥AB， ∴∠1＝∠3． 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴AD∥FG． ∵AD⊥BC于D， ∴∠CDA＝90°． ∵AD∥FG， ∴∠FGD＝∠CDA＝90°， ∴FG⊥BC． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，根据图形找到两个相等的同位角或内错角，或者同旁内角互补都可判定两条直线平行；在同一平面内，若一条直线垂直于另一条直线，那么平行于这条直线的所有直线都垂直于那条直线． 24．如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A+∠AEF＝180°．说明CD//EF的理由． 【答案】理由见解析 【分析】直接利用平行线的判定方法得出ABCD，进而得出CDEF． 【详解】解：AB⊥BG，CD⊥BG （已知）， ∠B＝90°，∠CDG＝90°（垂直的意义），即∠B＝∠CDG （等量代换）， ABCD （同位角相等，两直线平行）， ∠A+∠AEF＝180°（已知）， ABEF （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （同旁内角求和）， CDEF（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出AB∥CD 是解题关键． 25．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF． 完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：∵∠3＝∠4（已知） ∴AE∥　 　（　 　） ∴∠EDC＝∠5（　 　） ∵∠5＝∠A（已知） ∴∠EDC＝　 　 （　 　） ∴DC∥AB（　 　） ∴∠5+∠ABC＝180°（　 　） 即∠5+∠2+∠3＝180° ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3＝180°（　 　） 即∠BCF+∠3＝180° ∴BE∥CF（　 　）． 【答案】BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定与性质即可依次证明填空． 【详解】解：∵∠3＝∠4（已知） ∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行） ∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等） ∵∠5＝∠A（已知） ∴∠EDC＝∠A （等量代换） ∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行） ∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 即∠5+∠2+∠3＝180° ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换） 即∠BCF+∠3＝180° ∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）； 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 26．如图，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC， (1)求∠BAC的度数； (2)求∠PAG的度数． 【答案】(1)96° (2)12° 【分析】（1）利用两直线内错角相等得到两对角相等，相加即可求出所求的角； （2）由AP为角平分线，利用角平分线定义求出∠PAC的度数，由∠PAC−∠CAG即可求∠PAG的度数． （1） 解：∵， ∴∠BAG＝∠ABD＝60°，∠CAG＝∠ACE＝36°， ∴∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝96°． （2） ∵AP为∠BAC的平分线， ∴∠BAP＝∠CAP＝48°， ∴∠PAG＝∠CAP﹣∠GAC＝12°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解本题的关键． 27．如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°． 【答案】见解析 【分析】首先过点E作EMAB，过点F作FNCD，由：∠E＝∠F，∠1＝∠2，易证得∠MEF＝∠NFE，由平行线的判定，可得EMFN，继而可得ABEMFNCD，然后由平行线的性质，即可证得：∠ABH＋∠CHB＝180°． 【详解】证明：过点E作EMAB，过点F作FNCD， ∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN， ∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2， ∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN， ∴∠MEF＝∠NFE， ∴EMFN， ∴ABEMFNCD， ∴∠ABH+∠CHB＝180°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是关键，注意数形结合思想的应用． 28．如图，已知∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2，请说明：∠A＝∠C． 解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知） ∴　 　（角平分线的定义） ∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠ADC（　 　） ∴∠3＝∠1 又∵∠1＝∠2（已知） ∴　 　（等量代换） ∴　 　（　 　） ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠A＝∠C（　 　） 【答案】，等式的性质，∠2＝∠3，AB//CD，内错角相等，两直线平行，等角的补角相等． 【分析】先根据角平分线的定义得出∠3=∠ADC，∠1=∠ABC，再由∠ABC=∠ADC得出∠3=∠1，根据∠1=∠2可得出∠2=∠3，故AB//CD，由平行线的性质可知∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°可得出结论． 【详解】解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知）， ∴∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC （角平分线的定义）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠ADC（等式的性质）， ∴∠3＝∠1， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换 ）， ∴AB//CD（ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠A＝∠C（等角的补角相等 ）． 故答案为：，等式的性质，∠2＝∠3，AB//CD，内错角相等，两直线平行，等角的补角相等． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的判定与性质是解答此题的关键． 29．已知，如图，已知ABCD，BE⊥DE，那么∠B+∠D是多少度？为什么？ 解：过点E作EFAB， 得∠B+∠BEF＝180°（　　）． 因为ABCD（已知），EFAB（已作）， 所以EFCD（　　）． 得　　（两直线平行，同旁内角互补）． 所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（　　）． 即∠B+∠BED+∠D＝360°． 因为BE⊥DE， 所以∠BED＝90°（　　）． 所以∠B+∠D＝　　°（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补，平行于同一直线的两条直线平行，∠D+∠DEF＝180°，等式的性质，垂直的定义，270° 【分析】根据平行线的性质定理、判定定理等即可得到答案． 【详解】解：过点E作， 得∠B+∠BEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 因为（已知），（已作）， 所以（平行于同一直线的两条直线平行）． 得∠D+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（等式的性质）． 即∠B+∠BED+∠D＝360°． 因为BE⊥DE， 所以∠BED＝90°（垂直的定义）． 所以∠B+∠D＝270°（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一直线的两条直线平行；∠D+∠DEF＝180°；等式的性质；垂直的定义；270°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂线的定义．掌握平行线的性质定理、判定定理是解题的关键． 30．如图，已知AB∥CD∥EF，且∠A＝50°，∠F＝120°，DG平分∠ADF，求∠CDG的度数． 解：∵AB∥CD ∴∠A＝∠ADC　 　； 又∵∠A＝50° ∴∠ADC＝50°； ∵CD∥EF ∴∠F+∠　 　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）； 又∵∠F＝120° ∴∠CDF＝　 　；∴∠ADF＝　 　； ∵DG平分∠ADF ∴∠ADG＝∠　 ＝　 　°　 　； ∴∠CDG＝∠ADG﹣∠　 　＝　 　°． 【答案】两直线平行，内错角相等；CDF；60；110；ADF；55；角平分线的意义或定义；ADC；5． 【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，∠ADC与∠CDF的度数，又由DG平分∠ADF，则可求得∠ADG的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵AB∥CD ∴∠A＝∠ADC（两直线平行，内错角相等） 又∵∠A＝50° ∴∠ADC＝50° ∵CD∥EF ∴∠F+∠CDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ） 又∵∠F＝120° ∴∠CDF＝60° ∴∠ADF＝110°， ∵DG平分∠ADF ∴∠ADG＝∠ADF＝55°，（   角平分线的意义或定义  ） ∴∠CDG＝∠ADG﹣∠ADC＝5°． 故答案为：两直线平行，内错角相等；CDF；60；110；ADF；55；角平分线的意义或定义；ADC；5． 【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意两直线平行，内错角相等与同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 16.1相交线 目录 1、 【进门测试】共5题； 2、 【知识精讲】共10个知识点； 3、 【典例解析】共8例题； 4、 【拓展进阶】共8题； 5、 【温故知新】共30题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是对顶角的图形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2． 如图，直线AB与直线CD交于点O，OE平分∠AOC，已知∠AOD＝100°，那么∠EOB ＝　 　度． 3．如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF过点O，若∠1＝50°，∠2＝　　度． 4．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，则下列说法中，错误的是（　　） A．点B到AC的距离是线段BC的长 B．点B到AD的距离是线段BD的长 C．点C到AD的距离是线段CD的长 D．点C到AB的距离是线段AC的长 5．下列图形中，∠1和∠2是同位角的图有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、相交线 1.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 2.同位角（F型）：在截线的同旁, 又分别在直线的相同一侧的位置。 3.内错角（Z型）：在截线的两旁, 又分别在直线之间。 4.同旁内角（U型）：在截线的同旁, 又分别在直线之间。 5. 两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。 6.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 。 7.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线 。它们的交点叫垂足。 8.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。 9.垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 10.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．相交线 1．如果4条直线两两相交，最多有　　个交点，最少有　　个交点． 二．对顶角、邻补角 2．如图：直线AB、CD、EF相交于点O，且∠AOC＝33°，∠AOE＝142°，直线CD与直线EF夹角的大小为 　 　． 三．垂线 3．如图，直线AC与直线DE相交于点O，若∠BOC＝35°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝ 　度． 四．垂线段最短 4．如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是　 　． 五．点到直线的距离 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点A到直线CD的距离是线段 　 　的长． 六．同位角、内错角、同旁内角 6．如图所示，图中同位角共有（　　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 7．两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．150° B．30° C．30°或150° D．无法确定 8．如图，与∠A构成同位角的是 　 　． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 1．已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N． （1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数； （2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为　 　（直接写出答案）． 2．问题情境：如图1，ABCD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：如图2，过P作PEAB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度； （2）如图3，ADBC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 3．（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”） （2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由． （3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．                 4．如图（a）五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地示意图，经过多年开垦荒地，现已经变成图（b）所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分解小路，即图（b）中折线CDE还保留着.张大爷想过E点修一条直路EF，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.（不计分解小路与直路的占地面积）请你用有关知识，按张大爷的修路要求在图（b）中画出相应的图形（请务必保留作图痕迹）. 5．如图所示，已知射线.点E、F在射线CB上，且满足，OE平分 （1）求的度数； （2）若平行移动AB，那么的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由. 6．已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图，直接写出和之间的数量关系． (2)如图，过点B作于点D，求证：． (3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度数． 7．请回答下列各题． (1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F． (2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？ (3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝______度（请直接写出答案）． 8．已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．下列语句正确的个数是（　　） （1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将一直角三角板与一条两边平等的纸条如图所示放置，对于下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝90°，其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 4．如图，在下列条件中，能判定AD//BC的是（  ） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180° 5．下列说法正确的是（    ） A．有公共顶点的两个角是邻补角 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．在所有联结两点的线段中，垂线段最短 D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补 6．如图，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，则图中与∠CBD相等的角除了∠CDB外还有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5 8．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 9．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB， 小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．” 小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．” 小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．” 小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．” 他们四人中，有（   ）个人的说法是正确的． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，已知点O在直线上，是直角，，那么的度数为______ 11．如图所示，已知，∶∶∶∶，则______． 12．如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______． 13．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知，则______度． 14．如图，直线，，为直角，则的度数为_________． 15．如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，则∠EDC＝____． 16．如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是_____________． 17．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____． 18．如图，已知于点，于点，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（ ）． 同理． 所以（ ）． 即． 因为（已知）， 所以（ ）． 所以（ ）． 19．请在下列横线上注明理由． 如图，已知，垂足为M，，，求证：． 证明：∵，（已知） ∴．（______） ∴．（______） 又∵，（已知） ∴．（______） ∴．（______） ∴．（______） ∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴．（______） ∴．（______） 20．已知直线AB和CD相交于点O，，OF平分，，求的度数． 21．如图，直线DE经过点A，DEBC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度数． 22．如图，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，请说明BF∥EG的理由．（请写出每一步的依据） 23．老师出了如下的题： （1）首先，要求你按图1回答以下问题 ①若∠DEC+∠ACB＝180°，可以得到哪两条线段平行？ ②在①的结论下，如果∠1＝∠2，又能得到哪两条线段平行，请说明． 解：（1）①               ． ②          ． （2）接着，老师另画了一个图2 ①要求你在图2中按下面的语言继续画图：（画图工具和方法不限）过A点画AD⊥BC于D，过D点画DEAB交AC于E，在线段AB上任取一点F，以F为顶点，FB为一边，画∠BFG＝∠ADE，∠BFG的另一边FG与线段BC交于点G． ②请你按照①中画图时给出的条件，完整证明：FG⊥BC． 24．如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A+∠AEF＝180°．说明CD//EF的理由． 25．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF． 完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：∵∠3＝∠4（已知） ∴AE∥　 　（　 　） ∴∠EDC＝∠5（　 　） ∵∠5＝∠A（已知） ∴∠EDC＝　 　 （　 　） ∴DC∥AB（　 　） ∴∠5+∠ABC＝180°（　 　） 即∠5+∠2+∠3＝180° ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3＝180°（　 　） 即∠BCF+∠3＝180° ∴BE∥CF（　 　）． 26．如图，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC， (1)求∠BAC的度数；(2)求∠PAG的度数． 27．如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°． 28．如图，已知∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2，请说明：∠A＝∠C． 解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知） ∴　 　（角平分线的定义） ∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠ADC（　 　） ∴∠3＝∠1 又∵∠1＝∠2（已知） ∴　 　（等量代换） ∴　 　（　 　） ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠A＝∠C（　 　） 29．已知，如图，已知ABCD，BE⊥DE，那么∠B+∠D是多少度？为什么？ 解：过点E作EFAB， 得∠B+∠BEF＝180°（　　）． 因为ABCD（已知），EFAB（已作）， 所以EFCD（　　）． 得　　（两直线平行，同旁内角互补）． 所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（　　）． 即∠B+∠BED+∠D＝360°． 因为BE⊥DE， 所以∠BED＝90°（　　）． 所以∠B+∠D＝　　°（等式性质）． 30．如图，已知AB∥CD∥EF，且∠A＝50°，∠F＝120°，DG平分∠ADF，求∠CDG的度数． 解：∵AB∥CD ∴∠A＝∠ADC　 　； 又∵∠A＝50° ∴∠ADC＝50°； ∵CD∥EF ∴∠F+∠　 　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）； 又∵∠F＝120° ∴∠CDF＝　 　；∴∠ADF＝　 　； ∵DG平分∠ADF ∴∠ADG＝∠　 ＝　 　°　 　； ∴∠CDG＝∠ADG﹣∠　 　＝　 　°． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$